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2014年广东省广州市高中数学教师解题比赛决赛试题与参考答案


2014 年广州市高中数学教师解题比赛 决 赛 试 题
(2014 年 4 月 13 日上午 9∶00-11∶00) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,有且只有一项是符合题目要求的.请将答案代号填在答题卷的相应 位置上.
1.设集合 M ? ?a, b, c? , N ? ?0,1 ? ,映射 f : M ? N 满足 f ? a? ? f ? b? ? f ? c? ,则映 射 f : M ? N 的个数为 A.1 B .2 C.3 D.4 D C

2.直角梯形 ABCD 中, AB

DC , AB ? 2CD , ?A ? 45 ,

AD ? 2 .以直线 AB 为轴将梯形 ABCD 旋转一周所得旋转体
的体积为 A. A B. ? B

8 2 ? 3

4 3

C.

10 2 ? 3

D. 4 2?

3.已知 f ? x ? 是奇函数,定义域为 x x ? R , x ? 0 ,又 f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上是增函数, 且 f ? ?1? ? 0 ,则满足 f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围是 A. ?1, ?? ? B. ? ?1,0?

?

?

?1, ???

C. ? 0,1?

D. ? ??, ?1?

?1, ???

4.已知虚数 z ? ? x ? 2? ? yi ,其中 x 、 y 均为实数,当 z ? 1时, A. ? ?

y 的取值范围是 x

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

B. ? ?

? ?

3 ? ,0? 3 ? ?

? 3? 0, ? ? ? ? 3 ?

C. ? ? 3, 3 ?

?

?

D. ? ? 3, 0

?

? ? 0,

3? ?

5.设 f ? x ? ? x ?ax ?b ,且 1 ? f ??1? ? 2 , 2 ? f ?1? ? 4 ,则点 ? a, b ? 在 aOb ( O 为坐标
2

原点)平面上的区域的面积是 A.

1 2

B.1

C .2

D.

9 2

6.已知向量 OP ? ? 2,1? , OA ? ?1,7 ? , OB ? ? 5,1? ,设 X 是直线 OP 上的一点( O 为坐标 原点),那么 XA ? XB 的最小值是 A.-16 B.-8 C.0 D.4
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广州市高中数学教师解题比赛试题参考答案

7.等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则“ a1 ? 0 ,且 q ? 1 ”是“ ? n ? N ,都有 an?1 ? an ”的
*

A.充分非必要条件 C.充要条件

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

8.若不论 k 为何值,直线 y ? kx ? b ? 2k 与曲线 x 2 ? y 2 ? 1总有公共点,则 b 的取值范围是 A. ? 3, 3

?

?

B. ? ? 3, 3 ?

9.已知集合 A 、 B 、 C , A ? ?直线? , B ? ?平面? , C ? A ? B ,若 a ? A , b ? B , c ? C ,

?

?

C. ? ?2, 2 ?

D. ? ?2, 2?

a?b ? a // c ;② ?a?b ? a?c ;③ ?a // b ? a // c ;④ ?a // b ? a?c , 给出四个命题: ① ? ? ? ? ? ?c?b ?c // b ?c // b ?c?b
则正确命题的个数为 A.0 B .1 C.2 D.3

10.在一次足球预选赛中,某小组共有 5 个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场) ,已知胜 一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分.积分多的前两名可出线(积分相等则要比净 胜球数或进球总数).赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 A.22 B.23 C.24 D.25

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将答案填在答题卷的相应位置上. 11.已知 x 是三角形的一个内角,满足 sin x ? cos x ?

1? 3 ,则 x ? 2

* .

12 .已知正三棱锥 S ? ABC 的高为 3 ,底面边长为 4 ,在正三棱锥内任取一点 P ,使得

1 VP? ABC ? VS ? ABC 的概率是 2

*



13.对于正整数 n 和 m ,其中 m ? n ,定义 nm ! ? (n ? m)(n ? 2m)(n ? 3m)…(n ? km) ,其中

k 是满足 n ? km 的最大整数,则

184 ! ? 206 !

