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选修4-5:《不等式选讲》全套教案系列2

选修 4-5 不等式选讲

课 题: 第 2 课时

含有绝对值的不等式的解法

三维目标: 三维目标 重点难点: 重点难点 教学设计: 教学设计 引入: 一、引入 在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定 的了解。在此基础上,本节讨论含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类 是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式) ,关键在于 去掉绝对值符号,化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即
? x,如果x > 0 ? x = ?0,如果x = 0 。 ?? x,如果x < 0 ? 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 第一种类型 。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x < a 的解集是
{x | ? a < x < a} ,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开

,如图所示。 区间(-a,a)

a ?a 图 1-1 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。 第二种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x > a 的解集是
{ x | x > a 或 x < ?a }

它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间
(?∞,?a ), (a, ∞) 的并集。如图 1-2 所示。

–a

a

图 1-2 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 范例分析: 二、范例分析

选修 4-5 不等式选讲

例 1、解不等式 3x ? 1 < x + 2 。

例 2、解不等式 3x ? 1 > 2 ? x 。 方法 1:分域讨论

★方法 2:依题意, 3 x ? 1 > 2 ? x 或 3 x ? 1 < x ? 2 , (为什么可以这么解?)

例 3、解不等式 2 x + 1 + 3x ? 2 ≥ 5 。 例 4、解不等式 x ? 2 + x ? 1 ≥ 5 。 解 本题可以按照例 3 的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等 式即数轴上的点 x 到 1,2 的距离的和大于等于 5。因为 1,2 的距离为 1,所以
x 在 2 的右边,与 2 的距离大于等于 2(=(5-1) ÷ 2) ;或者 x 在 1 的左边,

与 1 的距离大于等于 2。这就是说, x ≥ 4 或 x ≤ ?1. 例 5、不等式 x ? 1 + x + 3 > a ,对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围。

三、小结: 小结 四、练习:解不等式 练习
1、 2 2 x ? 1 > 1. 3、 2、 4 1 ? 3 x ? 1 < 0 4、 x + 1 ≥ 2 ? x .

3 ? 2x ≤ x + 4 .

5、 x 2 ? 2 x ? 4 < 1

6、 x 2 ? 1 > x + 2 . 8、 x ? 1 + x + 3 ≥ 6. 10、 x ? x ? 4 > 2.

7、 x + x ? 2 ≥ 4 9、
五、作业:

x + x +1 < 2


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