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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:精讲二项式定理及其应用

高中数学 编稿老师 精讲二项式定理及其应用 刘咏霞 一校 程文军 二校 黄楠 审核 隋冬梅 1. 二项式定理 0 n 1 n ?1 1 k n?k k n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N * ) 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式, 其中的系数 Cn (k=0,1,2,?,n)叫做二项式系数。式中的 Cn a 的通项,用 Tk+1 表示,即展开式的第 k+1 项;Tk+1= Cn a 2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n+1。 (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数的和为 n。 (3)字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零;字母 b 按升幂排 列,从第一项起,次数由零逐项增 1 直到 n。 (4)二项式的系数为 Cn , Cn ,?, Cn , Cn 。 3. 二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 Cn ? Cn m n ?m 0 1 n ?1 n k n ?k k k n ?k bk 叫做二项展开式 bk 。 (2)增减性: 二项式系数 Cn ,当 k ? k 当k ? n ?1 时,二项式系数是递减的。 2 n n ?1 时,二项式系数是递增的; 2 (3)最大值: 当 n 是偶数时,中间的一项 Cn2 取得最大值。 n ?1 n ?1 当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 和 Cn 2 相等,且同时取得最大值。 (4)二项式系数的和 (a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,即 0 1 2 Cn ? Cn ? Cn ? k ? Cn ? n ? Cn ? 2n 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? 0 2 ? Cn ? Cn ? ? 2n?1 4. 二项式定理的应用 (1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等。 (2)展开式的应用: ①可证明与二项式系数有关的等式; ②可证明不等式; 1 ③可证明整除问题; ④可做近似计算等。 例题 (1)已知 2n 2· 3n+5n-a 能被 25 整除,求正整数 a 的最小值; + (2)求 1.028 的近似值。 (精确到小数点后三位) 解析: (1)将已知式子按二项式定理展开,注意转化时和 25 的联系; (2)近似值计算 只要看展开式中的项的大小即可。 答案: (1)原式=4· 6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a =4( Cn 5 + Cn 5 0 n 1 n ?1 +?+ Cn 5 + Cn 5 + Cn )+5n-a n?2 2 n ?1 n 0 n 1 n ?1 n?2 2 =4( Cn 5 + Cn 5 +?+ Cn 5 )+25n+4-a, 显然正整数 a 的最小值为 4。 (2)1.028=(1+0.02)8≈ C8 + C8 · 0.02+ C8 · 0.022+ C8 · 0.023≈1.172。 点拨: (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关 注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项。 (2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式。 0 1 2 3 二项展开式中易混淆概念 1. 二项式的项数与项 n-k k n-k k (1)二项式的展开式共有 n+1 项, Tk ?1 =Ck b ,即 k+1 是项数,Ck b 是项。 na na n k k (2)通项是 Tk+1=Ck b (k=0,1,2,?,n) ,其中含有 Tk+1,a,b,n,k 五个 na - 元素,只要知道其中四个即可求第五个元素。 2. 二项式系数与展开式项的系数的异同 n k k 在 Tk+1=Ck b 中,Ck na n就是该项的二项式系数,它与 a,b 的值无关;而 Tk+1 项的系 - 数是指化简后字母前的数。 【满分训练】 已知( 3 x +x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式 系数和大 992,求在 (2 x ? ) 的展开式中, 2n 1 x (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项。 分析: 本题易将二项式系数和系数混淆, 利用赋值来求二项式系数的和导致错误; 另外, 也要注意项与项的系数,系数的绝对值与系数的区别。 答案:由题意知,22n-2n=992, 即(2n-32) (2n+31)=0,∴2n=32,解得 n=5。 (1)由二项式系数的性质知, (2 x ? ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, 10 1 x 即 C5 10=252,∴二项式系数最大的项为 2 5 T6= C10 (2 x)5 (? )5 =-8 064; 1 x (2)设第 r+1 项的系数的绝对值最大, ∴Tr+1= C10 (2 x) r 10 ? r 1 (? ) r x r 10? r 10? 2 r = (?1)r C10 , 2 x r r ?1 ?C10 ? 210?r ? C10 ? 210?r ?1 ? ∴? , r 10 ? r r ?1 10 ? r ?1 ? ?C10 ? 2 ? C10 ? 2 r r ?1 ?C10 ? 2C10 ?11 ? r ? 2r ? 得? ,即 ? , r r ?1 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ? ?2C10 ? C10 8 11 解得 ≤r≤ , 3 3 ∵r∈Z,∴r=3,故系数的绝对值最大的项是第 4 项, T4=- C10 ? 2 ? x =-15 360x4。 3 7 4 点拨: (1)本题重点考查了二项式的通项公式,二项式系数、项的系数以及项数和

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