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内蒙古包头市2012届高三第三次模拟考试数学(理)试题

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内蒙古包头市 2012 届高三第三次模拟考试 理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 若复数 A.-2

a+3i (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1+2i
B. 4 C. -6 D. 6

2.某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分的 茎叶图如右图所示,则中位数与众数分别为 A.23,21 C.23,25 B.23,23 D.25,25

3.已知 m, n 为直线, ? , ? 为平面,给出下列命题: ①?

?m ? ? ? n / /? ?m ? n

②?

?m ? ? ? m / /n ?n ? ?

?m ? ? ?m ? ? ? ③? ? ? / / ? ④ ?n ? ? ? m / / n ?m ? ? ?? / / ? ?
其中的正确命题序号是 A.③④ B.②③ C.①② D.①②③④

4. 等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3 ? A.1 C.1 或 ? B. ?

?

3

0

4 xdx ,则公比 q 的值为

1 2 1 2
D. 510

1 2
B. 126

D. ?1 或 ?

5. 右面的程序框图输出的结果为 A.62 C. 254

6.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左, a 2 b2
????? ????
????

右焦点是 F1, 2, P 是双曲线右支上一点,F1 F2 在F1 P 上的投影的大小恰好为 | F1 P | 且 F 设 它们的夹角为

? ,则双曲线的离心率 e 为 6
B.

A.

2 ?1 2

3 ?1 2
?

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

7.若函数 y ? f ( x )的图象和 ? sin(x ? y A. cos(x ?

)的图象关于点 ( ,0)对称, 则f ( x ) 的表达式是 P 4 4

?

?
4

)

B. ? cos(x ?

?
4

)

C. ? cos(x ?

?
4

)

D. cos(x ?

?
4

)

8. 以坐标轴为对称轴,原点为顶点,且过圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 圆心的抛物线方程是 A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2 2

B. y ? 3x

2

C. y ? ?9 x 或 y ? 3x

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

9 . 已 知 函 数 f ( x) ? sin ?x ? cos?x , 如 果 存 在 实 数 x1 , 使 得 对 任 意 的 实 数 x , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ? 2011) 成立,则 ? 的最小值为
A.

1 2011

B.

?
2011

C.

1 4022

D.

?
4022

10. ?ABC 中, ?A ? 60?, ?A 的平分线 AD 交边 BC 于 D,已知 AB=3,且

???? 1 ???? ??? ? AD ? AC ? ? AB(? ? R) ,则 AD 的长为 3
A.1 B. 3 C. 2 3 D.3

11.设函数 f1 ( x ) ? log 4 x ? ( ) x 、 f 2 ( x ) ? log 1 x ? ( ) x 的零点分别为 x1、x2 ,则
4

1 4

1 4

A. 0 ? x1 x2 ? 1

B. 1 ? x1 x2 ? 2

C. x1 x2 ? 1

D. x1 x2 ? 2

12. 已知有穷数列 A: a1 , a 2 ,? ? ?, a n ( n ? 2, n ? N ).定义如下操作过程 T:从 A 中任取两 项 a i , a j ,将

ai ? a j 1 ? ai a j

的值添在 A 的最后,然后删除 a i , a j ,这样得到一系列 n ? 1 项的新

数列 A1 (约定:一个数也视作数列);对 A1 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系列

5 3 1 1 n ? 2 项的新数列 A2,如此经过 k 次操作后得到的新数列记作 Ak . 设 A: ? , , , , 7 4 2 3
则 A3 的可能结果是 A.

3 4

B.

1 2

C.

1 3

D. 0

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , a n ? 51 ,则 n ? d 的最小值等 于 .

14. 一盒中装有分别标记着 1,2,3,4 的 4 个小球, 每次从袋中取出一只球,设每只小球被取出的可能 性相同.若每次取出的球不放回盒中,现连续取三 ... 次球,求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的 球的概率是 .

