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高考反函数问题常见类型解析


高考反函数问题常见类型解析
上海市卢湾高级中学 高级教师 赵杨柳

反函数是高中数学中的重要概念之一,也是学生学习的难点之一。在历年 高考中占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容,本文重点分析关 于反函数的几种题型及其解法。 一. 反函数存在条件 例 1.函数 f ( x ) ? x 2 ? 2ax ? 3 在区间 1, 2 上存在反函数的充要条件是( A. a ? ???,1 B. a ? 2 , ? ? ? C.

?

?

?

? a ? ???,1? ??2 , ? ??



D. a ? 1, 2

?

?

? ? 2] 上存在反函数, 所以 ?1, 2? ? ???,a ? 或者 ?1, 2? ? ?a, ? ?? , 即 a ? 1或 a ? 2 。
定义域的子区间 ???,a 或 a, ? ?? 上是单调函数。 而已知函数 f ( x ) 在区间 [1, 故选(C) 点评:函数 y ? f ( x ) 在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一 区间上是一一映射。特别地:如果二次函数 y ? f ( x ) 在定义域内的单调函数,那 么函数 f(x)必存在反函数;如果函数 f(x)不是定义域内的单调函数,但在 其定义域的某个子区间上是单调函数,那么函数 f(x)在这个子区间上必存在 反函数。 二. 求反函数的方法 例 2.函数 y ? 3 x 2 ? 1( x ? 0) 的反函数是( A. y ? ( x ? 1) 3 ( x ? ?1) C.
y ? ( x ? 1) 3 ( x ? 0)

解析:因为二次函数 f ( x ) ? x 2 ? 2ax ? 3 不是定义域内的单调函数,但在其



B. y ? ? ( x ? 1) 3 ( x ? ?1) D. y ? ? ( x ? 1) 3 ( x ? 0)

解析:由 x ? 0 可得 3 x 2 ? 0 ,故 y ? ?1 ,从 y ? 3 x 2 ? 1 解得 x ? ? ( y ? 1) 3 因 x ? 0 ,所以 x ? ? ( y ? 1) 3 即其反函数是 y ? ? ( x ? 1) 3 ( x ? ?1) 故选(B) 。 点评:反函数的定义域即为原函数的值域,所以求反函数时应先求出原函 数的值域,不应该直接求反函数的定义域。求反函数的步骤: ( 1)反解(解出 用 y 表示 x 的式子) , (2)互换(字母 x 与 y 互换) , (3)写出定义域(即原函数 的值域) 。 三. 定义域值域互换 例 3.若 f ?1 ( x ) 为函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的反函数,则 f-1(x)的值域为______。 解析:通法是先求出 f(x)的反函数 f ?1 ( x ) ? 10x ? 1 ,可求得 f-1(x)的值

域为 ( ?1, ? ?) ,而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质, 立即得 f-1(x)的值域为 ( ?1, ? ?) 。 点评:这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值 域和定义域这一性质求解。 四. 自变量函数值互逆
2x ? 5 , 已知 y=g(x)的图象与 y ? f ?1 ( x ? 1) 的图象关于直线 y=x 对 x ?3 称,则 g (4) ? = 。

例 4. 设 f ( x) ?

解析 :我们知道, 反函数有一个非常重要的性质,即若点(a,b)在原函 数上,则(b,a)一定在反函数上,反之也成立。于是可设(4,a)为 y=g(x) 图 象上的任一点,则(a,4)为 y ? f ?1 ( x ? 1) 图象上的一点, (a+1,4)为 y ? f ?1 ( x) 图象上的一点,从而(4,a+1)为 y=f(x) 图象上的一点,代入 y=f(x)的解析式, 2? 4 ? 5 有 a ?1 ? ? a ? 12 。 4?3 点评:在反函数求值时经常要用到这条性质:当函数 f(x)存在反函数时, 若 a ? f (b) ,则 b ? f ?1 ( a ) 。得来全不费工夫,反函数的一个简单而又重要的性 质发挥了威力,这是逆向思维在解题中的重要体现。 五.性质的相关性 例 5. 函数 y ?
e x ? e? x 的反函数是( 2

C )

A. 奇函数,在( 0, ? ? )上是减函数; B. 偶函数,在( 0, ? ? )上是减函数 C. 奇函数,在( 0, ? ? )上是增函数; D. 偶函数,在( 0, ? ? )上是增函数 解析:因为 e x 在( 0, ? ? )上是增函数, e? x 在( 0, ? ? )上是减函数, e x ? e? x e x ? e? x 所以 y ? 在( 0, ? ? )上是增函数易知 y ? 为奇函数 2 2 利用函数 y ? f ( x ) 与 f-1(x)具有相同的单调性,奇函数的反函数也为奇函 数这两条性质,立即选(C) 。 点评:原函数 y ? f ( x ) 与其反函数 f-1(x)具有相同的单调性,奇函数的 反函数也为奇函数,偶函数的反函数不存在(除 f ( x) ? 0, x ? 0 外) 六..图象的对称性 例 6.已知函数 y ? log2 x 的反函数是 y ? f ?1 ( x ) , 则 y ? f ?1 (1 ? x ) 的图象是 ( )

解析:由题意知 f

?1

? 1? ( x) ? 2 x , 则 f ?1 (1 ? x ) ? 21? x ? 2 ? ( x ?1) ? ? ? ? 2?
x

x ?1

所以

? 1? 。 y ? f ?1 (1 ? x ) 的图象可由 y ? ? ? 的图象向右平移 1 个单位而得到。故选(C) ? 2?

点评:解反函数的图象问题,通常方法有:平移法,对称法等。对称法是 指根据原、反函数的图象关于直线 y ? x 对称来求解;特殊地,若一个函数的反 函数是它本身,则它的图象自身关于直线 y=x 对称,这种函数称为自反函数。 试一试: 1、如果函数 f ( x) ?| lg | 2 x ? 1 || 在定义域的某个子区间 (k ? 1, k ? 1) 上不存在反函 数,则 k 的取值范围是 ( ) 1 3 1 3 C.[ ?1,2) A.[ ? ,2) B.(1, ] D.( ?1,? ] ? [ ,2) 2 2 2 2 2、函数 f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 4) 的反函数为 ( ) 1 1 (A) f ?1 ( x) ? x 2 ? 4( x ? 0) (B) f ?1 ( x) ? x 2 ? 4( x ? 2) 2 2 1 1 (C) f ?1 ( x) ? x 2 ? 2( x ? 0) (D) f ?1 ( x) ? x 2 ? 2( x ? 2) 2 2 x 3、函数 f ( x) ? 3 ( x ? 2) 的反函数的定义域是 4、若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数,其图像经过点 ( a , a ) , 则 f ( x) ? ( ) A. log 2 x B. log 1 x
2

C.

1 2x

D. x 2

5、设 f-1(x)是函数 f ( x) ? 的取值范围是( )

a x ? a ?x - (a ? 1) 的反函数,则 f 1(x)>1 成立时 x 2

? ? a2 ? 1 ? ? a2 ? 1 ? a 2 ?1? ? ? ? , , ? ?? B. ? ,a? D. (a, ? ?) A. ? C. ? ? ? 2a ? ? 2a ? ? 2a ? ?

6、 (2002 上海春 5)设 a>0,a≠1,函数 y=logax 的反函数和 y=loga 的图象关于( ) A.x 轴对称 B.y 轴对称 答案: 1、D 2、D 3、 (0,9] C.y=x 对称 4、B 5、A D.原点对称 6、 B

1 的反函数 x


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