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线性代数B答案

线性代数模拟题 线性代数模拟题 模拟
一.单选题. 1. 若

(?1)

N (1 k 4 l 5 )

a11 a k 2 a 43 a l 4 a 55 是五阶行列式 aij 的一项,则 k 、 l 的值及该项符号

为( C ) . (A) k = 2 , l = 3 ,符号为负; (B) k = 2 , l = 3 符号为正; (C) k = 3 , l = 2 ,符号为负; (D) k = 1 , l = 2 ,符号为正. 2. 下列行列式( A )的值必为零. (A) (B)

n 阶行列式中,零元素个数多于 n 2 ? n 个; n 阶行列式中,零元素个数小于 n 2 ? n 个;

(C) n 阶行列式中,零元素个数多于 n 个; (D) n 阶行列式中,零元素的个数小于 n 个. 3. 设 A , B 均为 n 阶方阵,若 ( A + B )( A ? B ) = A ? B ,则必有( D ) .
2 2

(A) A = I ; (B) B = O ; (C) A = B ; . 4. 设 A 与 B 均为 n × n 矩阵,则必有( C )

(D) AB = BA .
?1

(B)AB = BA ; (C) AB = BA ; (D) A + B ) ( (A) A + B = A + B ; 5. 如果向量 β 可由向量组 α 1 , α 2 ,...., α s 线性表出,则( D )

= A ?1 + B ?1 .

(A) 存在一组不全为零的数 k1 , k 2 ,...., k s ,使等式 β = k1α 1 + k 2α 2 + .... + k sα s 成立 (B) 存在一组全为零的数 k1 , k 2 ,...., k s ,使等式 β = k1α 1 + k 2α 2 + .... + k sα s 成立 (C) 对 β 的线性表示式不唯一 (D) 向量组 β , α 1 , α 2 ,....,α s 线性相关 6. 齐次线性方程组

Ax = 0 有非零解的充要条件是( A



(A)系数矩阵 A 的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵 A 的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合 - 7. 设 n 阶矩阵 A 的一个特征值为λ,则(λA 1)2+I 必有特征值(C ) 2 2 (a)λ +1 (b)λ -1 (c)2 (d)-2

8. 已知

? 3 2 ? 1? ? ? A = ? 0 0 a ? 与对角矩阵相似,则 a =( A ) ?0 0 0 ? ? ?
(a) 0 ; (b) -1 ; (c) 1 ; (d) 2

9. 设 A , B , C 均为 n 阶方阵,下面( D )不是运算律. (A) ( A + B ) + C = (C + B) + A ; (B) ( A + B )C = AC + BC ; (C) ( AB )C = A( BC ) ; 10. 下列矩阵( B )不是初等矩阵. (D) ( AB )C = ( AC ) B .

?0 0 1? ?1 0 0? ?1 0 0? ?1 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (B) ? 0 0 0 ? ; (C) ? 0 2 0 ? ; (D) ? 0 1 ? 2 ? . (A) ? 0 1 0 ? ; ?1 0 0? ?0 1 0? ?0 0 1? ?0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
二.计算题或证明题( 1. 已知矩阵 A,求 A10。其中 A = ? ? 参考答案: 参考答案:

? 1 0? ? ? ? ?1 2 ?

A ? λE =

1? λ ?1

0 ,求的 A 的特征值为 λ1 =1,λ2 =2 。 =(1 ? λ)(2 ? λ) 2?λ ? 0 0? ? 1? ? ,得基础解系 ε1 = ? ? ,单位化 ? ?1 1 ? ? 1?

当 λ1 =1 时,解方程(A-E)x=0,由 A ? E = ?

为 p1 =

1 ? 1? ? ? 2 ? 1? ? ?1 0 ? ?1? ? ,得基础解系 ε 2 = ? ? ,单位 ? ?1 0 ? ? 0?

当 λ1 =2 时,解方程(A-2E)x=0,由 A ? 2 E = ?

化为 p2 = ? ?

?1? ? 0?

