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函数的和、差、积、商的导数(2)



题:

3.3 函数的和、差、积、商的导数(2)

教学目的: 1.理解商的导数法则,并能进行运用. 2.能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点:商的导数法则. 教学难点:两个函数的商的求导法则的推导. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:
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1.导数的定义:设函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处附近有定义,如果 ?x ? 0 时,

?y 与 ?x 的比

?y ?y (也叫函数的平均变化率) 有极限即 无限趋近于某个常数, ?x ?x
x ? x0

/ 我们把这个极限值叫做函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的导数,记作 y

,即

f / ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
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2. 导数的几何意义:是曲线 y ? f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率

因此,如果 y ? f (x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f (x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切 线方程为 y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 )
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3. 导函数(导数):如果函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数, 此时对于每一个 x ? (a, b) ,都对应着一个确定的导数 f ( x) ,从而构成了一个
/ / / 新的函数 f ( x) , 称这个函数 f ( x) 为函数 y ? f (x) 在开区间内的导函数,简

称导数, 4.可导: 如果函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内每一点都有导数,则称函数

y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内可导

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5. 可导与连续的关系:如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导,那么函数 y=f(x)在点 x0 处连续,反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是 充分条件. 6. 求函数 y ? f (x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x)

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?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ?x ?y / (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim ?x ?0 ?x 7. 常见函数的导数公式:
(2)求平均变化率

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C ' ? 0 ; ( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x
8.法则 1 法则 2 二、讲解新课:

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[u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) .
[u ( x )v ( x?)? u ' x v ?x ) u x ,v [Cu( x)]? ? Cu '( x) ] ( ) ( ( ) 'x ) (
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法则 3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的 导数与分子的积,再除以分母的平方,即

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

证明:令 y ? f ( x) ?

u ( x) , v( x)

?y ? [

u ( x ? ?x) u ( x ) u ( x ? ?x)v( x) ? u ( x)v( x ? ?x) ]? ? v( x ? ?x)v( x) v( x ? ?x) v( x)

?

[u ( x ? ?x) ? u ( x)]v( x) ? u ( x)[v( x ? ?x) ? v( x)] , v( x ? ?x)v( x)

u ( x ? ?x) ? u ( x) v( x ? ?x) ? v( x) v( x) ? u ( x) ?y ?x ?x ? ∴ ?x v( x ? ?x)v( x)

因为 v(x)在点 x 处可导,所以 v(x)在点 x 处连续.于是当 ?x ? 0 时, v(x+ ?x ) ?v(x).



?y lim ? ?x ?0 ?x
'

( lim

?x ?0

?u ?v )v ? u ( lim ) u ' v ? uv ' ?x ?0 ?x ?x ? v2 [ lim v( x ? ?x)]v( x)
?x ?0



? u ? u' v ? uv' y' ? ? ? ? (v ? 0) . v2 ?v?
?u? ?v? u ' ? u ? u ' v ? uv' , ? ?' ? ; v' ? v ? v2

说明:⑴ ? ?' ?

⑵若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为 0) 必可导.若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如,设 f(x)=sinx+

1 1 、g(x)=cosx- ,则 f(x)、g(x)在 x=0 处均不可导,但 x x
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它们的和 f(x)+g(x)=sinx+cosx 在 x=0 处可导 三、讲解范例:

x2 例 1 求 y= 的导数. sin x
分析: 这题可以直接利用商的导数法则. 解:y′=(

x2 ( x 2 )? sin x ? x 2 (sin x)? 2 x sin x ? x 2 cos x )′= ? sin x (sin x) 2 sin 2 x
x?3 在点 x=3 处的导数. x2 ? 3 x?3 ( x ? 3)?( x 2 ? 3) ? ( x ? 3)( x 2 ? 3)? )′ ? x2 ? 3 ( x 2 ? 3) 2

例 2 求 y=

分析: 这题既要用到商的导数法则,还要用到和的导数法则. 解:y′=(

?

x 2 ? 3 ? 2 x( x ? 3) ? x 2 ? 6 x ? 3 ? ( x 2 ? 3) 2 ( x 2 ? 3) 2
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? 32 ? 6 ? 3 ? 3 ? 24 1 ∴y′|x=3= ? ?? 2 2 (3 ? 3) 144 6

例 3 求 y=

1 ·cosx 的导数. x

分析: 这道题可以看作两个函数的乘积, 也可以看作两个函数的商, 所以不同的 看法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求. 解法一:y′=(
? 1 2

1 1 1 ·cosx)′=( )′cosx+ (cosx)′ x x x

1 1 ?3 1 sin x ? ? x 2 cos x ? sin x 2 x x cos x 1 cos x ? 2 x sin x ?? ? sin x ? ? 3 x 2x x 2 x ? ( x )? cos x ?
解法二:y′=(

1 cos x ·cosx)′=( )′ x x

1 ?1 ? sin x ? x ? cos x ? ? x 2 (cos x)? x ? cos x( x )? 2 ? ? 2 x ( x)
2 x ?? x cos x ? 2 x sin x ?? 2x x
例 4 求 y=cotx 的导数. 解:y′=(cotx)′=(

x sin x ?

