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【全国百强校】江苏省盐城中学2014-2015学年高二数学暑假作业16:二次曲线(教师版)

盐城中学高二数学暑假作业(十六)
-----二次曲线
姓名 一、填空题 1. 设 P 是椭圆 10 .
2

学号

班级

x2 y2 ? ? 1 上的点.若 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 | PF1 | ? | PF2 | 等于 25 16

2. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是__ y ? 8 x _______.

x2 y 2 3a 3. 设 F1F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 上一点, ?F2 PF1 P 为直线 x ? 2 a b
是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为________ . 【 解 析 】 因 为 ?F2 PF 1 是 底 角 为 30

? ?
7.设椭圆

的 等 腰 三 角 形 , 则 有

x2 y2 ? ? 1?m ? 1? 上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1,则 m2 m2 ?1
2 .

P 点到右准线的距离为

8.定点 A、B ,且 | AB |? 4 ,动点 P 满足 | PA | ? | PB |? 3 ,则 | PA | 的最小值是

7 2

.

F2 F1 ? F2 P

,

, 因 为

?PF1 F2 ? 30

0

, 所 以

2 9. 已知以 F 为焦点的抛物线 y ? 4 x 上的两点 A、 B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到准线

3a 1 1 1 ? c ? ? 2c ? c , PF2 ? F1 F2 ,即 2 2 2 2 c 3 3 3a ? 2c ,即 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? 所以 a 4 4 2

?PF2 D ? 600 , ?DPF2 ? 300 ,所以 F2 D ?

的距离为

8 3
x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, a2 b2
3

4.若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 ( 10,0) ,则双曲线的方程是

10.已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

y2 x ? ?1 9
2

且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b = 1 ? PF2 .若 ?PF .
2 2

11.双曲线 8kx ? ky ? 8 的一个焦点为(0,3) ,那么 k 的值是

?1 _.

12. 过 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 F 的 直 线 交 该 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 若 | AF |? 3 , 则

答案: y ? ?

| BF | =______。
【答案】

6 ( x ? 1) 2

3 2

【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 , 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 ? 。 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

om]

13.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆

离心率的取值范围是 (0,

2 ) 2



14.在平面直角坐标系 xoy 中,A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点,F 为 a 2 b2

其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中 点,则该椭圆的离心率为 . e ? 2 7 ?5 (1)当 m ? 1, 即? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切 (2)当 m ? 1 ,那 ? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 综上,当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切;当 m ? 1 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。
2 2 2 2

二.解答题 15. 求以过原点与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相切的两直线为渐近线且过椭圆 4 x ? y ? 4 两

焦点的双曲线方程. 答案:

x2 y2 ? ?1 2 18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 4 的顶点,过坐标原点
的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC, 并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB

y2 x2 ? ?1 3 9
2

16.过抛物线 y ? 4 x 的准线与 x 轴的交点 E 作直线交抛物线于 A、B 两点,F 是抛物线焦 点,若 FA ? FB ? 0 .求直线 AB 的方程.

解: ( 1 )由题设知, a ? 2, b ?

2, 故M (?2,0), N (0,? 2 ), 所以线段 MN 中点的坐标为

?k 3
k1 ? 2? k2
2

? ?k ?

(?1,?

2 ) 2 ,由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标
?

? (3k ? 2)
2? k2

1 ?? . k 3k ? 2 ? (2 ? k )
2 2

k 3 ? k (2 ? k 2 )

2 2 ? 2. k? ?1 2 原点,所以

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB.

x2 y 2 y ? 2 x代入椭圆方程得 ? ? 1, 4 2 (2)直线 PA 的方程
2 2 2 4 2 4 C ( ,0), x ? ? ,因此 P ( , ), A(? ,? ). 3 3 3 3 3 3 于 是 解 得 直 线

19.设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 且与 AF 垂直的光线 a 2 b2

AC

的 斜 率 为

0?

