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新人教选修4-5不等式选讲基础训练试题)


高三数学不等式讲选基础训练 A 组选修 4-5
[基础训练 A 组] 一、选择题 1 下列各式中,最小值等于 2 的是(
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1 tan ?
y

A

x
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?

y x

B

x
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2

?5
2

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tan ? ?

D

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2 ?2
x

?x

y

x ? 4
x

2

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若 x , y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 2 7 ? 1 的最小值是( A
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33 9

B

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1? 2 2
x? y 1? x ? y

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6

D
x 1? x

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7

3

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设 x ? 0, y ? 0, A ? A
A? B

, B ? C

?

y 1? y

,则 A , B 的大小关系是(



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A? B

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A? B

D

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A? B

4

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? 若 x , y , a ? R ,且 x ?

y ? a

x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(
1
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A

2
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2

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1

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2

2

5

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函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( A
2

) D
6

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2

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不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A C
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[ ? 2,1) ? [4, 7 ) ( ? 2, ? 1] ? [4, 7 )

B

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( ? 2,1] ? (4, 7 ] ( ? 2,1] ? [4, 7 )

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D

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二、填空题 1
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若 a ? b ? 0 ,则 a ?

1 b(a ? b)

的最小值是_____________
a b b a b? m a ? m a?n b?n

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2 3 4 5

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若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则
2 2

,

,

,

按由小到大的顺序排列为
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已知 x , y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最大值等于_____________ 设A ?
1 2
10

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?1 2 ? 2 2 ?1 12 函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 ( x ? 0 ) 的最小值为_____________ x 2
10 10 11

?

1

?

1

??? ?

1

,则 A 与 1 的大小关系是_____________
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三、解答题 1
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已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?
2 2 2

1 3

2

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解不等式 x ? 7 ? 3 x ? 4 ?

3? 2 2 ? 0

3

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求证: a ? b ? a b ? a ? b ? 1
2 2

4

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证明: 2 ( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

? ... ?

1 n

? 2 n

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参考答案
[基础训练 A 组] 一、选择题 1 2 3
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D D B

? 2 ? 0, 2
x

?x

? 0,? 2 ? 2
x

?x

?2 2 2
x

?x

?2

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3 ?3
x

3y

?1 ? 2 3 ?3
x

3y

?1 ? 2 3
x ?

x ?3 y

?1 ? 7
? x? y 1? x ? y ? A ,即 A ? B

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B ?

x 1? x
2

?

y 1? y

?

y 1? y ? x

1? x ? y

4

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B

?

x ? y 2

2

?

x? y 2
2 2

,即

x ? y
2

2

?

2 2

(x ? y) ,

?

x? y ?

(

x ?

y ) ,而

x ?

y ? a

x? y ,

即 x? y ? 5 A

1 a

(

x ?

y ) 恒成立,得

1 a

?

2 2

,即 a ?

2

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y ? x?4 ? x?6 ? x?4?6?x ? 2
? 2x ? 5 ? 9 ??9 ? 2 x ? 5 ? 9 ??2 ? x ? 7 ? ? ? ? ? ,得 ( ? 2,1] ? [4, 7 ) ? ? 2 x ? 5 ? 3, 或 2 x ? 5 ? ? 3 ? x ? 4, 或 x ? 1 ? 2x ? 5 ? 3 ?

6

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D

二、填空题 1
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3

(a ? b) ? b ?

1 b(a ? b)

? 3 3 (a ? b) ? b ?

1 b(a ? b)

?3

2

b
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?

b?m a?m

?

a

?1, b?n b a a?m b b?n a a?n a?n a ? 1 ,得 ? ? 1 ,即 1 ? ? 且 ? a a?n b b?n b?n b

a?n

?

a

由糖水浓度不等式知

b

?

b?m

3

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2

x? y 2

?
1 2
10

x ? y
2

2

,x? y ?
1 2
10

2

x ? y
2

2

?

2
1 1 1 ? 10 ? 10 ? ? ? ? 10 ? 1 2 2 2 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ??
10 2
10

2
? 2 1
10

4

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A ?1

A?

?1

?

?2

??? ? 2

1
11

?1

?

1



5

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9

f (x) ? 3x ?

12 x
2

?

3x 2

?

3x 2

?

12 x
2

? 33

3 x 3 x 12 ? ? 2 ?9 2 2 x

三、解答题
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证明:? a ? b ? c ? ( a ? b ? c ) ? (2 ab ? 2 bc ? 2 ac )
2 2 2 2

? ( a ? b ? c ) ? 2( a ? b ? c )
2 2 2 2

? 3( a ? b ? c ) ? ( a ? b ? c ) ? 1
2 2 2 2

?a ?b ?c ?
2 2 2

1 3

另法一:? a ? b ? c ?
2 2 2

1 3

? a ?b ?c ?
2 2 2

(a ? b ? c) 3

2

? ?
1 3

1 3 1 3

(2 a ? 2b ? 2c ? 2 ab ? 2bc ? 2 ac )
2 2 2

[( a ? b ) ? ( b ? c ) ? ( a ? c ) ] ? 0
2 2 2

?a ?b ?c ?
2 2 2

另法二:? (1 ? 1 ? 1 )( a ? b ? c ) ? ( a ? b ? c ) ? 1
2 2 2 2 2 2 2

即 3( a ? b ? c ) ? 1 ,? a ? b ? c ?
2 2 2
2 2 2

1 3

2

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解:原不等式化为 x ? 7 ? 3 x ? 4 ? 当x ?
4 3

2 ?1 ? 0
2 ?1 ? 0

时,原不等式为 x ? 7 ? (3 x ? 4 ) ?
2 2 4 3 2 2

得x ? 5? 当 ?7 ? x ?
1 2

,即

? x ? 5?


2 ?1 ? 0

4 3

时,原不等式为 x ? 7 ? (3 x ? 4 ) ?
2 4

得x ? ?

?

,即 ?

1 2

?

2 4

? x?

4 3



当 x ? ? 7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3 x ? 4 ) ?
2 2
1 2 2 4 2 2

2 ?1 ? 0

得x ? 6?

,与 x ? ? 7 矛盾;

所以解为 ?

?

? x ? 5?

3

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证明:? ( a ? b ) ? ( ab ? a ? b ? 1)
2 2

共5页

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? a ? b ? ab ? a ? b ? 1
2 2

? ? ?

1 2 1 2 1 2

(2 a ? 2b ? 2 ab ? 2 a ? 2b ? 2)
2 2

[( a ? 2 a b ? b ) ? ( a ? 2 a ? 1) ? ( b ? 2 b ? 1)]
2 2 2 2

[( a ? b ) ? ( a ? 1) ? ( b ? 1) ] ? 0
2 2 2

? a ? b ? ab ? a ? b ? 1
2 2

4

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证明:?

1 k ?1 ? k

?

1 2 k

?

1 k ?1 ? k

? 2( k ? 1 ?

k)?

1 k 1 2

? 2( k ?

k ? 1)

? 2 ( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

?

1 3

? ... ?

1 n

? 2 n

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