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2012高考最后五天冲刺黄金卷:数学理5

2012 高考最后五天冲刺黄金卷:数学理 5
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.设集合

A ? {x | y ? 2 x ? x 2 }, B ? { y | y ? 2 x , x ? 0} ,则 A∩B=
B. {x | 1 ? x ? 2} C. {x | x ? 0}





A. {x | 1 ? x ? 2}

D. {x | x ? 1} ( )

2.已知 ? , ? 是两个不同平面,

m,.n 是两条不同直线,则下列命题不正确的是
B. m / n, m ? ? , 则n ? ? D. m // ? , m ? n, 则n ? ?

A. ? // ? , m ? ? , 则m ? ? C. n // ? , n ? ? , 则? ? ?

3.羊娃是第 16 届广州亚运会吉祥物,每组羊娃都由“阿祥” 、 “阿和” 、 “阿如” 、 “阿意”和“乐羊羊” 这五只羊组成,现将同一组羊娃随机分配给甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者,则甲或乙得到“阿祥” 、丙 不得“乐羊羊“的方法种数为 ( ) A.24 B.36 C.48 D.54

}, M ? {( x, y) || x | ? | y |? 1},若在区域Ω 上随机扔一个点 P, 4. 已知平面区域 ? ? {( x, y) | x ? y ? 1
2 2

则点 P 落在区域 M 的概率为





1 1 A. 2? B. ?

2
C. ?

3
D. ? )

5.设有算法如下: 如果输入 A=2010,B=99,则输出的结果是( A.0 B.3 C.6 D.9

(a x ?
6.若二项式

1 x

)6

的展开式中的常数项为 ? 20? (? 为无理数) ,则
3

? sin xdx ?
0

a

( ) A.-2 B.0 C .1 D.2 7.给出下列四个结论: ①命题“ ?x ? R,2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R,2 ? 0 ” ;
x x

②给出四个函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x ,则在 R 上是增函数的函数有 3 个;
3

?1

?

?

③已知 a, b ? R ,则“不等式 | a ? b |?| a | ? | b | 成立”的充要条件是“ ab ? 0 ” ;

④若复数 z ? (m ? 2m ? 3) ? (m ? 1)i 是纯虚数, 则实数 m 的值为-3 或 1。
2

其中正确的个数是 A.0 B.1 C .2

( D.3



1 1 2 1 2 3 1 2 k , , , , , ,? , , ,? , ,? , k k ?1 1 8.给出数列 1 2 1 3 2 1 在这个数列中,第 50 个值等于 1 的项的序号是
( ) A.4900 B.4901 C.5000 D.5001 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 9.为了调制一种饮料,在每 10kg 半成品饮料中加入柠檬汁进行试验,加入量为 500g 到 1500g 之间,现 用 0.618 法选取试点找到最优加入量,则第二个试点应选取在 g。 10.如图,AC 为⊙O 的直径,弦 BD ? AC 于点 P, PC=2,PA=8,则 cos ?ACB 的值为 。

11.正三棱柱的底面边长为 2 3cm ,高为 2cm ,则它 的外接球的表面积为 cm2.(结果保留 ? )

? ? x ? a ? 2 cos? C : (? 2 ? C1 : ? ? ? y ? 2 sin ? ( ? ? R ) ? 6 12.若曲线 与曲线 为参数, a 为常数, a ? 0 )有两个交 点 A、B,且|AB|=2,则实数 a 的值为 。

?

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 b 13 .设双曲线 a 的渐近线与抛物线 y ? x ? 1 相切,则该双曲线的离心率等
于 。 14 . 已 知 M 是 ?ABC 内 的 一 点 ( 不 含 边 界 ), 且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30 ° , 若

?MBC, ?MCA和?MAB 的面积分别为 x, y , z.
(1) x ? y ? z ? ;

f ( x, y, z ) ?
(2)定义 15 . 设 代 数 方 程
2 4

1 4 9 ? ? x y z ,则 f ( x, y, z ) 的最小值是



a0 ? a1 x 2 ? a2 x 4 ? ? ? (?1) n an x 2n ? 0 有 2n 个 不 同 的 根 ? x1 ,? x2 ,?,? xn , 则
n 2n

a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? (?1) an x ?? (1 ?

x2 x2 ? a0 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) ? x1 x2
a0 ? x1 ? x2 ??? xn 表示) ;若已知展开式

x2 ) 2 2 xn ,比较两边 x 的系数得 a1 ?

