当前位置:首页 >> 高二数学 >> 不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立、能成立、恰成立问题


不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恰好成立问题的处理方法 若不等式
f ( x ) ? A (或 f ( x ) ? B

) 在区间 D 上恰成立,则等价于不等式 的解集为 ? x
? ? ?1 ? x ? 1? ? 3?

f ( x ) ? A (或 f ( x ) ? B



的解集为 D 如:不等式 a x 2

? bx ? 1 ? 0

则 a ? b ? ____

二、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值:函数 f(x)最值易求
(1)若不等式 f ( x ) ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x ) m in ? A 或 f(x)下界 M ? A (2)若不等式 f ( x ) ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x ) m ax ? B 或 f(x)上界 M ? A

2、分离参数法: 参数易分离且函数 f(x)最值易求
将参数与变量分离, 转化为 g ( ? ) ? f ( x ) (或 g ( ? ) ? f ( x ) )恒成立 ? g ( ? ) ? f ( x ) m ax (或 g ( ? ) ? f ( x ) m in ) 或 g ( ? ) ? f ( x ) 上界 M(或 g ( ? ) ? f ( x ) 下界 M)

3、数形结合:函数图象易画
f ( x ) ? g ( x ) 对 一 切 x ? I 恒 成 立 ? f ( x )的 图 象 在 g ( x )的 图 象 的 上 方 或 f ( x ) m in ? g ( x ) m ax ( x ? I )

例 1、设 x ? [ ? 1,1], 若不等式 1 ? x ? x ? a 恒成立,求 a 的取值范围.
2

4、主参换位法:将题中已知范围的参数 m 视为主变元 注意:1:对于函数
f ( x ) ? 0 恒成立
f ( x ) ? kx ? b , x ? [ m , n ] 有:

? f (m ) ? 0 ? ? , f ( x ) ? 0 恒成立 ? f (n) ? 0
2

? f (m ) ? 0 ? ? ? f (n) ? 0

2:设 (2) 3:设

f ( x ) ? ax

? bx ? c ( a ? 0 ) , (1) f ( x ) ? 0 在 x ? R

上恒成立 ?

a ? 0且 ? ? 0



f ( x ) ? 0在 x ? R
f ( x ) ? ax
? 0
2

上恒成立 ?

a ? 0且 ? ? 0



? bx ? c ( a ? 0 )

(1) 当 a

时,

f ( x ) ? 0 在 x ? [? , ? ] 上恒成立.

法 1:分离参数后用极值原理



b b b ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? 或? 或 ? 2a 2? ? 2a 2a ? f (? ) ? 0 ? ? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ?

? f (? ) ? 0 f ( x ) ? 0 在 x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ,用分离参数法则较复杂。 ? f (? ) ? 0

(2)当 a

? 0 时,同理

注意:a=0 的讨论

例 2、已知 f ( x ) ?

x ? 2x ? a
2

x

(1)对任意 x ? ?1, ? ? ? , f ( x ) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围; (2) 对任意 a ? ? ? 1,1 ? , f ( x ) ? 4 恒成立,试求实数 x 的取值范围; (3)已知当 x ? ?1, ? ? ? , f ( x ) 的值域是 ? 0, ? ? ? ,试求实数 a 的值.

三、不等式能成立(有解)问题的处理方法
若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 g ( ? ) ? f ( x ) 成立,则等价于在区间 D 上 g ( ? ) ? f ( x ) m ax ; 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 g ( ? ) ? f ( x ) 成立,则等价于在区间 D 上的 g ( ? ) ? f ( x ) m in . 例 3、存在实数 x,使得不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? a ? 3 a 有解,求实数 a 的取值范围.
2