15.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为 16. 若 (2 x ? 3)
5



? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 ,则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? 5a5 等于

_________.

三、解答题:解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x) ? p sin ?x ? cos?x ? cos ?x ( p ? 0, ? ? 0) 的最大值为
2

1 ,最小正周 2

期为

? . 2

(Ⅰ)求: p , ? 的值, f (x) 的解析式; (Ⅱ)若 ?ABC 的三条边为 a , b , c ,满足 a ? bc , a 边所对的角为 A .求:角 A
2

的取值范围及函数 f (A) 的值域.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD ,

AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60? ,四边形 ACFE
为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACFE ; (Ⅱ)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为

? (? ? 90? ) ,试求 cos ? 的取值范围.
19.(本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1, 2,…,8 ,其中 ξ ? 5 为标准

A , ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准 B 生
产该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准.从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相 应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数

3 ? ξ ? 5 的为三等品.
(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? ln x . (Ⅰ)若 f (x) 无极值点,但其导函数 f ?( x) 有零点,求 a 的值;

3 (Ⅱ)若 f (x) 有两个极值点,求 a 的取值范围,并证明 f (x) 的极小值小于 ? . 2
21.(本小题满分 12 分) 已知点 P 是直角坐标平面内的动点, P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 , 点 到点 F (?1 0) , 的距离为 d 2 ,且

d2 2 . ? d1 2

(Ⅰ)求动点 P 所在曲线 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B(点 A 或 B 不在 x 轴上),分别过 A、B 点作直线 l1 : x ? ?2 的垂线,对应的垂足分别为 M、N ,试判断点 F 与以线段 MN 为直径的 圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况); (Ⅲ)记 S1 ? S?FAM , S 2 ? S ?FMN , S3 ? S?FBN (A、B、 M、N 是(2)中的点),问是否存 在实数 ? ,使 S 2 ? ? S1S3 成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB, ⊙O 交直线 OB 于 E、D. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ?

E O D

1 , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

A

C

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程

? 3 t ? x ? ?2 ? ? 2 (t 为参数) 为 ? ? 4cos ? ,直线 l 的方程为 ? ,直线 l 与曲线 C 的公共点为 T. ?y ? 1 t ? ? 2
(Ⅰ)求点 T 的极坐标;

(Ⅱ)过点 T 作直线 l ', l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ' 的极坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) =|x|+2|x-a|(a>0) . (I)当 a=l 时,解不等式 f ( x) ≤4; (II)若 f ( x) ≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

内蒙古包头市 2012 届高三第三次模拟考试 数学(理科)答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.

题 号 答 案

1 C

2 B

3 B

4 C

5 D

6 C

7 B

8 D

9 B

10 C

11 A

12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 16 14.

1 3

15.

19 ? 3

16. 10

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 17、 (12 分) (1) f ( x ) ?
p 1 1 sin2?x ? cos 2?x ? ? 2 2 2 p2 ? 1 2 sin( ?x ? ? ) ? 2 1 , 2

2? ? 由 ? ,得 ? ? 2 ………………2 分 2? 2


p2 ?1 1 1 ? ? 及 p ? 0 ,得 p ? 3 ………………4 分 2 2 2 ? 1 ? f ( x) ? sin(4 x ? ) ? …………6 分 6 2

(2) cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? bc 2bc ? bc 1 ? ? ? .………………8 分 2bc 2bc 2bc 2

A 为三角形内角,所以 0 ? A ?
??

?

7? 1 ? 1 , ? ? sin(4 A ? ) ? 1 ,? ?1 ? f ( A) ? …………12 分 6 6 6 2 6 2 18.(I)证明:在梯形 ABCD 中, ? 4A ? ?
∵ AB // CD , AD ? DC ? CB ? 1 , ∠ ABC = 60? ,∴ AB ? 2 …………………2 分

?

?

3

………………10 分

∴ AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos 60 o ? 3 ∴ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ∴ BC ⊥ AC ………………… 4 分 ∵ 平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,平面 ACFE ∩平面 ABCD ? AC , BC ? 平面 ABCD ∴ BC ⊥平面 ACFE ………6 分 (II)解法一:由(I)可建立分别以直线 CA, CB, CF 为

x轴,y轴, z轴 的如图所示空间直角坐标系,令
FM ? ? (0 ? ? ? 3 ) ,则 C (0,0,0), A( 3,0,0) , B?0,1,0?, M ?? ,0,1?


AB ? ? 3,1,0 , BM ? ?? ,?1,1?

设 n1 ? ? x, y , z ? 为平面 MAB 的一个法向量, 由?

?

?

…………8 分

? n1 ? AB ? 0 ?n1 ? BM ? 0

得?

?? 3x ? y ? 0 ?? x ? y ? z ? 0

取 x ? 1 ,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? ,…………10 分 ∵

n2 ? ?1,0,0 ? 是平面 FCB 的一个法向量


?

?

? ?? ? ? cos ? ? ?? ?? ?
| n1 ? n2 | | n1 |? | n2 | 1? 3 ?


1

?

3 ??

?