? ? 将 P1、P2 构成正交矩阵: P = ( p1 , p2 ) = ? ? ? ? ?1 0 ? P ?1 A10 P = Λ10 = ? 10 ? ?0 2 ? ? ? A10 = PΛ10 P ?1 = ? 2 ? ? ? ?
啊,不知道怎么回事。

1 2 1 2

? 1? ?1 0? ? ,有 P ?1 AP = Λ = ? ? ? ?0 2? 0? ?





1 2 1 2

? 1? ? 0 ?1 0 ?? ?? 10 ? ? ?1 ? 0 2 ?? 0?? ? 2 ?

?1 ? 10 10 ? = ? 2 1? 2 ? , 和 答 案 不 一 样 1 ? ? ? 1 ? ? ? 0 2?

参考答案: A

10

? 1 =? 10 ?1 ? 2

0 ? ? 210 ?
-1 -1

2. 设 A 为可逆矩阵,λ是它的一个特征值,证明:λ≠0 且λ 是 A 的一个特征值。 参考答案: -1 当 A 可逆时,由 AP=λP,有 P=λA P,因为 P≠0,知道λ≠0,因此 -1 -1 -1 -1 A P=λ P,所以λ 是 A 的一个特征值 3. 当 a 取何值时,下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解?有解时,求其解.

?ax1 + x 2 + x3 = a ? 3 ? ? x1 + ax2 + x3 = ?2 ? x + x + ax = ?2 2 3 ? 1`
参考答案: 参考答案: 对增广矩阵 B=(A,b)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,有

a 1 ?2 ? ? 1 1 a ? a 1 1 a ? 3? ? 1 ? ? ? ? ? 2 B = ? 1 a 1 ?2 ? ~ ? 0 1 ? a 1 ? a 3(a ? 1) ? ~ ? 0 1 ? a 1 ? a2 ? 1 1 a ?2 ? ? 0 1 ? a a ? 1 ? ? 0 ? ?0 0 2 ? a ? a2 ? ? ?
当 2 ? a ? a 2 ≠ 0 时,即 a ≠ 1, ?2 时,R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解。

? ? 3(a ? 1) ? ? 3(a ? 1) ?

?2

此时解为: x1 = ?

a ?1 ?3 ?3 , x2 = , x3 = a+2 a+2 a+2

当 a=1 时,R(A)=R(B)=1,方程组有无穷解

? x1 = ?2 ? k1 ? k2 ? 此时解为: ? x2 = k1 ?x =k 2 ? 3
当 a = ?2 时,R(A)=2,R(B)=,3 无解。 4. 求向量组的秩及一个极大无关组,并把其余向量用极大无关组线性表示.

?1? ?1 ? ?1? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?1 ? ?1? ?0? α 1 = ? ?,α 2 = ? ?,α 3 = ? ?, α 4 = ? ? 3 1 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ?1 ? ?1? ?2? ? ? ? ? ? ? ? ?
参考答案: 参考答案:

?1 ? 2 (α1 , α 2 , α 3 , α 4) ? = ?3 ? ?4

1 1 1 1

1 ?1? ? 1 1 ? ? 1 0 ? ?0 0 ~ 2 0 ? ?0 0 ? ? 1 2 ? ?0 0

1 ?1? ? 1 1 ? ? 0 1 ? ?0 0 ~ 1 1 ? ?0 0 ? ? 0 3 ? ?0 0

1 ?1 ? ? 1 1? 则向量的秩为 3 0 1? ? 0 0?

极大无关组为: a2 , a3 , a4 ,且 a1 = a2 + a3 + a4
?1 5. 若 A 是对称矩阵, T 是正交矩阵,证明 T AT 是对称矩阵.

参考答案: (T ?1 AT )T = T T * AT *(T ?1 )T ,因为 T 是正交矩阵,所以 T T = T ?1 ,又 A 是 对称矩阵, AT = A ,所以

(T ?1 AT )T = T T * AT *(T ?1 )T =T ?1 * A * T ,是对称阵。


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