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第一章


第一章

空间几何体

一、知识点归纳 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.1 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1 棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。 2.2 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。 3.1 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. (二)空间几何体的三视图与直观图 1.投影:区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形;画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法:在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变,平行于 x 轴(或在 x 轴上)的线段保持长度不变,平行于 y 轴(或在 y 轴上)的线 段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 ②圆柱的表面积

S = 2 π rl + 2 π r 2

③圆锥的表面积 S

= π rl + π r 2
= 4π R 2

④圆台的表面积

S = π rl + π r 2 + π Rl + π R 2

⑤球的表面积 S

⑥扇形的面积公式 S扇形 = 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积

nπ R 2 1 = lr (其中 l 表示弧长, r 表示半径) 360 2
②锥体的体积 V =

V = S底 × h
1 V = ( S上 + 3

1 S ×h 3 底

③台体的体积

S上 S下 + S下 ) × h

④球体的体积 V

4 = π R3 3

二、巩固练习:

1

1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

)

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

解析:正方体三个视图都相同;圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是带圆 心的圆; 三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同; 正四棱锥的正视图和侧视图 是全等的等腰三角形,故选 D. 答案:D 2.在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( A.角的水平放置的直观图不一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.若两条线段平行,且相等,则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 解析:角在直观图中可以与原来的角不等,但仍然为角;由正方形的直观图可排除 B、 C,故选 D. 3.对于一个底边在 x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三 角形面积的( )B A.2 倍 B. )

2 倍 4

C.

2 倍 2

D.

1 倍 2

4.已知三个球的体积之比为 1:8:27,则它们的表面积之比为( B ) A.1:2:3 B.1:4:9 C.2:3:4 D.1:8:27 5.有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如图所示,则该几何体的表面积为 ( B A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π



5

5

6

6

6.若右图是一个几何体的三视图,则这个几何体是 (



2

(A) 圆锥 答案 C.

(B)棱柱

(C)圆柱

(D)棱锥

7.如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的 正方形,俯视图是一个直径为 1的圆,那么这个几何体的表面积为 A. 3π B. 2π C. π

主视图

左视图

3 2

D. 4π
俯视图

答案 C. 8.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A A.

) D. 4 3

3

B. 2 3

C. 3 3

9.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个 球的表面积是( B ) B. 50π A. 25π C. 125π

D.都不对

10.三角形 ABC 中,AB= 2 3 ,BC=4, ∠ABC = 120° ,现将三角形 ABC 绕 BC 旋转一周, 所得简单组合体的体积为( )C A. 4π B. 3( 4 + 3 )π C.12 π D. (4 + 3 )π )

11.下图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为( D

A. 15π

B. 18π

C. 22π

D. 33π

2 4 正(主)视图 侧(左)视图 12 题 4 俯视图

12.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( B

) D. 16 + 32 2

A.32

B. 16 + 16 2

C.48

13.设正方体的棱长为

2 3 ,则它的外接球的表面积为( C ) 3 B.2π C.4π D. π

A. π

8 3

4 3

14.已知一个全面积为 44 的长方体,且它的长、宽、高的比为 3: 2:1,则此长方体的外接球

的表面积为 ( A . 7π

) D B . 14π

C . 21π

D . 28π

15. Rt ?ABC 中, AB = 3, BC = 4, AC = 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成
3

的几何体的体积为____________。 15. 16π 旋转一周所成的几何体是以 BC 为半径,以 AB 为高的圆锥,

1 1 V = π r 2 h = π × 42 × 3 = 16π 3 3
16. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3, 5,15 ,则它的体积为___________. 16. 15 设 ab = 3, bc = 5, ac = 15 则 ( abc) = 225, V = abc = 15
2

17.已知圆台的上下底面半径分别是 2, 5 ,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长. 17. 解: π (2 + 5)l = π (2 + 5 ), l =
2 2

29 7 18. (如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高
为 3 的圆柱,求圆柱的表面积

18.解:圆锥的高 h =

42 ? 22 = 2 3 ,圆柱的底面半径 r = 1 ,

S表面 = 2 S 底面 + S侧面 = 2π + π × 3 = (2 + 3)π   
19.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧

视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个 几何体的表面积. 19、 11 π

20. 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD。(1) V =

1 × ( 8 × 6 ) × 4 = 64 3
4

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 = 4 2 + ? ? = 4 2 , 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形, ?2?
AB

2











?6? h2 = 4 + ? ? = 5 ?2?
2

2





1 1 S = 2( × 6 × 4 2 + × 8 × 5) = 40 + 24 2 2 2

5


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