?
2

1

?1

?? ? 3 ?

………11 分
2

?4

7 , 7 ? 7 1? 1 当 ? ? 3 时, cos? 有最大值 。 ∴ cos ? ? ? , ? …………………12 分 2 ? 7 2? 解法二:①当 M 与 F 重合时,取 FB 中点为 G ,连结 AG、CG


0?? ? 3

当 ? ? 0 时, c o ? 有最小值 s

∵ AF ? AC 2 ? CF 2 ? 2 , ∴ AB ? AF ∴ AG ⊥ FB ∵ CF ? CB ? 1 ∴ CG ⊥ FB ∴ ∠ AGC = ?



BC ⊥ CF



FB ? 2

∴ CG ?

14 2 , AG ? 2 2

CG 2 ? AG 2 ? AC 2 7 …………………8 分… ? 2CG ? AG 7 ②当 M 与 E 重合时,过 B作BN // CF , 且使BN ? CF , 连结 EN、FN ,则平面 MAB ∩平面 FCB = BN , ∵ BC ⊥ CF ,又∵ AC ⊥ CF ∴ CF ⊥平面 ABC ∴ BN ⊥平面 ABC ∴ ∠ ABC = ? ∴ ? = 60? , 1 ∴ cos? = …………………10 分 2 ③当 M 与 E、F 都不重合时,令 FM ? ? (0 ? ? ? 3) 延长 AM 交 CF 的延长线于 N ,连结 BN ∴ N 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∵ B 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∴ 平面 MAB ∩平面 FCB = BN

∴ cos ? ?

过 C 作 CG⊥NB 交 NB 于 G ,连结 AG, 由(I)知, AC ⊥ BC , 又∵AC⊥CN, ∴ AC⊥平面 NCB ∴ AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB,AC∩CG=C, ∴ NB⊥平面 ACG ∴AG⊥NB ∴ ∠AGC= ? 在 ?NAC 中,可求得 NC=

3 , 3??

从而,在 ?NCB 中,可求得 CG=

3

?? ? 3 ?

2

?3
3

∵ ∠ACG= 90o



AG=

AC 2 ? CG 2 ?

?? ? 3 ? ? 4 ?? ? 3 ? ? 3
2 2



c os? ?

CG ? AG

1

?? ? 3 ?


2

?4

7 1 ? cos ? ? …………………11 分 7 2 ? 7 1? 综合①②③得, cos ? ? ? , ? …………………12 分 ? 7 2?


0?? ? 3

19.【解析】 (1)由样本数据知,30 件产品中,一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等品有 15 件. …………3 分

6 ? 0.2 , 30 故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2 ,
∴样本中一等品的频率为

………4 分

二等品的频率为

9 ? 0.3 ,故估计该厂产品的二等品率为 0.3 , …5 分 30 15 三等品的频率为 ? 0.5 ,故估计该厂产品的三等品率为 0.5 .…6 分 30
……………………7 分

(2)样本中一等品有 6 件,其中等级系数为 7 的有 3 件,等级系数为 8 的也有 3 件, 记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 C1 、C2 、C3 ,等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P 、 1

P2 、 P3 ,则从样本的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为: )( )( (C1 , C2)(C1 , C3 , C1 , P1 , C1 , P2) (C1 , P3 , C2 , C3 , C2 , P1 , )( ) , , )( )( )( ) 1 ) ) (C2 , P2 , C2 , P3 , C3 , P1 , C3 , P2)(C3 , P3 , ( P , P2 ),(P1 , P3 (P2 , P3 , 共 15 )( ,
种, …………10 分

20.解 (Ⅰ)首先, x ? 0

1 2ax 2 ? 2 x ? 1 ---------------2 分 ? x x f /(x) 有零点而 f (x) 无极值点,表明该零点左右 f /(x) 同号,故 a ? 0 ,且 1 -----------4 分 2ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 的 ? ? 0. 由此可得 a ? . 2 2 (Ⅱ)由题意, 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 有两不同的正根,故 ? ? 0, a ? 0 . 1 解得: 0 ? a ? -------------5-分 2 2 设 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ? x2 ,因为在区间 (0, x1 ), ( x2 ,??) 上, f /( x) ? 0 ,而在区间 ( x1 , x2 ) 上, f /( x) ? 0 ,故 x 2 是 f (x) 的极小值点.------8 分 f /( x) ? 2ax ? 2 ?
因 f (x) 在 区 间 ( x1 , x2 ) 上 f (x) 是 减 函 数 , 如 能 证 明 f (
3 f ( x2 ) ? ? . 2

x1 ? x2 3 )?? , 则更有 2 2

--------------10 分

由韦达定理, 令

x1 ? x2 1 1 2 1 1 1 3 1 1 , f ( ) ? a( ) ? 2( ) ? ln ? ? ln ? ? 2 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2 2a

