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山东师范大学附属中学2014届高三数学第五次模拟考试试题 理


山东师大附中 2011 级高三第五次模拟考试 数学(理科)试卷
2014.2 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页,满分为 150 分,考试用时 120 分钟,考 试结束后将答题卡交回。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在 规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液,胶带 纸、修正带和其他笔。 4.不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的,答案无效。 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.把正确答案涂在答题卡上. 1.若复数 z 满足 iz ? 4 ? 5i (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z 为 A. 5 ? 4i B. ?5 ? 4i C. 5 ? 4i D. ?5 ? 4i

2.已知集合 M ? ? x A.

? x?2 ? ? 0? ,集合 N ? ? x ? 2 ? x ? 3? ,则 M ? N 为 ? x?3 ?
B.

? ?2,3?

? ?3, ?2?

C.

??2, 2?

D.

? ?3,3?

3.已知 a,b,c,d 为实数,且 c ? b ,则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某工厂对一批产品进行了抽样检测, 右图是根据抽样检测 后的产品净重(单位:克)数 据绘制的频率分散直方图,其 中 产 品 净 重 的 范 围 是 ?96,106? , 样 本 数 据 分 组 为

?96,98? ,?98,100? ,?100,102? ,?102,104??104,106? . 已 知
样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大 于或等于 98 克并且小于 102 克的产品的个数是 A.90 B.75 C.60 D.45
1

5. 已 知 平 行 四 边 形 ABCD 中 , AC 为 一 条 对 角 线 , 若

??? ? ???? ???? ??? ? AB ? ? 2, 4 ? , AC ? ?1,3? , 则AD ? BD ?
A. ?8 B. ?6 C.6 D.8 6.某算法的程序框图如图所示,如果输出的结果是 26,则判断 框内应为 A. K ? 1 B. K ? 2 C. K ? 3 D. K ? 4 7. 一个多面体的直观图和三视图所示,M 是 AB 的中点,一只蝴 蝶在几何体 ADF-BCE 内自由飞翔,由它飞入几何体 F-AMCD 内的 概率为

A.

3 4

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 2

8.函数 f ? x ? ?

x ? cos x在?0, ? ?? 内
B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

A.没有零点 C.有且仅有两个零点 9. 已 知 双 曲 线 C1:

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0,b ? 0 ? 的 离 心 率 为 2 , 若 抛 物 线 a 2 b2

C2 : y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是
A. y ? 8x
2

B. y ?
2

16 3 x 3

C. y ?
2

8 3 x 3

D. y ? 16 x
2

10.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒子中至少有一个小球,且每个盒 子里的小球个数都不相同,则不同的放法有( )种 A.15 B.18 C.19 D.21

2

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡相应的位 置上. 11. 设 a ?

?

?

0

1 ? ? ? sin x ? cos x ? dx , 则 二 项 式 ? a x ? ? 的 展 开 式 的 常 数 项 是 x? ?

6

______ ___.
n ?1 n ? N * 在点 ?11 , 12. 设 曲 线 y ? x ? 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为

?

?

的值为 _________. xn , 令 an ? l g x ,则 a n 1a? 2a ? 3a? ? ? ? ? 9 9 13.若将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? ?? ? 0? 个单位, 得到的图象关于直线 x ? 称,则 ? 的最小值为_________.

?
6



?3x ? y ? 6 ? 0 ? 14. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若z=ax+by ? a ? 0,b ? 0? 的最大值为 12 ,则 ? x ? 0, y ? 0 ?
1 1 ? 的最小值为________. 2a 3b
15.若对任意 x ? A, y ? B, ? A、B ? R ? 有唯一确定的 f ? x, y ? 与之对 应,称 f ? x, y ? 为 关于 x、y 的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数 f ? x, y ? 为关于实数 x、y 的广义 “距离” : (1)非负性: f ? x, y ? ? 0 ,当且仅当 x ? y ? 0 时取等号; (2)对称性: f ? x, y ? ? f ? y, x ? ; (3)三角形不等式: f ? x, y ? ? f ? x, z ? ? f ? z, y ? 对任意的实数 z 均成立.
2 2 今给出四个二元函数: ① f ? x, y ? ? x ? y ; ② f ? x, y ? ? ? x ? y ? ③ f ? x, y ? ?
2

x? y ;

④ f ? x, y ? ? sin ? x ? y ? . 能够成为关于的 x、y 的方义“距离”的函数的所有序号是___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.
3

16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c。已知 sin B ? 比数列. (1)求 求

5 ,且 a,b,c 成等 13

1 1 ? 的值; tan A tan C

(2)若 ac cos B ? 12, 求a ? c 的值。

17. 已 知 等 边 三 角 形 的 边 长 为 3 , 点 D , E 分 别 在 边 AB,AC 上 , 且 满 足

AD CE 1 ? ? , 将?ADE沿DE折叠到?A1 DE 的位置,使平面 A1DE ? 平面 BCDE,连 DB EA 2
接 A1B, AC 1 。

(1)证明: A1D ? 平面 BCDE; (2)在线段 BD 上是否存在点 P,使得 PA1 与平面 A 1BD 所成的 角为 60°?若存在,求出 PB 的长;若不存在,说明理由。

18.某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种 型号电视机的利润情况 有如下规律: 每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间 T (单位: 年) 有关.若 T ? 1 , 则每台销售利润为 0 元;若 1 ? T ? 3 ,则每台销售利润为 100 元;若 ? ? ? ,则每台销 售利润 为 200 元.设每台该种电视机的无故障使用时间 T ? 1,1 ? T ? 3, T ? 3 这三种情况
2 发生的概率分别为 P 1, P 2, P 3 , 又知P 1, P 2 是方程 10 x ? 6 x ? a ? 0, 且P 2 ?P 3.

(1)求 P 1, P 2, P 3 , 的值 ; (2) 记? 表示销售两台这种电视机的销售利润总和,求出 ? 的分 布列和数学期望。

4

19.用部分自然数构造如图的数表:用 aij ?i ? j ? 表示第i行第j个数?i, j ? N? ?,使得

ai1 ? aij ? i. 每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和。
设第 n ? n ? N? ? 行中的各数之和为 bn . (1)写出 b1 , b2 , b3 , b4,并写出bn?1与bn 的递推关系(不要求证明) ; (2) 令 cn ?bn ? 2,证明 c ?n 并 求出 ?bn ? 的通项公式; ? 是等比数列,

(3)数列 ?bn ? 中是否存在不同的三项 bp , bq , br ? p, q, r ? N? ? 恰好成等差数列?若存在, 求出 p,q,r 的关系;若不存在,说明理由。

20.已知函数 f ? x ? ? mx ? ln x ,其中 m 为常数,e 为自然对数的底数。 (1)当 m ? ?1 时,求f ? x ? 的最大值; (2)若 f ? x ? 在区间? 0,e?上的最大值为 ?3 ,求 m 的值; (3)当 m=-1 时,g(x)= 上方。

1nx 1 ? ,试证明函数 y= f ? x ? 的图像恒在函数 y=g(x)的图像的 x 2

x2 y 2 21. 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 的左右焦点分别为 F 1, F 2,直线y =x-1 过椭圆的焦点 F2 且与 a b
椭圆交于 P,Q 两点,若 ?F 4 2。 1PQ周长为 (1)求椭圆的方程; (2)圆 C?:x ? y ? 1直线y ? kx ? m与圆C? 相切且与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,O
2 2

为坐标 原点。若 OA ? OB ? ?,且

??? ? ??? ?

2 3 ? ? ? ,求△OAB 的取值范围. 3 4
5

6

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8

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