例 4、已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2

a x ? 2 x ( a ? 0 )存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围.
2

四、两个函数的能成立与恒成立的处理方法:
设两个函数 f ( x ) 、 g ( x ) 1. 对 ? x1 ? ? a , b ? , ? x 2 ? ? c , d ? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,则 f ( x ) m in ? g ( x ) m in 2. 对 ? x1 ? ? a , b ? , ? x 2 ? ? c , d ? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,则 f ( x ) m ax ? g ( x ) m ax 3. ? x1 ? ? a , b ? , ? x 2 ? ? c , d ? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,则 f ( x ) m ax ? g ( x ) m in 4. ? x1 ? ? a , b ? , ? x 2 ? ? c , d ? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,则 f ( x ) m in ? g ( x ) m ax 5.对 ? x1 ? ? a , b ? , ? x 2 ? ? c , d ? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 恒成立,则 f ( x ) m in ? g ( x ) m ax 6. 对 ? x1 ? ? a , b ? , ? x 2 ? ? c , d ? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 恒成立,则 f ( x ) m ax ? g ( x ) m in
?1? 例 6、已知函数 f ? x ? ? x , g ? x ? ? ? ? ? m ,对任意 x1 ? ? 0 , 2 ? ,存在 x 2 ? ?1, 2 ? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ?2?
2
x

成立,求实数 m 的取值范围. m ?

1 4

例 7、已知两函数 f ? x ? ? 8 x ? 1 6 x ? k , g ? x ? ? 2 x ? 5 x ? 4 x ,其中 k 为实数。
2 3 2

(1)对任意 x ? [-3,3],都有 f(x)≤g(x)成立,求 k 的取值范围; (2)存在 x ? [-3,3],使 f(x)≤g(x)成立,求 k 的取值范围; (3)对 ? x1 , x 2 ? ? ? 3, 3 ? ,都有 f ( x 1 ) ? g ? x 2 ? ,求 k 的取值范围。 (4) ? x1 , x 2 ? ? ? 3, 3 ? ,使得 f ( x 1 ) ? g ? x 2 ? 成立,求 k 的取值范围; (5) 对任意 x1 ? ? ? 3, 3 ? , ? x 2 ? ? ? 3, 3 ? ,使得 g ( x 2 ) ? f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围; (6) ? x1 , x 2 ? ? ? 3, 3 ? ,使得 f ( x 1 ) ? g ? x 2 ? ? 2 0 0 成立,求 k 的取值范围; (7) ? x1 , x 2 ? ? ? 3, 3 ? ,都有 f ( x 1 ) ? g ? x 2 ? ? 2 0 0 成立,求 k 的取值范围.

1、已知函数 f ? x ? ? x ? 2 a x ? 1 , g ? x ? ?
2

a x

,其中 a ? 0, x ? 0

(1)对任意 x ? ?1, 2 ? ,都有 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) 对任意 x1 ? ?1, 2 ? , x 2 ? ? 2 , 4 ? ,都有 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2、设 x ? 3 是函数 f ( x ) ? ( x ? a x ? b ) e
2

3? x

( x ? R ) 的一个极值点.

(Ⅰ)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 a ? 0 , g ( x ) ? ( a ?
2

25 4

) e ,若存在 ? 1 , ? 2 ? [0, 4 ] 使得 f ( ? 1 ) ? g ( ? 2 ) ? 1 成立,求 a 的取值范围.
x

3、已知函数 f(x )=

mx x ?n
2

(m ,n ? R ) 在 x=1 处取到极值 2.

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)设函数 g ? x ? = a x- ln x .若对任意的 x 1 ? [
g ? x2 ?= f
1 2 2 ] ,总存在唯一的 x 2 ? [ ... 1 e
2

,e ] (e 为自然对数的底),使得

? x1 ? ,求实数 a 的取值范围.
1? a x

4(2010 山东理数)已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ? (Ⅰ)当 a ?
1 2

? 1 (a ? R ) .

时,讨论 f ( x ) 的单调性;
2

(Ⅱ)设 g ( x ) ? x ? 2 b x ? 4 . 当 a ?
f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,求实数 b 取值范围.

