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高一数学人教A版必修1素材: 1-2函数的图象 含答案 精品

教师下载中心 教学点睛 本课时复习的内容是函数的图象, 函数的图象直观地反映了函数的性质, 通过函数图象 的变换(平移变换、对称变换、伸缩变换)规律和函数的性质的进一步复习,提高答题速度和 准确率.函数的图象变换是互逆的,复习时要善于从函数图象的变换规律、特殊点、定义域、 值域、单调性、奇偶性等各个角度来对图象进行分析,以选取最优解法. 拓展题例 【例 1】 在函数 y=logax(0<a<1,x≥1)的图象上有 A、 B、 C 三点, 它们的横坐标分别为 t、 t+2、 t+4,设△ABC 的面积为 S. (1)求 S 关于 t 的函数表达式; (2)判断 S(t)的单调性; (3)求函数 S(t)的值域. 解 : (1) 如 右 图 所 示 , 设 A ′ 、 B ′ 、 C ′ 是 A 、 B 、 C 在 x 轴 上 的 射 影 , 则 A(t,logat),B(t+2,loga(t+2)),C(t+4,loga(t+4)); 设 BB ′ 与 AC 相 交 于 点 D , 则 可 得 D(t+2, loga t ? loga (t ? 4) ). 2 于是 S(t)= 1 |A′C′|·|BD| 2 a = o g l 1 ·4· [ 2 t ?o g l 2 a (t ? 4) -loga(t+2)] =2loga t (t ? 4) t?2 =loga t 2 ? 4t (0<a<1,t≥1). (t ? 2) 2 4 ](0<a<1)知 S(t)是[1,+∞)上的减函数(证明略). (t ? 2) 2 5 . 9 (2)由 S(t)=loga[ 1 ? (3)当 t=1 时,S(t)取最大值为 loga 又当 t→+∞时,S(t)→0, 5 ). 9 1 【例 2】已知函数 f(x)= x2+lnx. 2 ∴S(t)的值域为(0,loga (Ⅰ)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (Ⅱ)求证:在区间(1,+∞)上函数 f(x)的图象在函数 g(x)= (Ⅲ)设 h(x)=f′(x),证明: [h(x)]n-h(xn)≥2n-2. 解析:(Ⅰ)f′(x)=x+ 2 3 x 的图象的下方; 3 1 ,当 x∈[1,e]时,f′(x)>0, x ∴f(x)在[1,e]上为连续的单调递增函数. 1 1 ,fmax(x)=f(e)= e2+1. 2 2 1 2 2 (Ⅱ)设 F(x)=f(x)-g(x)= x +lnx- x2, 2 3 ∴fmin(x)=f(1)= 又 F′(x)=x+ ? 2 x 3 ? x 2 ? 1 (1 ? x 3 ) ? ( x 2 ? x 3 ) (1 ? x)(2 x 2 ? x ? 1) 1 -2x2= = = x x x x 当 x∈(1,+∞)时,1-x<0,x>0,2x2+x+1>0 成立, ∴F′(x)<0,即在[1,+∞]上连续的函数 F(x)单调递减, ∴x∈(1,+∞)时,F(x)<F(1)= 即 F(x)<0,∴f(x)<g(x), ∴结论成立. (Ⅲ)由已知 h(x)=f′(x)=x+ ∴[h(x)]n-h(xn)=(x+ 1 n-1 = Cn x 1 2 1 - =- <0, 2 3 6 1 , x 1 1 1 2 n-2 1 n?2 2 n ?1 n?2 + C + Cn x + … + x C n n x n ?1 2 x x x x 1 1 1 n-2 2 n-4 n?2 n ?1 = Cn x + Cn x +…+ Cn + Cn x n?2 n?4 x 1 1 1 1 1 1 2 n?2 n ?1 = [ Cn (xn-2+ n ? 2 )+ C n (xn-4+ n ? 4 )+…+ Cn ( n ? 4 +xn-4)+ Cn ( x n ? 2 +xn-2)] 2 x x x 又∵x>0, ∴上式≥ 1 n n 1 ) -x - n x x 1 1 2 n?2 n ?1 (2 C n +2 C n +…+2 Cn +2 Cn ) 2 1 2 n ?1 = Cn + Cn +…+ Cn =2n-2. ∴结论成立.

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