(用

sin x sin x x2 x4 x6 ?0 ? 1? ? ? ?? x x 3! 5! 7! 对 x ? R, x ? 0 成 立 , 则 由 于 有 无 穷 多 个 根 :

? ? ,?2? ,?,? ? n? ,?, 于是

1?

x2 x4 x6 x2 x2 ? ? ? ? ? (1 ? 2 )(1 ? 2 2 ) 3! 5! 7! ? 2 ??
1? 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ?? ? 2 2 3 n

? ? ? (1 ?

x2 n?
2 2

) ??
,利用上述结论可得



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x,2 3 sin x),b ? (2 cos x, sin x) ,定义 f ( x) ? a ? b ? 3. (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)若函数 y ? f ( x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。

17. (本小题满分 12 分) “上海世博会”于 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日在上海举行,世博会“中国馆·贵宾厅”作为接待 中外贵宾的重要场所,陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄,海纳百川的重要文化载体,为此,上海世博 会事物协调局举办“中国 2010 年上海世博会”中国馆·贵宾厅艺术品方案征集活动,某地美术馆从馆藏 的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应证,假设代表中有中国画、书法、油画入选

1 1 “中国馆·贵宾厅”的概率均为 4 ,陶艺入选“中国馆·贵宾厅”的概率为 3 。
(1)求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率; (2)设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量 ? ,求 ? 的 数学期望。

18. (本小题满分 12 分) 下图分别为三棱锥 S—ABC 的直观图与三视图,在直观图中, SA ? SC ,M、N 分别为 AB、SB 的 中点。

(1)求证: AC ? SB ; (2)求二面角 M—NC—B 的余弦值。

19. (本小题满分 13 分) 张家界某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,从而扩大内需,提高旅游增加值,经 过 市 场 调 查 , 旅 游 增 加 值

y 万 元 与 投 入 x( x ? 10) 万 元 之 间 满 足 :

y ? f ( x) ? ax 2 ?

101 50

x ? b ln

x 10

, a, b

为常数。当 x ? 10 万元时, y ? 19.2 万元;当 x ? 20 万元时,

y ? 35.7 万元。 (参考数据: ln 2 ? 0.7, ln 3 ? 1.1, ln 5 ? 1.6 )
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T ( x) 的最大值。 (利润=旅游增加值-投入)

20. (本小题满分 13 分) 已 知 数 列

{an } 满 足 a1 ? 1 , 点 (an ? an?1 ) 在 直 线 y ? 2 x ? 1 上 , 数 列 {bn } 满 足

b1 ? a1 ,

bn 1 1 1 ? ? ??? (n ? 2). an a1 a2 an?1

(1)求

bn?1an ? (bn ? 1)an?1 的值;

(2)求证:

(1 ? b1 )(1 ? b2 ) ? ? ? (1 ? bn ) ?

10 b1b2 ? ? ? bn (n ? Nh*). 3

21. (本小题满分 13 分)

C:
已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ,其左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 是坐标

| OP |?
平面内一点,且

7 3 , PF 1 ? PF 2 ? 2 4 (O 为坐标原点) 。

(1)求椭圆 C 的方程;

1 S (0,? ) 3 且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 y 轴上是否存在定点 M,使以 AB (2)过点
为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 M 的坐标和 ?MAB 面积的最大值;若不存在,说明理由。

2012 高考最后五天冲刺黄金卷:数学理 5 一、选择题 ADBC BDCB 二、填空题 9.882

5 10. 5
11. 20? 12.2

5 13. 2
14. (1)1 (2)36

a0 (
15.

1 1 1 ? 2 ??? 2 ) 2 x1 x2 xn

?2 6
2

三、解答题 16.解: (1) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 sin x ? 3

? sin 2 x ? 2 3 ?

1 ? cos 2 x ? 3 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)
????4 分

2k? ?


?
2

? 2x ?

?
2

? 2k? ?

3? 2

[k? ?
得单调递减区间是

5? 11? , k? ? ], k ? Z . 12 12

??6 分

f ( x ? ? ) ? 2 sin( 2 x ? 2? ?
(2) 由 f ( x ? ? ) 为偶函数,

?

) 3 ,

则 f ( x ? ? ) 在 x ? 0 处取最大值或最小值。

? sin( 2? ? ) ? ?1 3 ? 2? ?

?

?

3

? k? ?

?

2

,? ?

k? 5? ? , k ? Z. 2 12

又 0 ? ? ? ? ,得

??

