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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:精析定积分的简单应用

年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 精析定积分的简单应用 张变英 一校 黄楠 二校 林卉 审核 张利婷 考点 1 定积分在几何中的应用 1. 用定积分求曲边图形的面积的求法 ①先求交点,确定积分上、下限; ②确定被积函数; ③借助于定积分的几何意义将面积表示出来; ④用微积分基本定理计算定积分,求出结果。 2. 几种常见的曲边梯形面积的计算方法 ①由一条曲线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲 ) 边梯形的面积: S= f ( x )dx (如图(1) ) ; a ? b ②由一条曲线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲 ) 边梯形的面积: S= f ( x )dx =- f ( x )dx (如图(2) ) ; a a ? b ? b ③由两条曲线 y ? f ( x),y ? g( x)(其中f ( x) ? g( x) 与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 所围成 ) 的曲边梯形的面积: S= [ f ( x) ? g ( x)]dx (如图(3) ) 。 a ? b 【注意】 求曲边图形的面积可以利用定积分的几何意义和微积分基本定理, 但图形面积 与定积分不一定相等,如 y=sin x, x ?[0, 2? ] 的图象与 x 轴围成的面积是 4,而定积分的 值是 0。 考点 2 定积分在物理中的应用 1. 求变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s 等于其速度函数 v=v(t)[v(t) ? 0]在时间区 间[a,b]上的定积分,即 s= 2. 变力做功问题 1 ? b a v(t )dt 。 如果物体沿着与变力 F (x) 相同的方向从位置 x=a 移动到 x=b (a<b) , 那么变力 F (x) 所做的功 W = ? b a F ( x)dx 。 【高考趋势】 对于本部分内容在高考中主要侧重于定积分在几何中的运用, 体会运用定 积分的思想来求解曲边梯形的面积,因此相对来说试题的难度不太大,中等难度题目居多。 【易错点】求解曲边梯形的面积时,能够准确地运用定积分来表示,同时要注意结合图 象法或者方程的思想求解交点,确定上、下限问题。 例题 1 证明:把质量为 m(单位:kg)的物体从地球的表面升高到 h(单位:m)处 所做的功为 W=G· Mmh ,其中 G 是地球引力常数,M 是地球的质量,k 是地球的半径。 k ( k ? h) 解析:研究变力做功的问题,结合定积分的物理意义得到。 答案:证明:根据万有引力定律,知道对于两个距离为 r,质量分别为 m1、m2 的质点, 它们之间的引力 f 为 f = G· m1m2 ,其中 G 为引力常数。 r2 Mm 。 (k ? x) 2 则当质量为 m 物体距离地面高度为 ( x 0≤x≤h) 时, 地心对它有引力 f(x)= G· 故该物体从地面升到 h 处所做的功为 h 1 Mm 1 · dx = GMm ? dx = GMm (? ) 2 2 0 (k ? x) (k ? x) k?x 1 1 Mmh = GMm(? 。 ? ) ? G? k ?h k k ( k ? h) W ? ? f ( x) dx = ? G ? 0 h h h 0 0 例题 2 求由抛物线 y ? x ? 4 与直线 y ? ? x ? 2 所围成的图形的面积。 2 解析:画出草图,求出直线与抛物线的交点,转化为定积分的计算问题。 答案:由 ? ? y ? x 2 ? 4, ? y ? ? x ? 2, 得? ? x ? ?3, ? x ? 2, 或? ? y ? 0, ? y ? 5, 所以直线 y ? ? x ? 2 与抛物线 y ? x ? 4 的交点为(-3,5)和(2,0) , 2 设所求图形面积为 S,根据图形可得 S ? ? [(? x ? 2) ? ( x 2 ? 4)]dx ?3 2 ? ? (? x 2 ? x ? 6)dx ?3 2 2 1 1 ? (? x 3 ? x 2 ? 6 x) 3 2 125 ? 6 2 ?3 点拨:此题属于不分割型图形面积的求解问题,可直接用求曲边图形面积的方法求解。 例题 3 计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2 x 以及 x 轴所围图形的面积 S。 解析:首先画出草图,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题。与 例题 2 不同的是,此题还需把所求图形的面积分成两部分 S1 和 S2。为了确定出被积函数和 积分的上、下限,需要求出直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 与 x 轴的交点。 答案:作出直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2 x 的交点的横坐标,直线 y ? x ? 4 2 x 的草图,所求面积为图中阴影部分的面积。 ? y ? 2x , ? 得直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 2 x 的交点的坐标为(8,4) 。 ? ?y ? x ? 4 直线 y ? x ? 4 与 x 轴的交点为(4,0) 。 解方程组 ? 因此,所求图形的面积为 S=S1+S2 ? ? 8 4 4 0 2 xdx ? [ ? 40 。 3 8 4 2 xdx ? ? ( x ? 4)dx] 4 8 ? 2 2 x 3 3 2 4 0 ? 2 2 x 3 3 2 8 4 1 ? ( x ? 4)2 2 ? 点拨: 此题属于分割型图形面积的求解问题。 此类题通常是由两条或两条以上的曲线围 成的较为复杂的图形, 在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化, 求出曲线的交点坐 标后,可以将积分区间进行细化分段,然后根

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