(3)将直线 PA 的方程

4 2 4 2 | ? ? | 3 ? 1, 故直线AB的方程为x ? y ? 2 ? 0. 2 2 因此, d ? 3 3 3 ? . 2 2 3 1 2 ? 3 1 ? 1 3 3 x2 y 2 2 2 ? ? 1, 解得x ? ? , 记? , 2 4 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 y ? kx
代入

经椭圆的右准线反射,反射光线与直线 AF 平行. (1)求椭圆的离心率; (2)设入射光线与右准线的交点为 B,过 A,B,F 三点的圆恰好与直线 3x 一 y+3=0 相切,求 椭圆的方程. ⑴因为入射光线与反射光线垂直, 所以入射光线与准线所成的角为 45 ? , 即 ?FAO ? 45? , 所以 b ? c ,所以椭圆的离心率为

2 .⑵由⑴知 b ? c, a ? 2c ,可得 A ? 0, c ? , B ? 2c,? c? ,又 2

0 ? ?k k ? , 2 其方程为 则 P(?, ?k ), A(?? ,??k ),于是C(?,0) 故 直 线 AB 的 斜 率 为 ? ? ?
y? k ( x ? ? ), 代入椭圆方程得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2?k 2 x ? ? 2 (3k 2 ? 2) ? 0, 2

1 10 ?c c? c , 因为 AF ? AB ,所以过 A, B, F 三点的圆的圆心坐标为 ? , ? ? ,半径 r ? FB ? 2 2 ?2 2?
过 A, B, F 三点的圆恰好与直线 3x ? y ? 3 ? 0 相切,
3 1 c? c?3 10 2 2 所以圆心到直线 3x ? y ? 3 ? 0 的距离等于半径 r ,即 ? c ,得 c ? 1, 所以 2 10
b ? 1, a ? 2 ,所以椭圆的方程为

x?
解 得

?( 3 k2 ? 2 )
2 ? k2

或 x? ??因此 ( B

? k(2? 3
2? k 2

2?)k 3 , ) ? 2 k 2 . 于 是 直 线 PB 的 斜 率

x2 ? y2 ? 1 . 2

? (2 ? x0 ) 2 ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ?? ? 8 ? ?(2 ? x0 ) ? y0 ? 2 ? ? ? 0, ?
20.在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 x2+y2-4x+2=0 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
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1 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C: 2

且 k1k2 ?

2 y0 ?2 ? 2. (2 ? x2 )2 ? 2

(Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 相切时,求 P 的坐标. 【答案】

1 的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 2

2 2 ? x0 y0 ? ? 1, ? 10 ? 16 12 2 由? 得 5x0 ? 8x0 ? 36 ? 0.解得 x0 ? 2, 或 x0 ? . 2 5 ? y0 ? 2 ? 1 2 ? ? (2 ? x0 ) ? 2 2

【解析】 (Ⅰ)由 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 .故圆C的圆心为点

由 x0 ? ?2 得 y0 ? ?3; 由 x0 ?

x2 y 2 (2,0), 从而可设椭圆E的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其焦距为 2c ,由题设知 a b
c ? 2, e ? c 1 ? ,? a ? 2c ? 4, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12. 故椭圆E的方程为: a 2

18 57 , 它们满足①式,故点P的坐标为 得 y0 ? ? 5 5

18 57 18 57 (?2,3) ,或 (?2, ?3) ,或 ( , ) ,或 ( , ? ). 5 5 5 5
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程, 求出 c, a , b 即得椭圆 E 的方 程,第二问设出点 P 坐标,利用过 P 点的两条直线斜率之积为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12
( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , l1 , l2 的 斜 分 率 分 别 为 k1 , k2 . 则 l1 , l2 的 方 程 分 别 为

1 ,得出关于点 P 坐标的一个 2

1 l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), l2 : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ), 且 k1k 2 ? . 由 l1 与圆 c : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 相 2
切,得

方程,利用点 P 在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点 P 坐标.

2k1 ? y0? k12 ? 1
即 同理可得

k1 x0 ? 2,

2 2 2 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k1 ? 2(2 ? x0 ) y0 k2 ? y0 ? 2 ? 0. 2 ? ? x0 2 ) ? ? k2 ? ?( 2 ?2 2 ? 2 ( x2 y0 ?k )2 ? y? . 0 0

2

0

0 2 2 从而 k1 , k2 是方程 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k ? 2(2 ? x0 ) y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是

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