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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:立体几何高考题精讲

年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 立体几何高考题精讲 刘咏霞 一校 付秋花 二校 黄楠 审核 隋冬梅 高考中常见考点: 1. 空间几何体的结构、三视图、直观图、表面积和体积 2. 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质 (1)两条异面直线相互垂直 证明方法: ①证明两条异面直线所成角为 90? ; ②证明线面垂直,得到线线垂直; ③证明两条异面直线的方向向量相互垂直。 (2)直线和平面相互平行 证明方法: ①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行; ②证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行; ③证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直。 (3)平面和平面平行 证明方法: ①证明一个面的两条相交直线平行于另一个平面; ②证明两个平面都与第三个平面平行; ③证明这两个平面垂直于同一条直线。 (4)直线和平面垂直 证明方法: ①证明直线和平面内两条相交直线都垂直; ②证明直线的方向向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直; ③证明直线的方向向量与这个平面的法向量相互平行。 (5)平面和平面相互垂直 证明方法: ①证明这两个平面所成二面角的平面角为 90? ; ②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面; ③证明两个平面的法向量相互垂直。 3. 空间距离和角 求距离: 求距离的重点在点到平面的距离, 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转 化成点到平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 1 (1)两条异面直线的距离 求法:利用公式法。 (2)点到平面的距离 求法:①“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。 求角: (1)两条异面直线所成的角 求法:①先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然 后通过解三角形去求得; ②通过两条异面直线的方向向量所成的角来求得, 但是注意到异面直线所成角的范围是 (0, ] ,向量所成的角范围是 [0, ? ] ,如果求出的是钝角,要注意转化成相应的锐角。 2 (2)直线和平面所成的角 求法:①“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。 ②向量法,先求直线的方向向量于平面的法向量所成的角 α,那么所要求的角为 或? ? ? ? 2 ?? ? 2 。 (3)平面与平面所成的角 求法:①“一找二证三求”,找出这个二面角的平面角,然 后再来证明我们找出来的这个 角是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。 ②向量法,先求两个平面的法向量所成的角为 α,那么这两个平面所成的二面角的平面 角为 α 或 π-α。 例题 1 (课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 16+8π B. 8+8π C. 16+16π 2 D. 8+16π 解析:根据三视图可以判断该几何体由上下两部分组成,其中上面部分为长方体,下面 部分为圆柱,所以组合体的体积为 2× 2× 4+ 答案:A 点拨:本题考查空间组合体的三视图及组合体的体积计算,意在考查学生的识图能力、 空间想象能力以及计算能力。 先根据三视图判断组合体的结构特征, 再根据几何体的体积公 式进行计算。 例题 2 (江苏高考) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2,AB∥DC,∠BCD=90° 。 1 2 ×2 ? ? 4=16+8? ,选择 A。 2 (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 解析: (1)要证明 PC⊥BC,可以转化为证明 BC 垂直于 PC 所在的平面,由 PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90° ,容易证明 BC⊥平面 PCD,从而得 证; (2)注意到第一问证明的结论,取 AB 的中点 E,容易证明 DE∥平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相等,而 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍,由第 一问证明的结论知平面 PBC⊥平面 PCD,交线是 PC,所以只求 D 到 PC 的距离即可,在等 腰直角三角形 PDC 中易求。 答案: (1)证明:∵PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,∴PD⊥BC。 由∠BCD=90° ,得 CD⊥BC。 又 PD DC=D,PD、DC ? 平面 PCD, ∴BC⊥平面 PCD。 ∵PC ? 平面 PCD,∴PC⊥BC。 (2)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连接 DE、DF,则: 易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由(1)知:BC⊥平面 PCD,∴平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC。 ∵PD=DC,PF=FC,∴DF⊥PC,∴DF⊥平面 PBC 于 F。 易知 DF= 2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2 3 点拨:本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系,几何体的体积空间想象能力、推 理论证能力和运算能力。 向量解决的立体几何异面直线所成角问题 满分训练 (全国高考)三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,? BAA1 = ? CAA1=60° ,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 A1 D B1 C1 。 O C A B 解析:连接 A、B 交 AB1 于点 O,取 A1C1 的中点 D,连接 B1D、DO。 O、D 分别为 A1B 、A1C1 的中点, ? OD∥BC1,? ? DOB1 或其补角即为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角。 3 设各棱长为 a,则 DB1= a, 2 3 ,? OB1=AO= a, ? A1AB=60° 2 又 BC1 ? BB1 ? BC ? AA

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