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【函数的单调性和奇偶性


函数的单调性和奇偶性
经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明
1.证明函数 f ( x) ?

1 x

在(0,+∞)上的单调性.

证明:在(0,+∞)上任取 x1、x2(x1≠x2), 令△x=x2?x1>0

则 ∵x1>0,x2>0,∴ x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∴上式<0,∴△y=f(x2)?f(x1)<0 1 ∴ f ( x) ? 在(0,+∞)上递减. x 总结升华: [1]证明函数单调性要求使用定义; [2]如何比较两个量的大小?(作差) [3]如何判断一个式子的符号?(对差适当变形) 举一反三:

【变式 1】用定义证明函数

上是减函数.

思路点拨:本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径. 证明:设 x1,x2 是区间 上的任意实数,且 x1<x2,则

∵0<x1<x2≤1 ∴x1?x2<0,0<x1x2<1

∵0<x1x2<1

故 ∴x1<x2 时有 f(x1)>f(x2)

,即 f(x1)?f(x2)>0

上是减函数. 总结升华:可以用同样的方法证明此函数在 上是增函数;在今后的学习中经常会碰到这个函

数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x2?3|x|+2; (2) 解:(1)由图象对称性,画出草图

∴f(x)在

上递减,在

上递减,在

上递增.

(2) ∴图象为

∴f(x)在 举一反三: 【变式 1】求下列函数的单调区间:

上递增.

(1)y=|x+1|; (2)

(3)

.

解:(1) ∴函数的减区间为

画出函数图象, ,函数的增区间为(?1,+∞);

(2)定义域为



其中 u=2x?1 为增函数,

在(?∞,0)与(0,+∞)为减函数,



上为减函数;

(3)定义域为(?∞,0)∪(0,+∞),

单调增区间为:(?∞,0),单调减区间为(0,+∞).

总结升华: [1]数形结合利用图象判断函数单调区间; [2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析:先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的 单调性解决.关注:内外层函数同向变化 复合函数为增函数;内外层函数反向变化 复合函数为减函数.

类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)
3. 已知函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较 f(a2?a+1)与

的大小.

解:

又 f(x)在(0,+∞)上是减函数,则

.

4. 求下列函数值域:

(1)

; 1)x∈[5,10]; 2)x∈(?3,?2)∪(?2,1);

(2)y=x2?2x+3; 1)x∈[?1,1]; 2)x∈[?2,2]. 思路点拨:(1)可应用函数的单调性;(2)数形结合.

解:(1)

2 个单位,再上移 2 个单位得到,如图

1)f(x)在[5,10]上单增,



2) (2)画出草图



1)y∈[f(1),f(?1)]即[2,6]; 2) 举一反三: .

【变式 1】已知函数

.

(1)判断函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[1,3]时,求函数 f(x)的值域. 思路点拨:这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,即可得到我们相

对熟悉的形式.

,第二问即是利用单调性求函数值域.

解:(1)

上单调递增,在

上单调递增;

(2)

故函数 f(x)在[1,3]上单调递增 ∴x=1 时 f(x)有最小值,f(1)=?2

x=3 时 f(x)有最大值

∴x∈[1,3]时 f(x)的值域为

.

5. 已知二次函数 f(x)=x2?(a?1)x+5 在区间 的取值范围.

上是增函数,求:(1)实数 a 的取值范围;(2)f(2)

解:(1)∵对称轴

是决定 f(x)单调性的关键,联系图象可知

只需



(2)∵f(2)=22?2(a?1)+5=?2a+11 又∵a≤2,∴?2a≥?4 ∴f(2)=?2a+11≥?4+11=7 .