5? 11? 或? ? . 12 12 ????12 分

注:少写一解扣 1 分 17.解:记“该地美术馆选送的中国画、书法、油画中恰有 i 件作品入选‘中国馆·贵宾厅’ ”为事件

Ai (i ? 0,1,2,3),记“代表作中陶艺入选‘中国馆·贵宾厅’ ”为事件 B。

(1)

P 1 ? P( A 1 ) ? P( B) ? P( A0 ) ? P( B)

1 27 1 1 3 2 0 3 3 1 ? C3 ( )( ) ? (1 ? ) ? C3 ( ) ? ? 4 4 3 4 3 64
(2) ? 的取值为 0,1,2,3,4????5 分

??4 分

1 18 9 0 3 3 P(? ? 0) ? C3 ( ) ? (1 ? ) ? ? 4 3 64 32 27 P (? ? 1) ? 64 3 1 1 3 1 15 1 1 P(? ? 2) ? C3 ( )( ) 2 ? ? C32 ( ) 2 ( )(1 ? ) ? 4 4 3 4 4 3 64 1 3 1 1 1 11 3 P(? ? 3) ? C32 ( ) 2 ( ) ? ? C3 ( ) 3 (1 ? ) ? 4 4 3 4 3 192 1 3 1 3 1 P(? ? 4) ? C3 ( ) ? ? 4 3 192

? ? 的分布列是为

?
P

0

1

2

3

4

9 32
????10 分

27 64

15 64

11 192

1 192

? E? ?

27 15 11 1 13 ? ?2? ?3? ?4 ? 64 64 192 192 12 ??612 分

18.解: (1)由题意知: SA ? SC ? 2 3 , 侧面 SAC ? 底面 ABC,度面 ?ABC 为正三角形, 取 AC 的中点 O,连结 OS,OB。

? ?n ? CM ? 3x ? 3 y ? 0 ? ?n ? MN ? ? x ? 2 z ? 0 则?
取 z ? 1得 x ?

2, y ? ? 6

所以 n ? ( 2 ,? 6 ,1) ????8 分 又由上可得 CB ? (2,2 3,0),CN ? (2, 3, 2 ) 设 m ? (a, b, c) 为平面 NBC 的法向量

? ?m ? CB ? 2a ? 2 3b ? 0 ? ?m ? CN ? 2a ? 3b ? 2c ? 0 则?
得 a ? 2c ? 0

取 c ? 1 ,则

m ? (? 2 ,

6 ,1) 3 ????10 分

cos ? n, m ??
所以

m?n ? 2 ? 2 ?1 33 ? ?? | m|?| n| 11 33 3? 3

33 所以二面角 M—NC—B 的余弦值为 11 ????(12 分)
注:有其他方法相应记分。

101 ? a ? 102 ? ? 10 ? b ln 1 ? 19.2 ? ? 50 ? ?a ? 202 ? 101? 20 ? b ln 2 ? 35.7 ? 50 19.解: (1)由条件 ? ????2 分
a??
解得

1 ,b ? 1 100 ????4 分

f ( x) ? ?


x 2 101 x ? x ? ln ( x ? 10). 100 50 10 ????6 分 x 2 51 x ? x ? ln ( x ? 10) 100 50 10

T ( x) ? f ( x) ? x ? ?
(2)由

T ?( x) ?


? x 51 1 ( x ? 1)( x ? 50) ? ? ?? 50 50 x 50 x ????10 分

? 令 T ( x) ? 0, 则x ? 1(舍)或 x ? 50
? 当 x ? (10,50) 时, T ( x) ? 0 ,
因此 T ( x) 在(10,50)上是增函数;

? 当 x ? (50,??) 时, T ( x) ? 0 ,
因此 T ( x) 在(0,+∞)上是减函数,

? x ? 50 为 T ( x) 的极大值点????12 分

即该景点改造升级后旅游利润 T ( x) )的最大值为 T (50) ? 24.4 万元。????13 分 20.解: (1)? 点

(an , an?1 ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上,

? an?1 ? 2an ? 1 ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,即 (an ? 1) 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列

? an ? 2n ? 1????2 分
bn 1 1 1 ? ? ??? (n ? 2) a a a a n 1 2 n ? 1 又 ? bn?1 1 1 1 1 ? ? ??? ? a n?1 a1 a2 an?1 an
bn?1 bn 1 ? ? a n?1 a n a n

?

?bn?1an ? (bn ? 1)an?1 ? 0(n ? 2) ????5 分
当 n ? 1 时, b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 3 则 b2 a1 ? (b1 ? 1)a2 ? ?3. ????6 分

bn ? 1 an ? (n ? 2), b2 ? a2 b a n ? 1 n ? 1 (2)由(1)知
? (1 ? b ?1 1 b ? 1 b2 ? 1 1 1 1 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 1 ? ?? ? n ? b1 b2 bn b1 b2 bn b1

?

b b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 1 b ? 1 a 2 a3 ? ? ? ? n?1 ? n ? bn?1 ? ? 1 ? ? ? b2 b3 bn bn?1 b1 b2 a3 a4 an?1 an b 1 1 1 ? ? bn?1 ? 2 ? n?1 ? 2( ? ? ? ? ).? an an?1 an?1 a1 a2 an ??9 分

??

