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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:独立性检验的应用

年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 独立性检验的应用 刘咏霞 一校 黄楠 二校 林卉 审核 张利婷 一、2× 2 列联表与等高条形图 (1)分类变量的定义 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量。 (2)2× 2 列联表的定义 设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为 ? x1 , x2 ? 和 ? y1 , y2 ? ,其样本频数的列联 表(也称为 2× 2 列联表)为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d (3)与表格相比,图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条 形图展示列联表数据的频率特征。 示例 如下图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图, 阴影部分表示喜欢理科 可能性的百分比,从图中可以看出:男生比女生喜欢理科的可能性大些。 二、利用独立性检验来判断两个分类变量是否有关系 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,我们构造一个随机变量 n ? ad ? bc ? K ? ,其中 n=a+b+c+d 为样本容量。我们把用随机变 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ? 2 2 量 K 来判断“两个分类变量有关系”的方法,称为独立性检验。 独立性检验的步骤:要推断“A 与 B 是否有关”,可按下面步骤进行: 1 2 (1)提出统计假设 H0:事件 A 与 B 无关(相互独立) ; (2)抽取样本(样本容量不要太小,每个数据都要大于 5) ; (3)列出 2× 2 列联表; (4)根据 2× 2 列联表,利用公式: K ? 2 n ? ad ? bc ? ,计算出 K 2 或 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ? 2 K 2 的观测值 k; (5)统计推断:①如果 k≥10.828,就有 99.9﹪的把握认为“X 与 Y 有关系”; ②如果 k≥7.879,就有 99.5﹪的把握认为“X 与 Y 有关系”; ③如果 k≥6.635,就有 99%的把握认为“X 与 Y 有关系”; ④如果 k≥5.024,就有 97.5%的把握认为“X 与 Y 有关系”; ⑤如果 k≥3.841,就有 95%的把握认为“X 与 Y 有关系”; ⑥如果 k≥2.706,就有 90﹪的把握认为“X 与 Y 有关系”。 例题 1 对两个分类变量 A、B 的下列说法中正确的个数为( 的大小是判定 A 与 B 是否相关的唯一依据。 A.1 B.2 C.3 D.0 ) 。 ①A 与 B 无关, 即 A 与 B 互不影响; ②A 与 B 关系越密切, 则 K2 的值就越大; ③K2 解析:根据定义可知只有①是正确的;②中 K2 只表示 A 与 B 是否相关,与密切程度无 关;③K2 的大小不是判定 A 与 B 是否相关的唯一依据。 答案:A 思考题 下列关于等高条形图的叙述正确的是 B.从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小; C.从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系; D.以上说法都不对。 答案:C 例题 2 在一次天气恶劣的飞行航程中,调查了男女乘客晕机的情况:男乘客晕机的有 24 人,不晕机的有 31 人;女乘客晕机的有 8 人,不晕机的有 26 人。请你根据所给数据, 能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为在天气恶劣的飞行航程中,男乘客比女乘客更 容易晕机? 解析: ( )。 A.从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系; 答案:根据题意,列出 2× 2 列联表如下: 晕机 2 不晕机 总计 男乘客 女乘客 总计 由公式可得 K2 的观测值 k, 24 8 32 31 26 57 55 34 89 假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机。 n ? ad ? bc ? K = ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ? 2 2 = 89 ? 24 ? 26 ? 31? 8 ? 55 ? 34 ? 32 ? 57 2 ≈3.689>2.706, 因此,在误差不超过 0.1 的前提下,能够认为“在天气恶劣的飞行航程中,男乘客比女 乘客更容易晕机”。 点拨:解独立性检验问题的基本步骤: (1)认真读题,找出相关数据,得出 2× 2 列联表; (2)根据 2× 2 列联表中的数据,计算 K 2 的观测值 k; (3)通过观测值 k 与临界值 k0 的比较; (4)说明在犯错误的概率不超过 α 的前提下能否推断“X 与 Y 有关系”。 扩展题 随着生活水平的提高,越来越多的人参与了潜水这项活动。某潜水中心调查 了 100 名男性与 100 名女性下潜至距离水面 5 米时是否会耳鸣,如图为其等高条形图: ①绘出 2×2 列联表; ②利用独立性检验方法判断性别与耳鸣是否有关系?若有关系,所得结论的把握有多 大? 解析:①由男女生各 100 人及等高条形图可知耳鸣的男生,耳鸣的女生的人数及无耳 鸣的男生,无耳鸣的女生的人数,从而可绘出 2×2 列联表; ②由公式计算 K2 的观测值,与临界值比较,可得结论。 答案:①由男女生各 100 人及等高条形图可知耳鸣的男生有 100×0.3=30 人,耳鸣的 女生有 100×0.5=50 人 ∴无耳鸣的男生有 100-30=70 人,无耳鸣的女生有 100-50=50 人 ∴ 2×2 列 联 表 如 下 : 3 ②由公式计算 K 的值:K = 2 2 200 ? ? 30 ? 50 ? 50 ? 70 ? 80 ?120 ?100 ?100 2 ? 8.33 ? 7.879 所 以 我 们 有 99.5% 的 把 握 认 为 耳 鸣 与 性 别 有 关 系 。 例题 3 某校在高三数学测试后,随机抽取部分学生

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