类型四、判断函数的奇偶性
6. 判断下列函数的奇偶性:

(1)

(2)

(3)f(x)=x2?4|x|+3

(4)f(x)=|x+3|?|x?3|

(5)

(6)

(7)

思路点拨:根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解:(1)∵f(x)的定义域为 ,不关于原点对称,因此 f(x)为非奇非偶函数; 不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数;

(2)∵x?1≥0,∴f(x)定义域

(3)对任意 x∈R,都有?x∈R,且 f(?x)=x2?4|x|+3=f(x),则 f(x)=x2?4|x|+3 为偶函数 ; (4)∵x∈R,f(?x)=|?x+3|?|?x?3|=|x?3|?|x+3|=?f(x),∴f(x)为奇函数;

(5)

,∴f(x)为奇函数; (6)∵x∈R,f(x)=?x|x|+x ∴f(?x)=?(?x)|?x|+(?x)=x|x|?x=?f(x),∴f(x)为奇函数;

(7) 举一反三: 【变式 1】判断下列函数的奇偶性: (1) ; (2)f(x)=|x+1|?|x?1|;

,∴f(x)为奇函数.

(3)f(x)=x2+x+1;

(4) . 思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断. 解:(1) (2)f(?x)=|?x+1|?|?x?1|=?(|x+1|?|x?1|)=?f(x) ∴f(x)为奇函数; (3)f(?x)=(?x)2+(?x)+1=x2?x+1 ∴f(?x)≠?f(x)且 f(?x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数; (4)任取 x>0 则?x<0,∴f(?x)=(?x)2+2(?x)?1=x2?2x?1=?(?x2+2x+1)=?f(x) 任取 x<0,则?x>0 f(?x)=?(?x)2+2(?x)+1=?x2?2x+1=?(x2+2x?1)=?f(x) x=0 时,f(0)=?f(0) ∴x∈R 时,f(?x)=?f(x) ∴f(x)为奇函数. 举一反三: 【变式 2】已知 f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数. 证明:设 F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x)则 F(?x)=f(?x)+g(?x)=?f(x)?g(x)=?[f(x)+g(x)]=?F(x) G(?x)=f(?x)·g(?x)=?f(x)·[?g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数. ;

类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)
7.已知 f(x)=x5+ax3?bx?8,且 f(?2)=10,求 f(2). 解:法一:∵f(?2)=(?2)5+(?2)3a?(?2)b?8=?32?8a+2b?8=?40?8a+2b=10 ∴8a?2b=?50 ∴f(2)=25+23a?2b?8=8a?2b+24=?50+24=?26

法二:令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 ∴g(?2)=?g(2) ∴f(?2)+8=?f(2)?8 ∴f(2)=?f(?2)?16=?10?16=?26.

8. f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x2?x,求当 x≥0 时,f(x)的解析式,并画出函 数图象. 解:∵奇函数图象关于原点对称, ∴x>0 时,?y=(?x)2?(?x)

即 y=?x2?x 又 f(0)=0,

,如图

9. 设定义在[?3,3]上的偶函数 f(x)在[0,3]上是单调递增,当 f(a?1)<f(a)时,求 a 的取值范围. 解:∵f(a?1)<f(a) ∴f(|a?1|)<f(|a|) 而|a?1|,|a|∈[0,3]

.

类型六、综合问题
10.定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间 设 a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________. ①f(b)?f(?a)>g(a)?g(?b); ②f(b)?f(?a)<g(a)?g(?b); ③f(a)?f(?b)>g(b)?g(?a); ④f(a)?f(?b)<g(b)?g(?a). 答案:①③. 的图象与 f(x)的图象重合,

11. 求下列函数的值域: (1) (2) (3)

思路点拨:(1)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域;(2)由单调性求值域,此题也可换元解 决;(3)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时 t 范围.

解:(1)



(2)

经观察知,





(3)令

.

