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2011青岛市高三一模数学试题


1. 已知复数 z ?

2i ,则复数 z 的共轭复数为 i ?1
B . ?1 ? i

A .1 ? i

C .1 ? i

D . ?1 ? i

2. 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? { x | 2 ? 2 x? 0, B ? {x | y ? lg( x ? 1)} , 则 (? A) ? B 等 于 x } U

A . {x | x ? 2或x ? 0} B . {x |1 ? x ? 2} C . {x |1 ? x ? 2} D . {x |1 ? x ? 2}
3. 下列四个函数中,在区间 (0 , 1) 上是减函数的是

A . y ? log2 x

B. y?

1 x

1 C . y ? ?( ) x 2

D . y ? x3

1

4. 已知直线 l 、 m ,平面 ? 、 ? ,且 l ? ? , m ? ? ,则 ? //? 是 l ? m 的

A .充要条件

B .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件

C .必要不充分条件

2 5. 二项式 ( x ? ) 的展开式中, x 项的系数为
6

2 x

A . 15

B . ?15

C . 30

D . 60

6. 以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 圆心的抛物线方程是

A . y ? 3x2或y ? ?3x2

B . y ? 3x2 D . y ? - x2或y 2 ? 9x

C . y 2 ? ?9x或y ? 3x2

7. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为 2 和 4 ,腰长为 2 的等腰梯形,则该几何体的体积是

A.

28? 3

B.

7? 3

C . 28?

D . 7?

正视图

侧视图

?x ? y ? 0 ? 8. 若 ? x ? y ? 0 ,若 z ? x ? 2 y 的最大值为 3 ,则 a 的值是 ? y?a ?
A .1 B .2

俯视图

C .3

D .4

9. 已 知 等 差 数 列 {an } 的 前 项 和 为 Sn , 若 M 、 N 、 P 三 点 共 线 , O 为 坐 标 原 点 , 且

???? ???? ? ??? ? (直线 O N ? 1 5 O M 6a O P MP 不过点 O ),则 S20 等于 a ?
A . 15 B . 10

C . 40

D . 20

1

10. 定义运算:

a1 a3

a2 a4

? a1a4 ? a2 a3 ,将函数 f ( x) ?

3 1

? sin x 向左平移 m 个单位 (m ? 0) ,所得 cos x

图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是

A.

? 6

B.

? 3
a

C.

5? 6

D.

2? 3

11. 下列四个命题中,正确的是

A .已知函数 f (a) ? ? sin xdx ,则 f [ f ( )] ? 1 ? cos1 ; 0 2 B .设回归直线方程为 ? ? 2 ? 2.5x ,当变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 2 个单位; y

?

C .已知 ? 服从正态分布 N (0 , ? 2 ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则 P(? ? 2) ? 0.2
D .对于命题 p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0
12. 若 f ( x) ? 1 ?

1 ,当 x ?[0 , 1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 ( ?1 , 1] 内 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有 f ( x ? 1)

两个零点,则实数 m 的取值范围是

1 A . [0 , ) 2

1 B . [ , ??) 2

1 C . [0 , ) 3

1 D . (0 , ] 2

第Ⅱ卷
分.

(选择题

共 60 分)
y

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16

13. 某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地区,时 速 频率分布直方图如右图所示, 则时速超过 60km / h 的 汽 车数量为

0.039 0.028 0.018 0.010 0.005 30 40 50 60 70 80 x

开始

a = 1,b = 1

a? ?
14. 执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值

b = 2b

输出 b
2

a = a+ 1

结束

为 16 ,图中判断框内 ? 处应填的数为 15. 若不等式 | 2a - 1|? | x 成立,则实数 a 的取值范围 16. 点 P 是曲线 y = x2 - ln x 上任意一点,则点 P 到 直线 y = x - 2 的距离的最小值是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知向量 m = (sin x , - 1) , 向量 n = ( 3 cos x , -

1 | 对一切非零实数 x 恒 x

u r

r

u r u r r 1 ) ,函数 f ( x) = (m + n).m . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a , b , c 分别为 D ABC 内角 A , B , C 的对边, A 为锐角, a = 2 3 , c = 4 ,且 f ( A) 恰 是 f ( x ) 在 [0 ,

p ] 上的最大值,求 A , b 和 D ABC 的面积 S . 2

18. (本小题满分 12 分)如图,PDCE 为矩形,ABCD 为 梯 形 , 平 面 PDCE ^

D 平 面 A B C ,

P

E

? BAD

? ADC

90 , AB = AD =

1 CD = a , 2

M D A B

PD =

2a .

