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3-2-1一元二次不等式及其解法1课件(人教A版必修5)

第三章
不等式

第三章
3.2 一元二次不等式及其解法

第三章
第 1 课时 一元二次不等式及其解法

课前自主预习

名师辨误做答

课堂典例讲练

课后强化作业

课前自主预习

温 故 知 新
1. 初 中 我 们 学 过 的 一 元 一 次 不 等 式 为 ____________ 或 ____________.

[答案]

ax+b>0(a≠0)

ax+b<0(a≠0)

2 .不等式 2x2 - x + 1>0 和 x2 + 2x - 3<0 的两个共同点是 ________和________.

[答案]

含有一个未知数 x 未知数 x 的最高次数为 2

新 课 引 入
受国际上各国宽松的货币政策与我国各地楼市调控政策的共 同作用,各地一线城市的房价增速下降,但仍是涨多跌少.某城 市 2010 年底楼盘均价是 19 650 元/m2,到了 2011 年 2 月末,楼盘 均价高于 20 580 元/m2, 那么如何计算这两个月内平均提价的百分 数?能列出不等式求解吗?

自 主 预 习
1.一元二次不等式的概念 我们把只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的不等 式叫做 一元二次不等式.

破疑点: (1)在一元二次不等式的表达式中, 一定有条件 a≠0, 即二次项的系数不为零. (2)对于 ax2+bx+c>0(或<0)的形式,如果不指明是二次不等 式,那么它也可能是一次不等式,应特别注意分类讨论.

判断下列不等式中哪些是一元二次不等式. ①x2>0;②-x2-x≤5;③x3+5x-6>0;④mx2-5y<0(m 为常 数);⑤ax2+bx+c>0.
[解析] ①②是.③不是,因为 x3 的最高次数是 3,不符

合定义. ④不是. 当 m=0 时, 它是一元一次不等式, 当 m≠0, 它含有两个未知数 x,y.⑤不一定是.当 a=0 时,它不符合一 元二次不等式的定义;当 a≠0 时,是.

2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x 的值,叫做这个一元二次不等式 的 解 ,其解的集合,称为这个一元二次不等式的 解集.

破疑点:(1)解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定 要写成集合或区间的形式. (2)一元二次不等式解集的形式是在 a>0 的条件下给出的,若 a<0,应将不等式两边同乘以-1 转化为二次项系数为正的形式, 再求解.

画出函数 y=x2-2x-3 的图象,观察图象.回答问题: (1)x∈________时, y=0, 方程 x2-2x-3=0 的根为________. (2)x ∈ ________ 时, y>0 ,∴不等式 x2 - 2x - 3>0 的解集为 ________; (3)x ∈ ________ 时, y<0 ,∴不等式 x2 - 2x - 3<0 的解集为 ________.

[ 答案 ]

(1){ - 1,3}

x1 =- 1 , x2 = 3

(2){x|x< - 1 或 x>3}

{x|x<-1 或 x>3}

(3){x|-1<x<3}

{x|-1<x<3}

[解析]

方程 x2-2x-3=0 的两根分别是 x1=-1,x2=3,函

数 y=x2-2x-3 的图象如图所示.

由图象可知,当 x∈{-1,3}时,y=0,方程 x2-2x-3=0 的 根为 x1=-1,x2=3. 当 x∈{x|x<-1 或 x>3}时,y>0, ∴不等式 x2-2x-3>0 的解集为{x|x<-1 或 x>3}. 当 x∈{x|-1<x<3}时,y<0,∴不等式 x2-2x-3<0 的解集为 {x|-1<x<3}.

3.一元二次不等式的解法. 一元二次不等式经过变形,可以化成以下两种标准形式: (1)ax2+bx+c>0(a>0); (2)ax2+bx+c<0(a>0). 上述两种形式的一元二次不等式的解集,可通过方程 ax2+bx +c=0 的根确定.设△=b2-4ac,则:

①△>0 时,方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1、 x2,设 x1<x2,则不等式(1)的解集为{x|x<x1 或 x>x2},不等式(2) 的解集为{x|x1<x<x2}; ②△=0 时,方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的根,即 x1=x2 b b =-2a,此时不等式(1)的解集为{x∈R|x≠-2a},不等式(2)的解 集为?;

③△<0 时,方程 ax2+bx+c=0 无实数根,则不等式(1)的解 集为 R;不等式(2)的解集为?. 对于二次项系数是负数(即 a<0)的不等式,可以先依据不等 式的性质把二次项系数化成正数,再参照上述两种形式求解. 也可以直接参照 a>0 的情形画出图象,对比图象上的正负值 区间写出解集.

解不等式 6x-2-3x2>0.
[解析] 原不等式可化为 3x2-6x+2<0,

∵Δ=36-4×3×2=12>0, 3 ∴方程 3x2-6x+2=0 的两实根分别为 x1=1- 3 , 3 x2=1+ 3 , 3 3 ∴原不等式的解集为{x|1- <x<1+ }. 3 3

名师辨误做答

设 f(x)、g(x)都是 R 上的奇函数,关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集为{x|4<x<10},g(x)>0 的解集为{x|2<x<5},则关于 x 的 不等式 f(x)· g(x)>0 的解集为( A.{x|2<x<10} B.{x|4<x<5} C.{x|-10<x<-2 或 2<x<10} D.{x|-5<x<-4 或 4<x<5} )

[错解] [辨析]

选 B.
? ?f?x?>0 f(x)g(x)>0?? ? ?g?x?>0 ? ?f?x?<0 或? ? ?g?x?<0

.误选 B, 是忽视了

f(x)<0 且 g(x)<0 的情况.

[正解]

选 D.∵f(x)、g(x)都是 R 上的奇函数,

∴f(x)· g(x)为偶函数, f(x)>0 且 g(x)>0 的 解 集 为 {x|4<x<10}∩{x|2<x<5} = {x|4<x<5}. 由偶函数的对称性知 f(x)<0 且 g(x)<0 的解集为{x|-5<x< -4},故选 D.


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