12. 已知函数 f(x)=x2?2ax+a2?1. (1)若函数 f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数 a 的取值范围; (2)当 x∈[?1,1]时,求函数 f(x)的最小值 g(a),并画出最小值函数 y=g(a)的图象. 解:(1)∵f(x)=(x?a)2?1 ∴a≤0 或 a≥2 (2)1°当 a<?1 时,如图 1,g(a)=f(?1)=a2+2a

2°当?1≤a≤1 时,如图 2,g(a)=f(a)=?1

3°当 a>1 时,如图 3,g(a)=f(1)=a2?2a

,如图

13. 已知函数 f(x)在定义域(0, +∞)上为增函数, f(2)=1, 且定义域上任意 x、 y 都满足 f(xy)=f(x)+f(y), 解不等式:f(x)+f(x?2)≤3. 解:令 x=2,y=2,∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2 再令 x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3 ∴f(x)+f(x?2)≤3 可转化为:f[x(x?2)]≤f(8)

.

14. 判断函数 证明:任取 0<x1<x2,

上的单调性,并证明.

∵0<x1<x2,∴x1?x2<0,x1·x2>0 (1)当 时

0<x1·x2<1,∴x1·x2?1<0 ∴f(x1)?f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2)

上是减函数. (2)当 x1,x2∈(1,+∞)时,

上是增函数. 难点:x1·x2?1 的符号的确定,如何分段.

15. 设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x?a|+1,x∈R,试讨论 f(x)的奇偶性,并求 f(x)的最小值. 解:当 a=0 时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)=x2+|x?a|+1,为非奇非偶函数.

(1)当 x≥a 时,

[1]



[2]

上单调递增, 上的最小值为 f(a)=a2+1.

(2)当 x<a 时,

[1]

上单调递减, 上的最小值为 f(a)=a2+1

[2]

上的最小值为







.

学习成果测评 基础达标
一、选择题 1.下面说法正确的选项( ) A.函数的单调区间就是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

2.在区间

上为增函数的是( )

A. C.

B. D.

3.已知函数 A. B. C. D.

为偶函数,则

的值是( )

4.若偶函数



上是增函数,则下列关系式中成立的是( )

A.

B.

C.

D.

5.如果奇函数

在区间

上是增函数且最大值为 ,那么 B.增函数且最大值是 D.减函数且最小值是

在区间

上是( )

A.增函数且最小值是 C.减函数且最大值是

6.设

是定义在

上的一个函数,则函数 B.偶函数 D.非奇非偶函数.

,在

上一定是( )

A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

7.下列函数中,在区间

上是增函数的是( )

A.

B.

C.

D.

8.函数 f(x)是定义在[?6,6]上的偶函数,且在[?6,0]上是减函数,则( ) A. f(3)+f(4)>0 B. f(?3)?f(2)<0 C. f(?2)+f(?5)<0 D. f(4)?f(?1)>0 二、填空题 1.设奇函数 的定义域为 ,若当 的解是____________. 时, 的图象

如右图,则不等式

2.函数

的值域是____________.

3.已知

,则函数

的值域是____________.

4.若函数

是偶函数,则

的递减区间是____________.

5.函数 三、解答题

在 R 上为奇函数,且

,则当



____________.

1.判断一次函数

反比例函数

,二次函数

的单调性.

2.已知函数 上 单调递减;(3)

的定义域为

,且同时满足下列条件:(1)

是奇函数;(2)

在定义域

求 的取值范围.

3.利用函数的单调性求函数

的值域;

4.已知函数 ① 当

. 时,求函数的最大值和最小值; 在区间 上是单调函数.

② 求实数 的取值范围,使

能力提升
一、选择题 1.下列判断正确的是( )

A.函数 C.函数

是奇函数 是非奇非偶函数

B.函数 D.函数

是偶函数 既是奇函数又是偶函数

2.若函数



上是单调函数,则 的取值范围是( )

A. C.

B. D.

3.函数 A. C.

的值域为( ) B. D.

4.已知函数 A. B.

在区间 C.

上是减函数,则实数 的取值范围是( ) D.

5.下列四个命题:(1)函数 若 函数 间 为 ;(4) 和



时是增函数,

也是增函数,所以

是增函数;(2)

与 轴没有交点,则



;(3)

的递增区

表示相等函数.

其中正确命题的个数是( ) A. B. C. D.

6.定义在 R 上的偶函数 A. C. 二、填空题 1.函数

,满足 B. D.

