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05-演绎推理


2.1.2 演绎推理

我们先看一个简单的例子。 我们先看一个简单的例子。 命题:等腰三角形的两底角相等。 命题:等腰三角形的两底角相等。 已知:如图, 已知:如图,在△ABC中,AB=AC, 中 , 求证: 求证:∠B=∠C。 ∠ 。 A 证明: 的角平分线AD, 证明:作∠A的角平分线 , 的角平分线 则∠BAD=∠CAD, ∠ , 又因为AB=AC,AD=AD, B 又因为 , , D 所以△ 所以△ABD≌△ACD(SAS), ≌ ( ), 因此∠B=∠C。 因此∠ ∠ 。

C

分析上述推理过程,可以看出, 分析上述推理过程,可以看出,推理的 根据一般性命题( 每一个步骤都是根据一般性命题 每一个步骤都是根据一般性命题(如“全 等三角形对应角相等” 等三角形对应角相等”)推出特殊性命题 (如“∠B=∠C”)。 ∠ )。
一、演绎推理 这类根据一般性的真命题(或逻辑规则) 这类根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出 特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理 演绎推理。 特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理。 演绎推理即由一般到特殊的推理 演绎推理即由一般到特殊的推理. 即由一般到特殊的推理

二、演绎推理的特征是: 演绎推理的特征是: 当前提为真时,结论必然为真。 当前提为真时,结论必然为真。 例如,由真命题 , 遵循演绎推理规则 例如,由真命题a,b遵循演绎推理规则 得出命题q, 必然为真 必然为真。 得出命题 ,则q必然为真。 三、演绎推理的一般模式:三段论 演绎推理的一般模式: 1.大前提 已知的一般原理 1. 大前提—已知的一般原理; 大前提 已知的一般原理; —M是P M

2.小前提 所研究的特殊情况 2.小前提—所研究的特殊情况; —S是M 小前提 所研究的特殊情况; S 3.结论 根据一般原理 3.结论—根据一般原理,对特殊 —∴S是P 结论 根据一般原理, ∴ 情况作出判断. 情况作出判断.

例1.已知空间四边形 .已知空间四边形ABCD中,点E、F分 中 、 分 别是AB、 的中点 求证: 的中点, 平面BCD. 别是 、AD的中点,求证:EF//平面 平面 证明:连接 ,因为点E、 证明:连接BD,因为点 、F 分别是AB、 的中点 的中点, 分别是 、AD的中点, 所以 EF//BD, , 又因为EF ? 平面 平面BCD, 又因为 , BD
B E A

F D

C

?

平面BCD, , 平面

//平面 所以 EF//平面BCD。

在此证明中, 在此证明中,第一步实际上暗含着一个 一般性原理: 一般性原理:三角形的中位线平行于第三 边。这是大前提。 这是大前提。 而对特殊的△ 是中位线, 而对特殊的△ABD,EF是中位线,这是 , 是中位线 小前提。 小前提。 把一般性原理用于特殊情况, 把一般性原理用于特殊情况,便得到了 结论EF//BD。 。 结论

第二步,同样暗含这一个一般性原理: 第二步,同样暗含这一个一般性原理: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内 的一条直线平行, 的一条直线平行,那么这条直线和这个平 面平行。这是大前提。 面平行。这是大前提。 而EF//BD,EF ? 平面BCD,BD ?平 , 平面 , 面BCD,这是小前提, ,这是小前提, 把一般性原理用于特殊情况, 把一般性原理用于特殊情况,便得到了 结论EF//平面 平面BCD。 结论 平面 。

x?2 ( a > 1) 已知函数: 例2、已知函数: f ( x ) = a + x+1
x

求证:f(x)在 求证:f(x)在(-1,+∞)上为增函数. +∞)上为增函数. 证明:任取x 证明:任取 1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2 ,
x2 2 x1 1 2 1 2 1

x ?2 x ?2 ∴ f (x ) ? f (x ) = a + ?a ? x +1 x +1 x ?2 x ?2 =a ?a + ? x +1 x +1 3( x ? x ) = a (a ? 1) + ( x + 1)( x + 1) Q x ? x > 0, a > 1,∴ a > 1 Q ?1 < x < x ,∴ x + 1 > 0, x + 1 > 0 ∴ f ( x ) ? f ( x ) > 0 ∴ f ( x )在( ?1,+∞ )上为增函数 .
x2 x1 2 1 2 1 x1 x 2 ? x1 2 1
x 2 ? x1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

大前提是增函数定义,小前提是此函数满足定义. 大前提是增函数定义,小前提是此函数满足定义.


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