*



14.有两个向量 e1 ? (1, 0) , e2 ? (0,1) ,今有动点 P ,从 P0 (?1, 2) 开始沿着与向量 e1 ? e2 相同的
1 ) 开始沿着与向量 3e1 ? 2e2 方向作匀速直线运动,速度为 e1 ? e2 ;另一动点 Q ,从 Q0 (?2, ?

相同的方向作匀速直线运动,速度为 3e1 ? 2e2 .设 P 、 Q 在时刻 t ? 0 秒时分别在 P0 、 Q0 处,则当 PQ ? P0Q0 时, t ? * 秒.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15. (本小题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? sin2 ax ? sinax cosax? 象的两条相邻对称轴间的距离为 ( 1)求 m 的值;
? ?? ( 2)若点 A? x0, y0 ? 是 y ? f ( x) 图象的对称中心,且 x0 ? ?0, ? ,求点 A 的坐标. ? 2?
1 2 ? . 4

的图象与直线 y ? m 相切,若函数 (a? 0)

f ? x? 图

16. (本小题满分 12 分) 一个口袋中装有 n 个红球( n ? 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个
*

球颜色不同则为中奖. (1)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (2)若 n ? 5 ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P ,当 n 取多少时, P 最大?

17. (本小题满分 14 分) 如图所示,正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值为 (1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (2)若 E 是 PB 中点,求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值; (3)在侧面 PAD 上寻找一点 F ,使 EF ⊥侧面 PBC . 试确定 F 点的位置,并加以证明. P

6 . 2

E

D A
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C B

18. (本小题满分 14 分) 这是一个计算机程序的操作说明: (1)初始值 x ? 1 , y ? 1 , z ? 0 , n ? 0 ; (2) n ? n ? 1 (将当前 n ? 1 的值赋予新的 n ) ; (3) x ? x ? 2 (将当前 x ? 2 的值赋予新的 x ) ; (4) y ? 2 y (将当前 2 y 的值赋予新的 y ) ; (5) z ? z ? xy (将当前 z ? xy 的值赋予新的 z ) ; (6)如果 z ? 7000 ,则执行语句(7) ,否则回语句(2)继续进行; (7)打印 n , z ; (8)程序终止. 由语句(7)打印出的数值为 , . 以下写出计算过程:

19. (本小题满分 14 分) 如图,已知过点 D (?2, 0) 的直线 l 与椭圆 弦 AB 的中点. (1)若 OP ? OA ? OB ,求点 P 的轨迹方程; (2)求

x2 ? y 2 ? 1交于不同的两点 A 、 B ,点 M 是 2

P M A D

y B

l

| MD | 的取值范围. | MA |

O

x

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e x ? x (e 为自然对数的底数) . (1)求 f ? x ? 的最小值; (2)设不等式 f ? x ? ? ax 的解集为 P ,且 ?x | 0 ? x ? 2? ? P ,求实数 a 的取值范围;
n e k? (3)设 n ? N ? ,证明: ? ? . ? ? ? k ?1 n

?n?

e ?1

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2014 年广州市高中数学教师解题比赛 决赛试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 B 5 B 6 B 7 A 8 B 9 B 10 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
11.

5? 6

12.

7 8

13.

15 2

14. 2

三、解答题,本大题共 6 小题,满分 80 分. 15. (本小题满分 12 分) 解: ( 1) f ( x) ? sin 2 ax ? sin ax cos ax ?

1 2 1 1 ? cos 2ax 1 ? ? sin 2ax ? 2 2 2
2 ?? ? sin ? 2ax ? ? . 2 4? ?

??

由题意知, m 为 f ( x) 的最大值或最小值, 所以 m ?
2 2 或m?? . 2 2

( 2)由题设知,函数 f ( x) 的周期为 所以 a ? 2 . 所以 f ( x ) ? ?
2 ?? ? sin? 4 x? ? . 2 4? ?

? , 2

?? ? 令 sin ? 4 x ? ? ? 0 , 4? ?
得 4x ?

?
4

? k?