C

(Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证: AC // 平面 MDE ; (Ⅱ)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分)某单位实行休年假制度三年以来,50 名职工休年假的次数进行的调查统计结果如 下表所示:

3

休假次数 人数 根据上表信息解答以下问题:

0
5

1

2

3
15

10

20

(Ⅰ)从该单位任选两名职工,用 h 表示这两人休年假次数之和,记“函数 f ( x) = x2 - h x - 1 在区间 (4 ,

6) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ;
(Ⅱ)从该单位任选两名职工,用 x 表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量 x 的分布列及数学期 望 Ex . 20.(本小题满分 12 分)已知数列 {bn } 满足 bn+ 1 = (Ⅰ)求证:数列 {bn -

1 1 7 bn + ,且 b1 = , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 4 2

1 } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; 2
*

(Ⅱ)如果对任意 n ? N ,不等式

12k ? 2n 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12 + n - 2Tn

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = (Ⅰ)当 a =

2 3 x + 2ax 2 + 3 x . 3

1 时,求函数 f ( x ) 在 [- 2 , 2] 上的最大值、最小值; 4 1 (Ⅱ)令 g ( x) = ln( x + 1) + 3 - f ( x) ,若 g ( x) 在 (, + ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 2

22.(本小题满分 14 分)已知圆 C1 : ( x + 1) + y = 8 ,点 C2 (1 , 0) ,点 Q 在圆 C1 上运动, QC2 的垂直 平分线交 QC1 于点 P . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 W 的方程; ( Ⅱ ) 设 M 、N 分 别 是 曲 线 W 上 的 两 个 不 同 点 , 且 点 M 在 第 一 象 限 , 点 N 在 第 三 象 限 , 若

2

2

uuur uuu r uuur OM +2ON = 2OC1 , O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率 k ;
(Ⅲ)过点 S (0 ,-

1 ) 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在定点 D ,使以 AB 3

为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 D 的坐标,若不存在,说明理由.

4

0.

青岛市高三教学质量统一检测

2011.03

高中数学 (理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. ACBBD DBABA AD

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

13.

38

14. 3

15. [ ?

1 3 , ] 2 2

16.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
2

?? ? ??

1 …………2 分 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ?1? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2 2

5

? sin(2 x ? ) ? 2 …………5 分 6 2? ? ? …………6 分 因为 ? ? 2 ,所以 T ? 2
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知: f ( A) ? sin(2 A ?

?

?

? ? ? 5? x ? [0, ] 时, ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6
由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?

6

) ?2

?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

6

?

?
2

时 f ( x ) 取得最大值 3

…………8 分
2

2 2 2 由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos A ∴ 12 ? b ? 16 ? 2 ? 4b ?

1 ∴ b ? 2 ………10 分 2

从而 S ?

1 1 bc sin A ? ? 2 ? 4sin 60? ? 2 3 …………12 分 2 2

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN , ?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中 点 ∴ MN // AC …………2 分

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE …………4 分 (Ⅱ) 设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原点,分别以 DA, DC , DP 所 在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则 P(0,0, 2a), B(a, a,0), C(0, 2a,0)

z
P
E

??? ? ??? ? PB ? (a, a, ? 2a), BC ? (?a, a,0) …………6 分
设平面 PAD 的单位法向量为 n1 ,

??

?? 则可设 n1 ? (0,1,0) …………7 分 ?? ? 设面 PBC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) ,应有 ?? ??? ? ? ?n2 ?PB ? ( x, y,1)? a, a, ? 2a) ? 0 ( ? ? ? ? ?? ??? ( ?n2 ?BC ? ( x, y,1)? ?a, a, 0) ? 0 ?
A

M?

