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2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):双曲线


第六节 双曲线 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方 程,知道它的简单几何性质. 2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线 的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界 或解决实际问题中的作用. 3.理解数形结合的思想. 1.双曲线的定义、几何性质和标准方程是高考常考 内容,三种题型均有可能,高考对双曲线的要求比 椭圆要低,难度为中低档,如 2012 年大纲全国 T8,新课标全国 T8 等. 2.直线与双曲线也是高考的重点考查内容之一,多 以解答题形式考查,题目难度较大. [归纳· 知识整合] 1.双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内;(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;(3)这一定值一定要小于两定点 的距离. [探究] 1.与两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗? 提示:只有当 2a<|F1F2|且 2a≠0 时,轨迹才是双曲线;若 2a=|F1F2|,则轨迹是以 F1,F2 为端 点的两条射线;若 2a>|F1F2|,则轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 图形 标准方程 范围 对称性 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 x≥a 或 x≤-a,y∈R 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标: A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y≤-a 或 y≥a,x∈R 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标: A1(0,-a),A2(0,a) a y =± x b c e= ,e∈(1,+∞) a c2=a2+b2 顶点 渐近线 性质 离心率 a,b,c 的关系 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a; 实虚轴 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长. [探究] 2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系? 提示:离心率越大,双曲线的“开口”越大. 3.等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为 x2-y2=λ(λ≠0),离心率 e= 2,渐 近线方程为 y=± x. [自测· 牛刀小试] 1.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 C.4 ) B .2 2 D.4 2 解析:选 C 由题意知,a=2,故长轴长为 2a=4. 2.双曲线方程: A.k>5 C.-2<k<2 解析:选 D x2 y2 + =1,那么 k 的范围是( |k|-2 5-k B.2<k<5 D.-2<k<2 或 k>5 由题意知,(|k|-2)(5-k)<0,解得-2<k<2 或 k>5. 2 ) x y2 3.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,则一条渐近线的方程为( a b A.y= 3x+1 B .y =3 x ) C.y=-3x+1 解析:选 D 程为 y=± 3x. D.y= 3x c2-a2 x=± e2-1x,故渐近线方 a2 b 由题意知双曲线的渐近线方程为 y=± x=± a x2 y2 4.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别是双 a 9 曲线的左,右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=( A.1 或 5 C.7 ) B .6 D.9 b 3 解析:选 C 由渐近线方程 3x-

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