1 3 3 ? t , 其中 t ? 1. 设 g (t ) ? ln t ? t ? ,利用导数容易证明 g (t ) 当 t ? 1 时单调递 2 2 2a 减,而 g (1) ? 0 ,因此 g (t ) ? 0 ,即 f (x) 的极小值 f ( x 2 ) ? 0. -------12 分 21. (1) 设动点为 P( x,y ) , 1分
依据题意,有

( x ? 1) 2 ? y 2 2 x2 ? ? y 2 ? 1. ,化简得 | x?2| 2 2

3分 ……4 分

因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是:

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2) 点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. 理由:由题意可知,当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时,不 合题意,故可设直线 l : x ? my ? 1 ,如图所 示. 5分 2 ?x 2 2 2 联立方程组 ? 2 ? y ? 1 ,可化为 (2 ? m ) y ? 2my ? 1 ? 0 , ? ? x ? my ? 1 ? 则点 A( x1,y1 )、B( x2,y2 ) 的坐标满足
2m ? ? y1 ? y2 ? 2 ? m 2 . ? ? ?y y ? ? 1 ? 1 2 2 ? m2 ?

7分

又 AM ? l1 、 BN ? l1 ,可得点 M (?2,y1 ) 、 N (?2,y2 ) . 点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断,也可以计算点与 直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断. ???? ???? ? 因 FM ? (?1 y1 ) , FN ? (?1 y2 ) ,则 , ,

???? ???? ? 1 ? m2 ? 0 .9 分 FM ? FN ? (?1 y1 ) ? (?1 y2 ) ? 1 ? y1 y2 = , , 2
于是, ?M F N 为锐角,即点 F 在以 MN 为直径的圆的外 部. 10 分 (3)依据(2)可算出 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? ?

2?m

4 , 2 ? m2

2 ? 2m 2 x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? , 2 ? m2 1 1 则 S1S 3 ? ( x 1 2) | y |1? ( x ? 2) | y | 2 ? 2 2 2 1 1 ? ? [ x1 x 2 ? 2( x 1 x )2? 4] ? 4 2 ? m2 1 1 ? m2 ? , 2 (2 ? m 2 ) 2 1 2 S2 ? ( | y1 ? y2 | ?1) 2 2 1 ? [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] 4 1 ? m2 ?2 . (2 ? m2 ) 2 2 所以, S 2 ? 4 S1S3 ,即存在实数 ? ? 4 使得结论成立.

11 分 12 分

22.(Ⅰ)如图,连接 OC,∵ OA=OB,CA=CB,∴ OC⊥AB,∴ AB 是⊙O 的切线 (Ⅱ)∵ ED 是直径, ∴ ∠ECD=90°,Rt△BCD 中, ∵ tan∠CED=

1 CD 1 , ∴ = , ∵ AB 是⊙O 的切线, 2 EC 2

∴ ∠BCD=∠E,又 ∵ ∠CBD=∠EBC,∴ △BCD∽△BEC, ∴

BD CD 1 = = , 设 BD=x,则 BC=2x, BC EC 2

又 BC =BD·BE, ∴ (2 x) =x· x+6) ( , 解得:x1=0,x2=2, ∵ BD=x>0, ∴ BD=2, ∴ OA=OB=BD+OD=3+2=5 ?

2

2

23.

?2-3x,x<0, ? 24.(Ⅰ) f ( x) =|x|+2|x-1|=?2-x, 0≤x≤1, ? ?3x-2,x>1.
当 x<0 时,由 2-3x≤4,得- 2 ≤x<0;当 0≤x≤1 时,1≤2-x≤2; 3 2 ,2]. 3

当 x>1 时,由 3x-2≤4,得 1<x≤2.综上,不等式 f ( x) ≤4 的解集为[-

?2a-3x,x<0, ? (Ⅱ) f ( x) =|x|+2|x-a|=?2a-x,0≤x≤a,可见, f ( x) 在(-∞,a]单调递减,在 ?3x-2a,x>a. ? (a,+∞)单调递增.当 x=a 时, f ( x) 取最小值 a.所以,a 取值范围为[4,+∞).


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