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高三数学第二轮复习教案设计1


高三数学第二轮复习教案设计
数列
一.复习目标 1.能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式解题; 2.能熟练地求一些特殊数列的通项和前 n 项的和; 3.使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指 导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问 题与解决问题的能力. 5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识 的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力. 6.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思 想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 二.教学重难点 重点:等差、等比的定义和性质,数列通项公式和求和 难点:数列、函数、不等式的综合应用 三.基础再现 1.可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法: ①若 a n = a1 +(n-1)d= a k +(n-k)d ,则{an}为等差数列; ②若 a n = a1 q n?1 ? a k q n?k ,则{an}为等比数列。
2 (3)中项公式法:验证 2a n?1 ? a n ? a n? 2 , (a n ?1 ? a n a n? 2 ) ,n∈N* 都成立。

3. 在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:
?a ? 0 (1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ? m 的项数 m 使得 Sm 取最大值. ?a m ? 1 ? 0 ?a m ? 0 (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ? 的项数 m 使得 Sm 取最小值。 ?a m ? 1 ? 0 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 4.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法(累积、累加)、错位相减法、倒序相加法等。 四.方法整理 a a 1. 证明数列 ?an ? 是等差或等比数列常用定义, 即通过证明 a n?1 ? a n ? a n ? a n?1 或 n ?1 ? n 而 an a n ?1 得。 2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性 质,可使运算简便。 3.对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 4.注意一些特殊数列的求和方法。 5.注意 sn 与 an 之间关系的转化。如:
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n ? S1 n?1 , a n = a 1 ? ? ( a k ? a k ?1 ) k ?2 ? S n ? S n ?1 n ? 2 五.例题讲解

an = ?

考点一: 等差、等比数列的概念与性质 例 1. 已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足: a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22. (1)求通项 an ; (2)若数列 {bn } 是等差数列,且 bn ? 考点二: 求数列的通项与求和 例 2.已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项 和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

Sn ,求非零常数 c ; n?c

1 3

S n + S n?1

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1 1 , 公比 q 满足 q ? 0且q ? 1。 3

考点三: 数列与不等式的联系 例 3. (2009届高三湖南益阳) 已知等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 又已知 a1 , 5a3 , 9a5 成等差数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项 (2)令 bn ? log3 a n ,求证:对于任意 n ? N ,都有 考点四: 数列与函数的联系 例 4. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对一切正整数 n ,点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x
2
1
?

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ?1 2 b1b2 b2b3 bnbn ?1

的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n . (1)求数列 {an } 的通项公式. (2)若 bn

? 2 kn an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
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考点四: 数列与解析几何的联系 例 5. 在直角坐标平面上有一点列 P 对一切正整数 n , 点 Pn 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ?, P n ( xn , y n ) ? , 位于函数 y ? 3 x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项,? 1 为公差的等差数列 ?xn ? 。 4 2

⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶 点 为 Pn , 且 过 点 Dn (0, n 2 ? 1) , 记 与 抛 物 线 cn 相 切 于 Dn 的 直 线 的 斜 率 为 k n , 求 :

1 1 1 。 ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n
例 6. 已知抛物线 x2 ? 4 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过点 P1 作

1 1 的直线交抛物线于点 P 的直线交抛物线于点 P 2 ,再过 P 2 作斜率为 3 , ? ,如此继续, 2 4 1 一般地,过点 P n ( xn , yn ) . n 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 P n ?1 ,设点 P 2 (Ⅰ)令 bn ? x2n?1 ? x2n?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列.
斜率为 (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较

3 1 的大小. S n +1 与 4 3n ? 10

1.设在等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66, a2 ? an?1 ? 128 , S n ? 126, 求 n 及 q 2.根据下面各个数列 ?an ? 的首项和递推关系,求其通项公式 ⑴ a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n(n ? N * ) ⑵ a1 ? 1, an?1 ? ⑶ a1 ? 1, an?1

六.课题练习

n a n (n ? N * ) n ?1 1 ? a n ? 1 (n ? N * ) 2

3.已知点的序列 An ( x n ,0),n∈N*,其中 x1 =0, x 2 =a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,…,An 是线段 An? 2 An?1 的中点,…。 (I)写出 x n 与 x n?1 、 x n? 2 之间的关系式(n≥3) (II)设 an= x n?1 - x n ,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明。 4.设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对所有自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列{an}的前三项;?(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);
a 1 a (3)令 bn= ( n ?1 ? n ) (n∈N),求:b1+b2+…+bn-n. 2 an a n ?1
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七.课时小结 1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;一是根据递推关 系式求通项 2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常有 化归等比数列和可裂项的形式。 3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知 识点交融的题,这应是命题的一个方向 注意: 1.运用基本量思想(方程思想)解决有关问题; 2.注意等差、等比数列的性质的灵活运用; 3.注意等差、等比数列的前 n 项和的特征在解题中的应用; 4.注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式; 5.根据递推公式,通过寻找规律,运用归纳思想,写出数列中的某一项或通项,主要需注意从 等差、等比、周期等方面进行归纳; 八.课后作业 1. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (1)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (2)求数列 {an } 的通项公式。 2.
3


3




3


2

?an ?





an ? 0









n? N?

,



a1 ? a2 ? ? ? an ? S n , a1 ? a2 ? ? ? an ? S n ,
(1)求证:对一切 n ? N 有an?1 ? an?1 ? 2S n
2 ?

(2)求数列 ?an ? 通项公式. (3)求证:

1 2 3 n ? 2 ? 2 ??? 2 ? 3 2 a1 a2 a3 an

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