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专题五运用导数探究曲线的切线问题

专题五:运用导数探究曲线的切线问题
1.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=

1 2 ax +bx,a≠0.设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)图象 C2 2

交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的 垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,证明 C1 在点 M 处的 切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

2.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 3

(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求

f ( x) 的单调区间; (2)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M
( x1 , f ( x1 ) ),N( x 2 , f ( x2 ) ),P( m, f (m) ),

x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P

处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以下问题: (I)若对任意的 m ? ( x1 , x 2 ), 线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值,并证明你的结论; (II) 若存在点 Q(n ,f(n)), x ? n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点,请直接写 出 m 的取值范围(不必给出求解过程)

1

3.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值。 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间 [ ?1,1] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 ; (Ⅲ)若过点 A(1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围。

4.已知函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? bx ? c 在 ? ??, 0 ? 上是减函数,在 ? 0,1? 上是增函数,函数
3 2

f ? x ? 在 R 上有三个零点. (1)求 b 的值;
(2)若1是其中一个零点,求 f ? 2 ? 的取值范围; (3)若 a ? 1,g ? x ? ? f 相切?请说明理由.
'

? x ? ? 3x 2 ? ln x ,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)

2

5.已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .
3 2

?

?

⑴求函数 f ? x ? 的解析式; ⑵若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c ,求实数 c 的最小值; ⑶若过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

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