N
D

y

C

x

B

? 2 ?x ? ?? ?ax ? ay ? 2a ? 0 ? ? 2 ,所以 n? ? ( 2 , 2 ,1) …………10 分 即: ? ,解得: ? 2 2 2 ??ax ? ay ? 0 ? ?y ? 2 ? ? 2
6

?? ?? ? 2 n1 ? n2 1 ? ∴ cos ? ? ??? ?? ? 2 ? …………11 分 | n1 || n2 | 1? 2 2
所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值为 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 函数 f ? x ? ? x2 ?? x ?1 过 (0, ?1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只有一个零点,则必有 ?

1 …………12 分 2

? f (4) ? 0 即: ? f (6) ? 0

?16 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 ?? ? ,解得: ? 4 6 ?36 ? 6? ? 1 ? 0
所以,? ? 4 或? ? 5 …………3 分
2 1 1 1 1 C20 ? C10C15 68 C20C15 12 当 ? ? 4 时, P ? ,当? ? 5 时, P ? ? ? …………5 分 1 2 2 2 C50 245 C50 49

? ? 4 与? ? 5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式
所以 P ? P ? P2 ? 1

68 12 128 ? ? …………6 分 245 49 245

(Ⅱ) 从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值,则 ? 的可能取值分别是

0,1, 2,3 ,…………7 分
于 是

C52 ? C ?12C 0? C 2 22 P ?? ? 0 ? ? ? 2 C50 7

2 0



1 1 1 1 1 1 C5C10 ? C10C20 ? C15C20 22 P(? ? 1) ? ? 2 C50 49 1 5



P(? ? 2) ?

1 1 1 1 C5C20 ? C10C15 10 C1C1 3 …………10 分 ? , P(? ? 3) ? 5 2 15 ? 2 C50 49 C50 49

从而 ? 的分布列:

?
P

0

1

2

3

2 7

22 49

10 49

3 49
…………12 分

2 22 10 3 51 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7 49 49 49 49
20. (本小题满分 12 分)
* 解: (Ⅰ) 对任意 n ? N ,都有 bn ?1 ?

1 1 1 1 1 bn ? ,所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) 2 4 2 2 2

7

则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? 所以 bn ?

1 2

1 1 ? 3 ,公比为 …………2 分 2 2

1 1 1 1 ? 3 ? ( ) n ?1 , bn ? 3 ? ( ) n ?1 ? …………4 分 2 2 2 2

(Ⅱ) 因为 bn ? 3 ? ( )

1 2

n ?1

?

1 2

1 3(1 ? n ) 1 1 1 n 2 ? n ? 6(1 ? 1 ) ? n …………6 分 所以 Tn ? 3(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? ? 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 2n ? 7 12k * 因为不等式 对任意 n ? N 恒成立…………7 分 ? 2n ? 7 ,化简得 k ? 2n (12 ? n ? 2Tn )
设 cn ?

2n ? 7 2(n ? 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ? ? n ?1 …………8 分 ,则 cn ?1 ? cn ? n 2 2n ?1 2n 2

当 n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为单调递减数列,当 1 ? n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为单调递增数列

1 3 3 ? c4 ? c5 ? ,所以, n ? 5 时, cn 取得最大值 …………11 分 16 32 32 2n ? 7 3 * 所以, 要使 k ? 对任意 n ? N 恒成立, k ? …………12 分 n 2 32
21. (本小题满分 12 分)

1 2 3 1 2 2 时, f ( x) ? ? x ? x ? 3 x , f ?( x) ? ?2x ? x ? 3 ? ?(2 x ? 3)( x ? 1) 4 3 2 3 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? …………2 分 2 3 3 3 (?2, ?1) ( ?1, ) ( , 2) x ?1 2 2 2
解: (Ⅰ) a ?

f ?( x )
f ( x)

?
?
?

0

?
?

0

?
?

11 6

27 8

可以看出在 x ? ?1 取得极小值,在 x ? 而 f (?2) ?

3 取得极大值…………5 分 2

4 8 11 3 , f (2) ? 由此, 在 [?2, 2] 上, f ( x) 在 x ? ?1 处取得最小值 ? ,在 x ? 3 3 2 6 27 处取得最小值 …………6 分 8
2 2 (Ⅱ) g ( x) ? ln( x ? 1) ? 3 ? f ?( x) ? ln( x ? 1) ? 3 ? (?2 x ? 4ax ? 3) ? ln( x ? 1) ? 2x ? 4ax

8

g ' ( x) ?
在 (?

