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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:直线方程的五种形式及其相互转化

年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 直线方程的五种形式及其相互转化 王长江 一校 黄楠 二校 林卉 审核 刘敬绵 【重要考点】 1. 直线方程的五种形式及其相互转化 名称 点斜式 斜截式 几何条件 斜率 k 与直线上的点(x1, y1) 斜率 k 与直线在 y 轴上的截 距b 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b 局限性 不含直线 x=x1 不含垂直于 x 轴的直线 不包括垂直于坐标轴的 直线 不含垂直于坐标轴和过 原点的直线 两点式 两点坐标(x1,y1) , (x2,y2) y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 直线在 x 轴、y 轴上的截距 分别为 a,b( a, b ? 0 ) x y + =1 a b Ax +By +C =0 (A ,B 不同时为 0) 截距式 一般式 说明: (1)五种形式各有优点和局限性,要根据实际情况灵活选择,一般常用的是点斜 式和斜截式。在用点斜式时应注意已知定点时,要按下面的步骤来列方程: (2)直线的两点式可由点斜式导出,当直线斜率不存在或斜率为 0 时,不能用两点式, 此时直线与坐标轴重合或平行,直线方程更简单。已知直线上的两点坐标时,通常用两点式 求直线方程。 (3)在一般式 Ax+By+C=0(A2+B2 ≠0)中, 若 A=0,则 y ? ? C ,它表示一条与 y 轴垂直的直线; B 1 若 B=0,则 x ? ? C ,它表示一条与 x 轴垂直的直线。 A 一般式化斜截式的步骤: ①移项: By ? ? Ax ? C ; ②当 B ? 0 时,得 y ? ? A C x? 。 B B 一般式化截距式的步骤: ①把常数项移到方程右边,得 Ax ? By ? ?C ; ②当 C ? 0 时,方程两边同除以 ? C ,得 Ax By x y ? ? 1 ,即 ? ? 1。 C C ?C ?C ? ? A B (4)直线方程的其他形式都可以化成一般式,解题时,如果没有特殊说明应把最后结 果化为一般式。 2. 几种特殊直线的方程 ①过点 P(a, b) 垂直于 x 轴的直线方程为 x=a ;过点 P(a, b) 垂直于 y 轴的直线 方程为 y=b 。 ②已知直线的纵截距为 b ,可设其方程为 ③已知直线的横截距为 a ,可设其方程为 ④过原点且斜率是 k 的直线方程为 y=kx x=b 或 y=kx+b y=a 或 y=k(x-a) 。 。 。 【易错点提示】 1. 求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与否加以讨论。 2. 在用截距式时,应先判断截距是否为 0,若不能确定,则需分类讨论。 3. 截距与距离不是一回事,截距是直线与 x 轴(或 y 轴)交点的横(或纵)坐标,因此 可正、可负,也可为零,而“距离”必须是非负的。 例题 1 经过点 A(-5,2) ,且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程 是________。 解析:结合所给条件选择适当的直线方程形式求解。 设直线在 x 轴上的截距为 2a,则其在 y 轴上的截距为 a。 2 2 当 a=0 时,直线的斜率 k=- ,此时,直线方程为 y=- x,即 2x+5y=0。 5 5 x y 1 当 a≠0 时,点 A(-5,2)在直线 + =1 上,得 a=- ,此时,直线方程为 x+2y 2a a 2 +1=0。 综上所述,所求直线的方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0。 答案:x+2y+1=0 或 2x+5y=0 点拨:求直线方程的方法主要有以下两种: (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直 线方程形式,直接写出直线方程; (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出 待定系数,最后代入求出直线方程。 例题 2 直线 l 经过点 P(1 , 2) ,且点 A(2,, 3) B(4, ? 5) 到 l 的距离相等,求直线 l 的方 2 程。 错解:∵ A ,B 两点到直线 l 的距离相等,∴ AB ∥l 。 k AB ? ? 由点斜式可得所求直线方程为 y ? 2 ? ?4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 6 ? 0 。 解析:由于两点 A ,B 到直线 l 的距离相等,故应有点 A ,B 在直线的同侧或异侧两种 情况,而错解中只考虑了 A ,B 两点在直线的同侧,忽视了两点在直线的异侧的情况,从而 导致漏解。 答案:解: (1)当 A ,B 两点在直线的同侧时, A ,B 两点到直线 l 的距离相等, 即 AB ∥l 。 ?5 ? 3 ? ?4 , 4?2 k AB ? ∴由点斜式可得所求直线方程为 y ? 2 ? ?4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 6 ? 0 。 ?5 ? 3 ? ?4 , 4?2 ,B 两点在直线的异侧时,直线 l 经过 A,B 的中点 M (3, (2)当 A ? 1) , 所以由两点式得所求直线方程为 即 3x ? 2 y ? 7 ? 0 。 y ? 2 x ?1 , ? ?1 ? 2 3 ? 1 故所求直线方程为 4 x ? y ? 6 ? 0 或 3x ? 2 y ? 7 ? 0 。 点拨:利用直线方程解决问题时,为简化运算要灵活选用直线方程的形式。一般地,已 知一点通常选择点斜式; 已知斜率选择斜截式或点斜式; 已知截距或两点选择截距式或两点 式。若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长,则选用截距式。 待定系数法 待定系数法是求直线方程最基本最常用的方法, 但要注意选择形式。 已知一点和待定斜 率时,注意讨论当斜率 k 不存在的情形;如果已知斜率 k,一般选择斜截式,待定纵截距 b; 如果解决已知直线与坐标轴围成的三角形的问题就选择截距式, 待定横截距和纵截距。 一般 来说,待定几个系数就应列几个方程,有的直线方程可以同

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