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高中数学专题1.7.1定积分在几何中的应用教案2


定积分在几何中的应用 【教学目标】 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 【教法指导】 本节学习重点:会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 本节学习难点:会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 【教学过程】 ☆探索新知☆ 探究 点一 求不分割型图形的面积 思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积? 答 求由曲线围成的面积,要根据图形,确定积分上下限,用定积分来表示面积,然后计算定积分即可. 2 2 例 1 计算由曲线 y =x,y=x 所围图形的面积 S. 因此,所求图形的面积为 S=S 曲边梯形 OABC—S 曲边梯形 OABD 2 3 1 1 3 1 2 1 1 1 1 2 =? xdx-? 0 0x dx= x |0- x |0= - = . 3 2 3 3 3 3 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤: (1)根据题意画出图形; (2)找出范围,确定积分上、下限; (3)确定被积函数; (4)将面积用定积分表示; (5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果. 跟踪训练 1 求由抛物线 y=x -4 与直线 y=-x+2 所围成图形的面积. 2 1 解 ? ?y=x -4 由? ?y=-x+2 ? ? ?x=-3 ?y=5 ? 2 得? 或? ? ?x=2 ?y=0 ? , 2 所以直线 y=-x+2 与抛物线 y=x -4 的交点为(-3,5)和(2,0),设所求图形面积为 S, 根据图形可得 S=? -3(-x+2)dx-? -3(x -4)dx 1 2 2 1 3 25 25 125 2 =(2x- x )|-3-( x -4x)|-3= -(- )= . 2 3 2 3 6 探究点二 分割型图形面积的求解 思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时,这 2 2 2 种图形的面积如何求呢? 例 2 计算由直线 y=x-4,曲线 y= 2x以及 x 轴所围图形的面积 S. 解 方法一 作出直线 y=x-4,曲线 y= 2x的草图. 解方程组? ?y= 2x, ?y=x-4 得直线 y=x-4 与曲线 y= 2x交点的坐标为(8,4). 直线 y=x-4 与 x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为 S=S1+S2 8 =? 2xdx+[? 8 2xdx-? 4 0 4 4 x- x] = = 2 2 3 2 2 3 1 2 8 x 2 |4 x 2 |8 0+ 4- (x-4) |4 3 3 2 40 . 3 2 方法二 把 y 看成积分变量,则 4 2 2 3 4 S= ? 0(y+4- y )dy=( y +4y- y )|0 1 2 1 2 1 6 = 40 . 3 两条或两条以上的曲线围成的图形,一定要确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标, 反思与感悟 定出积分上、下限,若积分变量选 x 运算较繁锁,则积分变 量可选 y,同时要更换积分上、下限. 1 跟踪训练 2 求由曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3 解 画出图形,如图所示. 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1), 1 1 1 3 所以 S=? x-(- x)]dx+? 0[ 1[(2-x)-(- x)]dx 3 3 1 1 1 3 =? x+ x)dx+? 0( 1(2-x+ x)dx 3 3 2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 =( x + x )|0+(2x- x

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