1 4 x 2 ? 4(1 ? a) x ? 1 ? 4a ? 4 x ? 4a ? …………7 分 x ?1 x ?1

1 , ??) 上恒有 x ? 1 ? 0 2

考察 h( x) ? 4 x2 ? 4(1 ? a) x ? 1 ? 4a 的对称轴为 x ? ? (i)当

a ?1 1 ? ? ,即 a ? 0 时,应有 ? ? 16(1 ? a)2 ?16(1 ? 4a) ? 0 2 2

4 ? 4a a ? 1 ? 8 2

解得: ?2 ? a ? 0 ,所以 a ? 0 时成立…………9 分 (ii)当

a ?1 1 1 1 ? ? ,即 a ? 0 时,应有 h( ? ) ? 0 即: 1 ? 4(1 ? a) ? ? 1 ? 4a ? 0 2 2 2 2

解得 a ? 0 …………11 分 综上:实数 a 的取值范围是 a ? 0 …………12 分 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 因为 QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 P . 所以 PQ ? PC2

PC2 ? PC1 ? PC1 ? PQ ? QC1 ? 2 2 ? C1C2 ? 2
所以动点 P 的轨迹 ? 是以点 C1 ,C2 为焦点的椭圆……………2 分

x2 y2 设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 a b
则 2a ? 2 2 ,2c ? 2 , b ? a ? c ? 1,则椭圆的标准方程为
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1……4 分 2


(Ⅱ) 设 M (a1 , b1 ), N (a2 , b2 ) ,则 a12 ? 2b12 ? 2, a22 ? 2b22 ? 2 因为 OM ? 2ON ? 2OC1

???? ?

????

???? ?


则 a1 ? 2a2 ? ?2, b1 ? 2b2 ? 0 由①②解得 a1 ?

1 14 5 14 , b1 ? , a2 ? ? , b2 ? ? ……………7 分 2 4 4 8

所以直线 MN 的斜率 k ?

b2 ? b1 3 14 ……………8 分 ? a2 ? a1 14
1 ,联立直线和椭圆的方程得: 3

(Ⅲ)直线 l 方程为 y ? kx ?

9

1 ? ? y ? kx ? 3 ? ? 2 ? x ? y2 ? 1 ?2 ?

得 9(1 ? 2k 2 ) x2 ?12kx ?16 ? 0 …………9 分

由题意知:点 S (0,? ) 在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交与两点, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则 x1 ? x2 ?

1 3

4k 16 , x1 x2 ? ? 2 3(1 ? 2k ) 9(1 ? 2k 2 )

假设在 y 轴上存在定点 D(0, m) ,满足题设,则 DA ? ( x1, y1 ? m), DB ? ( x2 , y2 ? m) 因为以 AB 为直径的圆恒过点 D , 则 DA ? DB ? ( x1, y1 ? m) ? ( x2 , y2 ? m) ? 0 ,即: x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? 0 因为 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

(*)

1 1 3 3 2 则(*)变为 x1x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? x1x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m …………11 分

1 1 1 1 ? x1x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) ? m(kx1 ? ? kx2 ? ) ? m2 3 3 3 3
1 2 1 ? (k 2 ? 1) x1x2 ? k ( ? m)( x1 ? x2 ) ? m2 ? m ? 3 3 9

16(k 2 ? 1) 1 4k 2 1 ?? ? k ( ? m) ? m2 ? m ? 2 2 9(2k ? 1) 3 3(2k ? 1) 3 9
18(m2 ? 1)k 2 ? (9m2 ? 6m ? 15) ? 9(2k 2 ? 1)
由假设得对于任意的 k ? R , DA ? DB ? 0 恒成立,

??? ??? ? ?

?m 2 ? 1 ? 0 ? 即? 2 解得 m ? 1 ……13 分 ?9m ? 6m ? 15 ? 0 ?
因此,在 y 轴上存在满足条件的定点 D ,点 D 的坐标为 (0,1) .………………14 分

10


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