1

cos x ??

2 x sin x ? cos x 2x x

cos x (cos x)? sin x ? cos x(sin x)? )′ ? sin x (sin x) 2

?

? sin x ? sin x ? cos x ? cos x 1 ? ? 2 ? ? csc 2 x 2 sin x sin x 1? x 的导数. 3? x

例 5 求 y=

解:y′=(

1? x (1 ? x)?(3 ? x 2 ) ? (1 ? x)(3 ? x 2 )? )′= 3? x (3 ? x 2 ) 2

3 ? x 2 ? (1 ? x)(?2 x) x 2 ? 2 x ? 3 ? ? (3 ? x 2 ) 2 (3 ? x 2 ) 2
1? x2 例 6 求 y= 的导数. sin x
解:y′=(

1? x2 (1 ? x 2 )? sin x ? (1 ? x 2 )(sin x)? )′ ? sin x (sin x) 2

?

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x 4 ? x3 的导数. x 2 cos x

例 7 求 y=

解:y′=(

4 ? x3 (4 ? x 3 )? x 2 cos x ? (4 ? x 3 )( x 2 cos x)? )′ ? x 2 cos x ( x 2 cos x) 2

? 3 x 2 ? x 2 cos x ? (4 ? x 3 )(2 x cos x ? x 2 sin x) x 4 cos 2 x ? x 4 cos x ? 8 x cos x ? 4 x 2 sin x ? x 5 sin x ? x 4 cos 2 x (4 ? x 4 ) sin x ? ( x 3 ? 8) cos x ? x 3 cos 2 x ?
四、课堂练习: 1.填空: (1) (

1? x2 ( ) sin x ? (1 ? x 2 )( ) x ( )( x 2 ? 1) ? x( ) ;(2) ( )? ? )? ? 2 sin x 4 sin 2 x x2 ?1 ( x 2 ? 1) 2

x x?( x 2 ? 1) ? x( x 2 ? 1)? (1)( x 2 ? 1) ? x(2 x) 解:(1)∵ ( 2 )? ? ? ( x 2 ? 1) 2 x ?1 ( x 2 ? 1) 2

(2) (

1? x2 (1 ? x 2 )?2 sin x ? (1 ? x 2 )(2 sin x)? )? ? 2 sin x (2 sin x) 2
? 2 x ? 2 sin x ? (1 ? x 2 )(2 cos x) (4 x) sin x ? (1 ? x 2 )(2 cos x) ? 4 sin 2 x 4 sin 2 x
a?x a?x
(2)y=

2.求下列函数的导数:(1)y=

x?2 1 (3)y=tanx (4)y= 2 1 ? cos x 3x

解:(1)y′=(

a?x (a ? x)?(a ? x) ? (a ? x)(a ? x)? )′ ? a?x ( a ? x) 2

?

? ( a ? x) ? ( a ? x) ? 2a ? 2 ( a ? x) ( a ? x) 2

x?2 ( x ? 2)?(3x 2 ) ? ( x ? 2)(3x 2 )? (2)y′=( )′ ? 3x 2 (3x 2 ) 2

3x 2 ? ( x ? 2)(6 x) ? 3x 2 ? 12x x?4 ? ? ?? 3 4 4 9x 9x 3x
(3)y′=(tanx)′=(

sin x (sin x)? cos x ? sin x(cos x)? )′ ? cos x (cos x) 2

?

cos 2 x ? sin 2 x 1 ? ? sec2 x 2 2 cos x cos x
1 1?(1 ? cos x) ? 1? (1 ? cos x)? )′ ? 1 ? cos x (1 ? cos x) 2

(4)y′=(



0(1 ? cos x) ? sin x sin x ?? 2 (1 ? cos x) (1 ? cos x) 2

3.判断下列求导是否正确,如果不正确,加以改正.

1 ? cos x 2 x(1 ? cos x) ? x 2 sin x ( )? ? x2 x2
解:不正确,分母未平方,分子上正负号弄错.

1 ? cos x (1 ? cos x)? x 2 ? (1 ? cos x)( x 2 )? ( )? ? x2 (x2 )2 ? sin x ? x 2 ? (1 ? cos x)(2 x) x sin x ? 2(1 ? cos x) ? ?? 4 x x3 x sin x ? 2 cos x ? 2 ?? x3
注意:两个函数的乘积的导数的符号是加号,两个函数的商的导数分母是 原分母的平方,分子上的符号是减号
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五、小结 :这节课主要学习了商的导数法则(

u u ?v ? uv? )′= (v≠0),如何综 v2 v

合运用函数的和、差、积、商的导数法则,来求一些复杂函数的导数.要将和、 差、积、商的导数法则记住 六、课后作业:?
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七、板书设计(略) 八、课后记:
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