,且在区间

上为递增,则( )

的单调递减区间是____________________.

2.已知定义在

上的奇函数

,当

时,

,那么

时,

______.

3.若函数



上是奇函数,则

的解析式为________.

4.奇函数 则

在区间

上是增函数,在区间 __________.

上的最大值为 8,最小值为?1,

5.若函数 三、解答题 1.判断下列函数的奇偶性



上是减函数,则 的取值范围为__________.

(1)

(2)

2.已知函数 时,

的定义域为

,且对任意 是

,都有

,且当 是奇函数.

恒成立,证明:(1)函数

上的减函数;(2)函数

3.设函数



的定义域是





是偶函数,

是奇函数,且

,求



的解析式.

4.设 为实数,函数 (1)讨论 的奇偶性;(2)求 的最小值.



.

综合探究

1.已知函数 为( ) A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数

, B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

,则

的奇偶性依次

2.若 的

是偶函数,其定义域为

,且在

上是减函数,则

大小关系是( )

A.



B.



C.

D.

3.已知

,那么

=_____.

4.若

在区间

上是增函数,则 的取值范围是________.

5. 已知函数 都有

的定义域是 ,(1)求

, 且满足 .



, 如果对于



;(2)解不等式

6.当

时,求函数

的最小值.

7.已知

在区间

内有一最大值

,求 的值.

8.已知函数

的最大值不大于

,又当

,求 的值.

答案与解析 基础达标
一、选择题 1.C. 2.B. 3.B. 奇次项系数为

4.D. 5.A. 奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性 6.A.

7.A. 8.D.



上递减,



上递减,



上递减

二、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 三、解答题 1.解:当 , 在 是增函数,当 , 在 是减函数; . . . . 奇函数关于原点对称,补足左边的图象 是 的增函数,当 时,

. 该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小;自变量最大时,函数值最大







是减函数,







是增函数;







是减函数,在

是增函数,







是增函数,在

是减函数.

2.解:

,则



3.解:

,显然

是 的增函数,



4.解: ∴ (2)对称轴 当

对称轴



时,



上单调





.

能力提升
一、选择题 1.C. 选项 A 中的 而 而 有意义,非关于原点对称,选项 B 中的

有意义,非关于原点对称,选项 D 中的函数仅为偶函数;

2.C. 对称轴

,则

,或

,得

,或

3.B. 4.A. 对称轴



是 的减函数,当

5.A. (1)反例

;(2)不一定 和

,开口向下也可;(3)画出图象 ;(4)对应法则不同

可知,递增区间有 6.A. 二、填空题

1.

. 画出图象

2. ∵

. 设 ∴

,则

, ,



3.

.







4.

.

在区间

上也为递增函数,即

5. 三、解答题

.

.

1.解:(1)定义域为

,则



∵ (2)∵

∴ 且

为奇函数. ∴ 既是奇函数又是偶函数.

2.证明:(1)设 ∴ ∴函数 (2)由 即 ∴

,则

,而



上的减函数; 得 ,而

,即函数

是奇函数.

3.解:∵

是偶函数,

是奇函数,∴

,且



,得











.

4.解:(1)当 当

时, 时,

为偶函数, 为非奇非偶函数;

(2)当

时,



时,





时,

不存在;



时,



时,





时,

.

综合探究
1.D. 画出 则 当 时, ,则 的图象可观察到它关于原点对称或当 , 时, ,

2.C.



3.

.



4.

. 设



,而

,则

5.解:(1)令

,则

(2)





.

6.解:对称轴



,即

时,



的递增区间,





,即

时,



的递减区间,





,即

时,

.

7.解:对称轴 则

,当



时, ,得

是 或

的递减区间, ,而 ,即 ;





时,



的递增区间,则







,而

,即 不存在;当



时,



,即

;∴



.

8.解:



对称轴

,当

时,



的递减区间,而







矛盾,即不存在;



时,对称轴

,而

,且

即 ∴ .

,而

,即


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