? ? ? ? k ? Z? ,即 x ? k4 ? k ? Z? . 16

因为 0 ?

k? ? ? ? ? ? k ? Z? , 4 16 2

?3 ? ?7 ? 得 k ? 1 或 k ? 2 ,因此点 A 的坐标为 ? ? ,0 ? 或 ? ? ,0 ? . ? 16 ? ? 16 ?

16. (本小题满分 12 分)
2 解: (1)一次摸奖从 n ? 5 个球中任选两个,有 Cn ?5 种, 1 1 它们等可能,其中两球不同色有 Cn C5 种,
1 1 Cn C5 10n . ? 2 Cn?5 (n ? 5)(n ? 4)

所以一次摸奖中奖的概率 p ?

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(2)若 n ? 5 ,一次摸奖中奖的概率 p ?

5 , 9

三次摸奖是独立重复试验,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是

80 . 243 (3)设每次摸奖中奖的概率为 p ,则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为
1 P3 (1) ? C3 ? p ? (1 ? p ) 2 ?

1 2 3 2 P?P 3 (1) ? C3 ? p ? (1 ? p) ? 3 p ? 6 p ? 3 p , 0 ? p ? 1 ,

因为 P ' ? 9 p2 ?12 p ? 3 ? 3( p ?1)(3 p ?1) , 所以在 ? 0, ? 上 P 为增函数,在 ? ,1? 上 P 为减函数,当 p ?

? ?

1? 3?

?1 ? ?3 ?

1 时 P 取得最大值. 3

所以 p ?

10n 1 ? ,解得 n ? 20 . (n ? 5)(n ? 4) 3

故当 n ? 20 时,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大. 17. (本小题满分 14 分) (1)解:连结 AC,BD 交于 O,连结 PO. 因为 P—ABCD 为正四棱锥, 所以 PO⊥底面 ABCD.作 PM⊥AD 于 M,连结 OM, 所以 OM⊥AD. (苏元高考吧:www.gaokao8.net) 所以∠PMO 为侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的平 面角. 因为 PO⊥底面 ABCD, 所以∠PAO 为 PA 与底面 ABCD 所成的角. 所以 tan ?PAO ?

6 . 2
2 a a, MO ? . 2 2

设 AB ? a ,所以 AO ? 所以 PO ?

6 2 3 ? a? a. 2 2 2 PO 所以 tan ?PMO ? ? 3 ,即 ?PMO ? 60? . MO
所以侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 60°. (2)解:连结 EO,因为 E 为 PB 的中点,O 为 BD 的中点,所以 EO∥PD. 所以∠AEO 为异面直线 AE 与 PD 所成的角. 在 Rt?PAO中, AO ? 2 a, PO ? 3 a , 2 2 所以 PA ? 5 a , EO ? 1 PD ? 5 a . 2 4 2 由 AO⊥截面 PDB,可知 AO⊥EO. 在 Rt△AOE 中, tan ?AEO ?

AO 2 ? 10 . EO 5

即异面直线 AE 与 PD 所成角的正切值是 2 10 . 5
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(3)证明:延长 MO 交 BC 于 N,连结 PN,取 PN 中点 G,连结 EG,MG. 因为 P—ABCD 为正四棱锥且 M 为 AD 的中点,所以 N 为 BC 中点. 所以 BC⊥NM,BC⊥PN. 因为 NM PN ? N ,所以 BC⊥平面 PMN. 因为 BC ? 平面 PBC ,所以平面 PMN⊥平面 PBC. 因为 PM=PN,∠PMN=60°,所以△PMN 为正三角形. 所以 MG⊥PN. 所以 MG⊥平面 PBC. (苏元高考吧:www.gaokao8.net) 取 AM 中点为 F,连结 FE, 则由 EG∥MF 且 GE=MF,得到 MFEG 为平行四边形, 所以 FE∥MG. 所以 FE⊥平面 PBC.分 18. (本小题满分 14 分) 解:设 n ? i 时, x , y , z 的值分别为 xi , yi , z i . 依题意, x0 ? 1 , xn ? xn?1 ? 2 , 所以 ?xn ? 是等差数列,且 xn ? 2n ? 1. 因为 y0 ? 1, yn ? 2 yn?1. 所以 { yn } 是等比数列,且 yn ? 2 n . 因为 z 0 ? 0, z n ? z n?1 ? xn yn , 所以 zn ? x1 y1 ? x2 y2 ???? ? xn yn 即 zn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ???? ? (2n ? 1) ? 2 .
2 3 n

