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人教版高中数学常用函数的倒数公式精品课件


第三章
导数及其应用

第三章
3. 2 导数的计算

第三章
第 1 课时 几个常用函数的 导数及基本初等函数的导数公式

学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

课程目标解读

1 1.能根据导数定义,求函数 y=c,y=x,y=x ,y= 的 x
2

导数. 了解常数函数和幂函数的求导方法和规律. 2.掌握基本初等函数的导数公式,并能利用这些公式求 基本初等函数的导数.

重点难点展示

本节重点:常数函数、幂函数的导数及导数公式的应用. 本节难点:由常见幂函数的求导公式发现规律,得到幂函 数的求导公式.

学习要点点拨

1.在应用(sinx)′=cosx 与(cosx)′=-sinx 时,一要注意 函数的变化;二要注意符号的变化. 1 2.对于公式(a )′=a lna 与(logax)′=xlna记忆较难,又
x x

易混淆,我们应从以下几个方面加深公式的理解与记忆

(1) 区 分 公 式 的 结 构 特 征 , 既 要 从 纵 的 方 面 (lnx)′ 与 (logax)′和 (ex)′ 与 (ax)′区分,又要从横 的 方面 (logax)′与 (ax)′区分,找出差异记忆公式. (2)理解(logax)′的推导过程
? lnx ? 1 1 ? ? (logax)′= lna ′=lna(lnx)′=lna· . x ? ?

3.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的 导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时认真观察函数 的结构特征,进行联想化归,才能抓住问题的本质,打通解题 思路.

课前自主预习

1.若 f(x)=c,则 f ′(x)= 0 .
n-1 若 f(x)=xn(n∈N*),则 f ′(x)= nx . 1 1 -x2 若 f(x)= x,则 f ′(x)= .

若 f(x)=xα(α∈Q),则 f ′(x)=αxα-1. 2.若 f(x)=sinx,则 f ′(x)= cosx . 若 f(x)=cosx,则 f ′(x)= -sinx .

x a lna(a>0). 3.若 f(x)=a ,则 f ′(x)=

x

x 若 f(x)=ex,则 f ′(x)= e .

1 4.若 f(x)=logax,则 f ′(x)= xlna(a>0,且 a≠1) . 1 若 f(x)=lnx,则 f ′(x)= x .

1 2 5.抛物线 y= x 在点(2,1)处的切线方程是( 4 A.x-y-1=0 C.x-y+1=0
[答案] A

)

B.x+y-3=0 D.x+y-1=0

[解析]

1 1 y′= x,y′|x=2= ×2=1, 2 2

1 2 ∴抛物线 y=4x 在点(2,1)处的切线斜率为 1,方程为 x-y -1=0.

1 6.已知函数 f(x)= x,则 f ′(-2)=( A.4 C.-4
[答案] D

)

1 B.4 1 D.-4

[解析]

∵f

?1? 1 ? ? ′(x)= x ′=- 2, x ? ?

1 1 ∴f ′(-2)=- 2|x=-2=- . x 4

课堂典例讲练

思路方法技巧
命题方向
[例 1]

导数公式的直接应用
求下列函数的导数.

(1)y=a2(a 为常数). (2)y=x12. (3)y=x 4.


(4)y=lgx.

[解析]

(1)∵a 为常数,∴a2 为常数,

∴y′=(a2)′=0. (2)y′=(x12)′=12x11. 4 (3)y′=(x )′=-4x =-x5.
-4 -5

1 (4)y′=(lgx)′= . xln10

[点评]

(1)用导数的定义求导是求导数的基本方法,但运

算较繁.利用常用函数的导数公式,可以简化求导过程,降低 运算难度. (2)利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选 择求导公式,将题中函数的结构进行调整.如将根式、分式转 化为指数式,利用幂函数的求导公式求导.

求下列函数的导数 1 (1)y= 2; x (2)y= x; (3)y=2x; (4)y=log2x. 3

[解析]

?1? - - (1)y′=?x2?′=(x 2)′=-2x 3 ? ?

1 (2)y′=( x)′=(x )′= x 3 3
1 3



2 3

(3)y′=(2x)′=2xln2 1 (4)y′=(log2x)′=xln2

建模应用引路
命题方向 求某一点处的导数

[例 2]

1 求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数. x

[解析]

[点评]

求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数,再

代入变量的值求导数.

1 已知 f(x)= ,且 f ′(1)=-3,求 n. n x

1

[解析]

探索延拓创新
命题方向 利用导数公式求切线方程

[例 3]

?π 1? 求过曲线 y=cosx 上点 P?3,2?且与在这点的切线 ? ?

垂直的直线方程.

[解析]

∵y=cosx,∴y′=-sinx,
?π 1 ? P?3,2?处的切线斜率是 ? ?

曲线在点

π π 3 y′|x=3=-sin3=- 2 . 2 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 , 3 1 2 ? π? ∴所求的直线方程为 y- = ?x-3?, 2 3? ? 2π 3 即 2x- 3y- + =0. 3 2

[点评]

在确定与切线垂直的直线方程时,应注意考察函

数在切点处的导数 y′是否为零,当 y′=0 时,切线平行于 x 轴,过切点 P 垂直于切线的直线斜率不存在.

(2012~2013 学年度辽宁大连 24 中高二期末测试)曲线 y= ex 在点(0,1)处的切线斜率为( A.1 C.e
[答案]
[解析]

)

B.2 1 D. e
A
∵y=ex,∴y′=ex,

∴曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线斜率 k=e0=1.

名师辨误作答
[例 4] 求函数 y=2x 在 x=1 处的切线方程.


[错解] ∵y′=(2x)′=x· 2x 1, ∴y′|x=1=1,又 x=1 时,y=2, ∴切线方程为 y-2=x-1, 即 x-y+1=0.

[辨析]

y=2x 是指数函数,而不是幂函数,错解将幂函数

y=xα(α∈Q)与指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的导数公式记混用 错.

[正解]

∵y′=(2x)′=2xln2,

∴y′|x=1=2ln2, 又 x=1 时,y=2, ∴切线方程为 y-2=2ln2(x-1), 即 2xln2-y-2ln2+2=0.

课堂巩固练习

一、选择题 1.函数 f(x)=0 的导数是( A.0 C.不存在 ) B.1 D.不确定

[答案] A [解析] 常数函数的导数为0

2.f(x)= 5 A.2 5 C.3

1 x x2 3

,则 f′(-1)=( 5 B.-2 5 D.-3

)

[答案] D

[解析]

∵f(x)=x
- 8 3



5 3



5 ∴f′(x)=- x 3


- 8 3

5 ∴f′(-1)=-3(-1)

5 =-3.

3.函数 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的 面积为( 9 2 A. e 4 C.e2 ) B.2e2 e2 D. 2

[答案] D

[解析]

∵y′|x=2=e2,

∴切线方程为 y-e2=e2(x-2). 当 x=0 时,y=-e2,当 y=0 时,x=1.
2 1 e 故切线与坐标轴围成三角形面积为2×|-e2|×1= 2 ,故选

D.

二、填空题 4. 曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12, 则 n 等于________.
[答案] 3
- -

[解析] y′=nxn 1,∴y′|x=2=n2n 1=12,∴n=3.

4 5.曲线 y= x3在点 Q(16,8)处的切线斜率是________.
3 [答案] 8
[解析] ∵y=x ,
- 1 4 3 4

3 3 3 -1 4 ∴y′= x = x 4 4

.
- 1 4

3 ∴k=y′|x=16=4×16 3 =4×(24)
- 1 4

3 =8.


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