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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算(第1课时)课堂探究新人教A版选修2_2

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四 则运算(第 1 课时)课堂探究 新人教 A 版选修 2-2 探究一 复数的加法与减法运算 1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之 后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. 2.复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到 右依次进行计算. 【典型例题 1】计算: (1)(3+5i)+(3-4i); (2)(-3+2i)-(4-5i); (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i). 解:(1)(3+5i)+(3-4i)=(3+3)+(5-4)i=6+i; (2)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i; (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i=-11i. 探究二 复数加、减法运算的几何意义 1.复数加法、减法运算的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关, 因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时,主要应根据复数加、减运算的几何意 义求解计算. 2.由于复数可用向量表示,因而可将复数问题转化为向量问题,利用向量的方法解决 复数问题. 【典型例题 2】复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点 是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 思路分析:利用 AD = BC ,或者 AB = DC ,求点 D 对应的复数;也可以利用正方形的 性质求解,正方形的两条对角线的交点是其对称中心. 解法一:如图,设复数 z1,z2,z3 所对应的点分别为 A,B,C,正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x+yi(x,y∈R). 1 则 AD=OD ? OA =(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i, BC =OC ? OB =(-1-2i)-(-2+i)=1-3i. 因为 AD = BC , 所以(x-1)+(y-2)i=1-3i, 所以? ?x-1=1, ? ?y-2=-3, ? 解得? ?x=2, ? ?y=-1. ? 故点 D 对应的复数为 2-i. 解法二:设复数 z1,z2,z3 所对应的点分别为 A,B,C, 正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x+yi(x,y∈R). 因为点 A 与点 C 关于原点对称, 所以原点 O 为正方形的中心, 所以点 O 也是点 B 与点 D 连线的中点, 于是(-2+i)+(x+yi)=0, 所以 x=2,y=-1, 故点 D 对应的复数为 2-i. 探究三 复数加、减法几何意义的应用 1.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义 设复数 z,z0 在复平面内分别对应点 A,B,则|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是点 A 到点 B 的距离. 2.|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用 (1)判断点的轨迹. (2)利用几何知识解决代数问题. 【典型例题 3】设 z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2,求|z1-z2|. 分析:解法一:设出 z1,z2 的代数形式,利用模的定义求解. 解法二:利用复数加减运算的几何意义求解. 解法一:设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). 由题设知,a +b =1,c +d =1, (a+c) +(b+d) =2,∴2ac+2bd=0. ∴|z1-z2| =(a-c) +(b-d) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =a +c +b +d -2ac-2bd=2, ∴|z1-z2|= 2. 解法二:设复数 z1,z2,z1+z2 分别对应向量 OZ1 , OZ2 , OZ . ∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2, 2 ∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形, ∴|z1-z2|= | Z2 Z1 | = | OZ | = 2. 探究四 易错辨析 易错点:对复数模的几何意义掌握不到位而导致出错 【典型例题 4】已知|z-2+2i|=|z|,则复数 z 对应的点 Z 的轨迹方程为________. 错解: ∵|z-2+2i|=|z|表示点 Z 到点 A(-2,2)和点 B(0,0)的距离相等, ∴点 Z 的轨 迹为线段 AB 的垂直平分线,即 y=x+2. 错因分析:|z-2+2i|表示的应该是点 Z 到点(2,-2)的距离. 正解:∵|z-2+2i|=|z|表示点 Z 到点 A(2,-2)和 B(0,0)的距离相等,∴点 Z 的轨 迹为线段 AB 的垂直平分线,即 y=x-2. 3

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