① ②

所以 2zn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ???? ? (2n ?1) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 . ①—②得, z n ? ?3 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2 n?1

? ? 2n ?1? 2n?1 ? 2 .
依题意,程序终止时: zn ? 7000 , zn?1 ? 7000 ,
n ?1 ? ?? 2n ? 1? 2 ? 2 ? 7000, 即? n ? ?? 2n ? 3? 2 ? 2 ? 7000. 解得 n ? 8 ,进而 z ? 7682 .

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19. (本小题满分 14 分) 解法 1: (1)① 若直线 l ∥x 轴,则点 P 为 (0,0) . ② 设直线 l : y ? k ? x ? 2? , 并设点 A, B, M , P 的坐标分别是 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ), P( x, y) , 由?

? y ? k ? x ? 2? ,
2 2 ? x ? 2y ? 2

消去 x ,

2 2 2 2 得 (2k ? 1) y ? 8k x ? 2 4k ? 1 ? 0 ,

?

?

(*)

由直线 l 与椭圆有两个不同的交点,可得 ? ? 8k 所以 k ?
2

? ?

2 2

? 8(2k 2 ? 1) ? 4k 2 ? 1? ? 0 ,

1 . (苏元高考吧:www.gaokao8.net) 2

8k 2 由 OP ? OA ? OB 及方程(*) ,得 x ? x1 ? x2 ? ? 2 , 2k ? 1
y ? y1 ? y2 ? k ? x1 ? 2 ? ? k ? x2 ? 2 ? ? 4k , 2k 2 ? 1

? 8k 2 x ? ? , ? 2 ? 2 k ? 1 即? ? y ? 4k . ? 2k 2 ? 1 ?
消去 k ,并整理得, x ? 2 y ? 4 x ? 0 ( ?2 ? x ? 0) .
2 2

综上所述,点 P 的轨迹方程为 x ? 2 y ? 4 x ? 0 ( ?2 ? x ? 0) .
2 2

(2)① 当 l ∥x 轴时, A, B 分别是椭圆长轴的两个端点,则点 M 在原点 O 处, 所以, | MD |? 2,| MA |? 2 ,所以,

| MD | ? 2. | MA |

x1 ? x2 2k 2 ?? 2 , ② 由方程(*) ,得 x0 ? 2 2k ? 1

2 1? k 2 所以, | MD |? 1 ? k | x0 ? xD |? , 2k 2 ? 1
2

2 | x1 ? x2 | | MA |? 1 ? k | x0 ? x1 |? 1 ? k ? 2
2 2

?1 ? k ??1 ? 2k ?
2 2

2k 2 ? 1



所以

| MD | 2 . ? 2 | MA | 1 ? 2k
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因为 k ?
2

1 | MD | 2 ,所以 1 ? 2k ? ? 0,1? ,所以 ? 2 | MA |

?

2, ?? .

?

综上所述,

| MD | ? ? 2, ?? . | MA | ?

?

解法 2: (1)① 若直线 l ∥x 轴,则点 P 为 (0,0) . ② 设直线 l : x ? my ? 2 , 并设点 A, B, M , P 的坐标分别是 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ), P( x, y) , 由?

? x ? my ? 2, 消去 x ,得 (m2 ? 2) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 , 2 2 ?x ? 2 y ? 2

(*)

由直线 l 与椭圆有两个不同的交点,可得 ? ? (?4m)2 ? 8(m2 ? 2) ? 0 ,即 8( m2 ?2) ? 0 , 所以 m ? 2 .
2

由 OP ? OA ? OB 及方程(*) ,得 y ? y1 ? y2 ?