1 4

时,若对任意 x1 ? (0, 2 ) ,存在 x 2 ? ?1, 2 ? ,使

姓名

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1、已知不等式
kx ? kx ? 6
2

x ? x?2
2

? 2

对任意的 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围是 恒成立,则实数 a 的范围是

2、①对一切实数 x,不等式 ②若不等式 ③若方程
x?3 ? x?2 ? a

x?3 ? x?2 ? a

有解,则实数 a 的范围是

x?3 ? x?2 ? a
?k ?2?0

有解,则实数 a 的范围是

3、不等式 kx 2

有解,则 k 的取值范围是
f ( x) ? x ? ( p ? 2) x ? 1 ? p
2

4、 对于满足|p| ? 2 的所有实数 p, 函数 围是 5、(1)若不等式 x 2 (2)设 f ? x ? ?
2

的值总是正数的 x 的取值范

? 2mx ? 2m ? 1 ? 0

对0 ?

x ?1

的所有实数 x 都成立,则 m 的取值范围.

x ? 2 ax ? 2

,当 x ? [-1,+ ? ]时,都有 f(x) ? a 恒成立,则 a 的取值范围
x ? ax
2

6、若对任意 x ? R ,不等式 7、若 x,y 满足方程 x 2 8、若不等式 ( ? 1)
n

恒成立,则实数 a 的取值范围是________ c 的范围是________

? ( y ? 1) ? 1 ,不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,则实数
( ? 1) n
n ?1

a ? 2?

对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a 的取值范围.

9、已知二次函数

f ( x ) ? a x ? x ( a ? R , a ? 0 ), 若 x ? [ 0 ,1] 时,总有 f ( x ) ? 1 ,试求
2

10、已知向量 a 的取值范围.

?

? ? ? 2 ? ( x , x ? 1), b ? (1 ? x , t ), 若函数 f ? x ? ? a ? b

在区间 ? ? 1,1 ? 上是增函数,求实数 t

11、已知函数

f (x) ?

1 3

ax ? bx ? x ? 3
3 2

,其中 a

? 0

(1)当 a , b 满足什么条件时, (2)已知 a
? 0

f ( x)

取得极值?

,且

f ( x)

在区间 ? 0 ,1 ? 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

12、设函数

f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b( x ? R )
4 3 2

,其中 a , b ?

R

.若对于任意的 a ? ? ? 2, 2 ? ,不等式

f ( x ) ? 1 在 ? ? 1,1 ? 上恒成立,求

b 的取值范围.

13、已知函数 (2)设 a

f (x) ?

4x

2

?7

2? x
3

, x ? [ 0 ,1 ].

(1)求

f (x)

的单调区间和值域; ,总存在 x 0
? ?0 ,1 ? 使得

? 1 ,函数 g ? x ? ? x ? 3 a x ? 2 a , x ? ?0 ,1 ? ,若对于任意 x 1 ? ?0 ,1?
2

g ( x 0 ) ? f ( x1 )

成立,求 a 的取值范围.


赞助商链接
更多相关文档:

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立能成立恰成立问题 - 思学教育 1 祝你成功成才 不等式恒成立能成立恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (...

高考数学:不等式恒成立、能成立、恰成立问题

高考数学:不等式恒成立能成立恰成立问题高考数学:不等式恒成立能成立恰成立问题隐藏>> 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 不等式恒成立能成立、...

恒成立问题---不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及...

恒成立问题---不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用一、...

高考数学:不等式恒成立、能成立、恰成立问题

高考数学:不等式恒成立能成立恰成立问题 - 不等式恒成立能成立恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: f ? x ?min ? A...

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立能成立不等式恒成立能成立恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式 (2)若不等式 f ( x ) ...

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用

不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用_初一数学_数学_初中教育_教育专区。不等式恒成立能成立不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用问题引入: ...

高中数学不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

高中数学不等式的恒成立、能成立恰成立问题 - 专题:不等式的“恒成立” 、 “能成立” 、 “恰成立”问题 不等式恒成立问题 若不等式 f ( x) ? A 在...

高考数学:不等式恒成立、能成立、恰成立问题

高考数学:不等式恒成立能成立恰成立问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上教考资源网 助您教考无忧 不等式恒成立能成立恰成立问题一、不等式恒成立...

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习[1]

不等式恒成立能成立恰成立问题专项练习[1] - 不等式恒成立能成立恰成立问题专项练习 3? 1、已知不等式 x ? 2x ? a ? 0对任意实数x ??2, 恒...

含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题-【学生】

含参数的不等式恒成立恰成立能成立问题-【学生】_计算机硬件及网络_IT/计算机_专业资料。含参数的不等式恒成立恰成立能成立问题纵观近几年高考对于不...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com