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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:直线与椭圆

年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 直线与椭圆 王长江 一校 黄楠 二校 林卉 审核 张利婷 【重要考点】 1. 直线与椭圆的位置关系及判断方法 (1)直线和椭圆有三种位置关系:相交、 相切 、 相离 ; (2)直线和椭圆的位置关系的判断:设直线方程:y=kx+m,椭圆方程: x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 (a ?b ?0) ,两方程联立消去 y 可得:Ax 2 +Bx+C=0,其判别式为 Δ=B 2 -4AC。 当Δ>0 时,直线与椭圆 相交 ; 当Δ=0 时,直线与椭圆 相切 ; 当Δ<0 时,直线与椭圆 相离 。 2. 向量的运算及其中一些特殊几何关系在直线和椭圆解题中的运用,例如直线 AB ? AC 可转化为 AB ? AC ? 0 。 【易错点辨析】 解答直线和椭圆相关问题要注意避免出现如下两种错误: (1)对直线 l 斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式,出现漏解或思维不全造成步 骤缺失; (2)对二次项系数不为零或Δ≥0 这个前提忽略而直接使用根与系数的关系。 x2 y2 2 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M( , 4 3 3 → → → 2 6 )为 C 上的一点, 点 N 满足MN=MF1+MF2, 直线 l∥MN,且与曲线 C 交于 A、 B 两点, 3 例题 若以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O,求直线 l 的方程。 → → → 解析:由MN=MF1+MF2知四边形 MF1NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O,因为 2 6 3 l∥MN,所以 l 与 OM 的斜率相同。故 l 的斜率 k= = 6。 2 3 设 l 的方程为 y= 6(x-m) 。 2 2 ?3x +4y =12, 由? 消去 y 并化简得 ?y= 6(x-m), 9x2-16mx+8m2-4=0。 1 8m2-4 16m 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,x1+x2= ,x1x2= 。 9 9 因为 OA⊥OB,所以 x1x2+y1y2=0。 x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m) (x2-m) =7x1x2-6m(x1+x2)+6m2 8m2-4 16m =7· -6m· +6m2 9 9 1 = (14m2-28)=0。 9 所以 m=± 2。 此时 Δ=(16m2)-4×9(8m2-4)>0, 故所求直线 l 的方程为 y= 6x-2 3或 y= 6x+2 3。 答案:y= 6x-2 3或 y= 6x+2 3 点拨: (1)根据向量加法的平行四边形法则及题目的条件,确定 MN ? 2MO ,求出直 线 MO 的斜率即为直线 l 的斜率,不必求出 N 点坐标,达到简化运算的目的。 (2)以 AB 为直径的圆过原点 O,此条件可等价转化为 OA ? OB ,即:OA ? OB ? 0 。 (3)直线和曲线方程联立后,注意判别式的应用,不要忽略这一隐含条件。 直线和椭圆相交的问题大多都需要联立直线和椭圆方程并化为一元二次方程的形式, 判 别式 Δ 的判断是个难点, 对于何时需要判断 Δ 可以这样确定: 如果不论直线和椭圆中的参 数如何变化,直线和椭圆一定有两个交点,例如直线经过椭圆的焦点,则不需要判断 Δ 的 正负;其他情况都需要使 Δ>0,从而求出参数的取值范围。 x2 例题 已知椭圆 C 的方程是 +y2=1,设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不 4 同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 解析:由题意知,直线 l 的斜率存在且不为零。 设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 。 2 x ? ? +y2=1, 联立方程,得? 4 消去 y,得 ? ?y=kx+2, (1+4k2)x2+16kx+12=0。 3 由题知 Δ=(16k)2-4(1+4k2)· 12>0,∴k2> 。 4 12 16k 易知 x1x2= ,x +x =- 。 1+4k2 1 2 1+4k2 又∠AOB 为锐角,∴ OA ? OB >0。 ∴x1x2+y1y2>0,∴x1x2+(kx1+2) (kx2+2)>0。 4?4-k2? 12 16 ∴(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2) >0, 2+2k(- 2)+4= 1+4k 1+4k 1+4k2 ∴k2<4。 3 3 3 3 又∵k2> ,∴ <k2<4,∴k∈(-2,- )∪( ,2) 。 4 4 2 2 2 答案:k∈(-2,- 3 3 )∪( ,2) 2 2 点拨:1. 研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方 程组成的方程组解的个数,但对于选择题、填空题,常充分利用几何条件,利用数形结合的 方法求解。2. 本题中,∠AOB 为锐角可以转化为 OA ? OB >0 来列关系式求解。 x2 y2 1. 直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 (答题时间:30 分钟) ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 x2 2 2. 椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 4 为 P,则|PF 2 |=( ) A. 7 2 B. 3 2 C. 3 D. 4 x2 y2 3. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x a b → → 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是( ) 3 2 1 1 A. B. C. D. 2 2 3 2 4. 若不论 k 为何值,直线 y=k(x-2)+b 与曲线 x2-y2=1 总有公共点,则 b 的取值范 围是( ) B. [- 3, 3] D. [-2,2]

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