4m , m2 ? 2

x ? x1 ? x2 ? (my1 ? 2) ? (my2 ? 2) ? ?

8 , m ?2
2

8 ? x?? 2 , ? ? m ?2 即? ? y ? 4m . ? m2 ? 2 ?
由于 m ? 0 (否则,直线 l 与椭圆无公共点) , 消去 m ,并整理得, x ? 2 y ? 4 x ? 0 ( ?2 ? x ? 0) .
2 2

综上所述,点 P 的轨迹方程为 x ? 2 y ? 4 x ? 0 ( ?2 ? x ? 0) .
2 2

(2)① 当 l ∥x 轴时, A, B 分别是椭圆长轴的两个端点,则点 M 在原点 O 处, 所以, | MD |? 2,| MA |? 2 ,所以, ② 由方程(*) ,得 y0 ?
2

| MD | ? 2. | MA |

y1 ? y2 2m ? 2 , 2 m ?2
2

所以, | MD |? 1 ? m | y0 ? yD |? 1 ? m

2|m| , m2 ? 2

| MA |? 1 ? m2 | y0 ? y1 |? 1 ? m2

| y1 ? y2 | ? 1 ? m2 2

2 m2 ? 2 , m2 ? 2

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所以

| MD | 2 |m| 2 . ? ? | MA | 2 m2 ? 2 1? 2 m
2

因为 m ? 2 ,所以 1 ?

2 | MD | ? ? (0,1) ,所以 2 | MA | m

?

2, ?? .

?

综上所述,

| MD | ? ? 2, ?? . | MA | ?

?

20. (本小题满分 14 分) (1)解:因为 f ( x) ? e x ? x ,所以 f ?( x) ? e x ?1 . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 . 所以当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 f ( x) ? e x ? x 在区间 ? ??,0? 上单调递减,在区间 ? 0, ??? 上单调递增. 所以当 x ? 0 时, f ( x ) 有最小值 1. (2)解:因为不等式 f ? x ? ? ax 的解集为 P ,且 ?x | 0 ? x ? 2? ? P , 所以对任意 x ? ?0, 2? ,不等式 f ? x ? ? ax 恒成立. 由 f ? x ? ? ax ,得 ? a ? 1? x ? e , (苏元高考吧:www.gaokao8.net)
x

当 x ? 0 时,上述不等式显然成了,所以只需考虑 x ? ? 0, 2? 的情况. 将 ? a ? 1? x ? e 变形为 a ?
x

ex ?1. x
x

? x - 1? e . ex ? 1 ,则 g ? ? x ? ? 令 g ? x? ? x x2
当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 , 所以 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, 2 ? 上单调递增. 所以当 x ? 1 时,函数 g ? x ? 取得最小值 e ? 1 . 故实数 a 的取值范围为 ? ??,e ?1? . (3)证明:由(1)知,对任意实数 x 均有 e ? x ? 1,即 1 ? x ? e .
x x

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令x??

k ( n ? N* , k ? 1, 2, n
n n

,则 0 ? 1 ? , n ?1 )

k ? k ?e n, n

k ? k ? ? ?n ? ?k 所以 ?1 ? ? ? ? e ? ? e (k ? 1, 2, ? n? ? ?

, n ? 1) .

? n?k ? ?k 即? ? ? e (k ? 1, 2, ? n ?
所以 ?

n

, n ? 1) .
n n

?1? ? 2? ? ?? ? ? ?n? ?n?
? ( n ?1)

n

n

? n ?1 ? ? n ? ? ( n ?1) ?? ? e?( n?2) ? ? ?? ? ? e ? n ? ?n?
? e?2 ? e?1 ? 1 ?
n

? e?2 ? e?1 ? 1.

因为 e

? e? ( n?2) ?
n

1 ? e? n 1 e ? ? , ?1 ?1 1? e 1? e e ?1
n

?1? ?2? 所以 ? ? ? ? ? ? ?n? ?n?

n

e ? n ?1? ? n ? . ?? ? ?? ? ? e ?1 ? n ? ?n?

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