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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:线面垂直要点分析


年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 线面垂直要点分析 刘咏霞 一校 黄楠 二校 林卉 审核 张利婷 一、直线与平面垂直的判定 1. 定义:如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 α 垂直。 2. 判定定理: (1)内容:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直; 符号语言: l?a (2)利用线面垂直: a ? ? , a∥b ? b ? ? ; (3)利用面面平行: a ? ? , ?∥? ? a ? ? ; (4)利用面面垂直: ? ? ? , ? ? ? ? m, a ? ? , a ? m ? a ? ? 。 要点诠释: 当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任一直线,常用来证明线线垂直。 ? ? l ?b ? ? a ? b ? A? ? l ? ? ? a ?? ? b ?? ? ? 二、直线与平面垂直的性质 1. 线面垂直的定义:如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线垂直于这个平面内所 有直线,即线面垂直 ? 线线垂直。 2. 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 (同时也作为判定两直线平行 的依据) 3. 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面,那么另外一条也垂直于这个平面。 4. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即线面垂直 ? 面面垂直。 例题 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 BB1 的中点, O 是底面正方形 ABCD 的中心,求证: OE ? 平面 ACD1 。 1 解析:本题考查的是线面垂直的判定方法。根据线面垂直的判定方法,要证明 OE ? 平 面 ACD1 ,只要在平面 ACD1 内找两条相交直线与 OE 垂直即可。 证明:连接 B1 D 、 A1 D 、 BD ,在△ B1 BD 中, ∵ E、O 分别是 B1 B 和 DB 的中点, ∴ EO // B1D 。 ∵ B1 A1 ? 面 AA1 D1 D , AD1 ? 面 AA1 D1 D ∴ B1 A1 ? AD1 ,又 A1 D ⊥ AD1 ∴ AD1 ⊥面 B1 A1 D 又∵ DB1 ? 面 B1 A1 D, ∴ AD1 ? DB1 。 同理可证, B1D ? D1C 。 又∵ AD1 ? CD1 ? D1 , AD1 、 D1C ? 面 ACD1 , ∴ B1 D ? 平面 ACD1 。 ∵ B1D // EO , ∴ EO ? 平面 ACD1 。 点拨:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法。 直线和平面垂直的判定和性质的综合应用 例题 矩形纸片 A A? A1? A1,B、C、B1、C1 分别为 A A? 、A1A1′的三等分点,将矩形纸 片沿 BB1、CC1 折成如图形状,若面对角线 AB1⊥BC1,求证:A1C⊥AB1。 2 A 1 B 1 C 1 ' A 1 A B C ' A 解析:题中的条件是 AB1⊥BC1,而结论是证 AB1⊥A1C,那么结论得证的关键是找面, 通过该面构建证明线面垂直 ? 线线垂直的条件,完成线线垂直,所找的面为 ABB1A1,取 AB 及 A1B1 的中点 D 及 D1 是解题的关键。 A1 D1 B1 C1 A D B C 证明:取 AB 及 A1B1 的中点 D 及 D1, 连接 C1D1、BD1、A1D, 由题意知 △ ABC 及 △ A1B1C1 为等边三

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