1 1 2 k ?1 ? 1 2 k ?1 ? k ? k ? k ?1 k k ?1 ? k ? 2 时, ak 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1)
? 2( 1 1 ? k ?1 ) 2 ?1 2 ?1
k

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1? ??? n ? 1 ? 2[( 2 ? 3 )? a1 a2 an 3 2 ?1 2 ?1 2 ?1

?? (

1 1 1 1 5 ? n ?1 )] ? 1 ? 2( ? n ?1 ) ? 3 2 ? 1 3 ??612 分 2 ?1 2 ?1
n

? (1 ?

1 1 10 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? bn ) ? b1b2 ? ? ? bn . b1 b2 3 ????13 分

n?2 ? 1 (仅当 n ? 2 取等号) 另证:当 n ? 2 时 2

?2 ?1 ? 3 ? 2
n

n?2

1 1 1 1 ? n ? ? n?2 (n ? 2) a 2 ?1 3 2 ,即 n

? 当 n ? 2 时,
1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? (1 ? ? ? ? n?2 ) ? 1 ? ? a1 a 2 an 3 2 3 2
而 n ? 1 显然成立????12 分

1?

1

2 n?1 ? 5 ? 1 ? 5 1 3 2 n?2 3 1? 2

? (1 ?

1 1 1 10 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? b1 b2 bn 3
10 b1b2 ? ? ? bn . 3 ????13 分



(1 ? b1 )(1 ? b2 ) ? ? ? (1 ? bn ) ?

21.解: (1)设

P( x0 , y0 ), F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0),则由OP ?

7 7 2 2 得x0 ? y0 ? , 2 4 ①



PF1 ? PF2 ?

3 3 3 2 2 得(?c ? x0 ,? y 0 ) ? (c ? x0 ,? y 0 ) ? , 即x0 ? y0 ? c2 ? . 4 4 4
2分



由①②得 c ? 1.

c 2 ? 2 2 2 ,所以 a ? 2, b ? 1 又a
x2 ? y 2 ? 1. ? 椭圆 C 的方程: 2 1 x2 l : y ? kx ? 代入 ? y 2 ? 1, 3 2 (2)动直线
(2k 2 ? 1) x 2 ?


4分

4 16 kx ? ? 0. 3 9

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则x1 ? x2 ?


4k 16 , x1 x2 ? ? . 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1)

6分

设存在 y 轴上定点 M(0,m)满足题设,则 MA ? ( x1 ? y1 ? m) ? MB ? ( x2 , y2 ? m),

MA ? MB ? x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? x1 x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m2
1 2 1 ? (k 2 ? 1) x1 x 2 ? k ( ? m)(x1 ? x2 ) ? m 2 ? m ? 3 3 9 2 2 2 18(m ? 1)k ? (9m ? 6m ? 15) ? . 9(2k 2 ? 1)
由假设对任意 k ? R, MA ? MB ? 0 恒成立,

8分

m2 ?1 ? 0
即 9m ? 6m ? 15 ? 0, 解得 m ? 1
2

? 存在 y 轴上定点 M(0,1)满足题设。
d?
此时点 M 到 AB 距离

10 分

, 2 2 3 k 2 ? 1 又 AB ? (k ? 1)( x1 ? x 2 ) ,

4

? S ?MAB ?

1 2 2 8 9k 2 ? 4 AB ? d ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? . 2 3 3 9 (2k 2 ? 1) 2
k2 ? t ?1 1 且t ? [1,?? ), ? (0,1], 2 t

设 2k ? 1 ? t ,则
2

? S? MAB ?

8 9 1 1 1 2 8 1 81 1 9 2 16 ( )? ( ) ? [ ?( ? ) ] ? . 9 2 t 2 t 9 2 4 t 2 9

1 16 ? 1,即t ? 1, k ? 0 . 当且仅当 t 时 ?MAB 面积最大,且最大值为 9

13



? SA ? SC, AB ? AC,? AC ? SO, AC ? OB
? AC ? 平面 OSB,? AC ? SB。????4 分
(2)如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

A(2,0,0), B(0,2 3,0),C(?2,0,0), S (0,0,2 2 ), M (1, 3,0), N (0, 3, 2 )

? AC ? (?4,0,0), SB ? (0,2 3,?2 2 ) CM ? (3, 3,0), MN ? (?1,0, 2 )

设 n ? ( x, yz) 为平面 CMN 的一个法向量,


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