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直线与平面平行及垂直的判断及性质习题及答案


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直线、平面平行的判定及其性质
(时间:45 分钟 满分:100 分)

一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α,m?β,则 α∥β; ②若 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 ( ) ( )

2.设 m,n 为两条直线,α,β 为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是 A.若 m?α,n?α,且 m∥β,n∥β,则 α∥β B.若 m∥α,m∥n,则 n∥α C.若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m,n 为两条异面直线,且 m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则 α∥β

3.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β B.若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β C.若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β 4.平面 α∥平面 β,点 A,C∈α,B,D∈β,则直线 AC∥直线 BD 的充要条件是( A.AB∥CD C.AB 与 CD 相交 B.AD∥CB D.A,B,C,D 四点共面 )

5.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一个 充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β 二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6.过长方体 ABCD—A1B1C1D1 的任意两条棱的中点作直线,其中能够与平面 ACC1A1 平行的 直线有 条. B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2 ( )

7.已知平面 α∥平面 β,P 是 α、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α、β 分别交于 A、C,过点 P 的直线 n 与 α、β 分别交于 B、D 且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为 .

8.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点, a P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 3 P,M,N 的平面交上底面于 PQ, Q 在 CD 上,则 PQ= .

9.如图所示,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中, E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点, N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动, 则 M 满足条件 三、解答题(共 41 分) 10.(13 分)如图所示,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥CF, 求证:AE∥平面 DCF. 时,有 MN∥平面 B1BDD1.

11.(14 分)如图所示,已知 P、Q 是单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的 中心. 求证:PQ∥平面 BCC1B1.

12.(14 分)如图,在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AB =2CD,E,E1,F 分别是棱 AD,AA1,AB 的中点. 求证:直线 EE1∥平面 FCC1. 答案 1.C 6. 12 2.D 3.D 24 7. 24 或 5 4.D 5.B 2 2 8. a 3

9. M∈线段 HF

10. 证明 方法一 由于 AB∥CD,BE∥CF,故平面 ABE∥平面 DCF.

而直线 AE 在平面 ABE 内,根据线面平行的定义,知 AE∥平面 DCF. 方法二 如图所示,过点 E 作直线 EG∥BC 交 CF 于点 G, 连接 DG,由于 BE∥CF,故四边形 BEGC 为平行四边形, 从而 EG 綊 BC.又四边形 ABCD 为矩形,故 AD 綊 BC. 所以 AD 綊 EG.所以四边形 AEGD 为平行四边形, 所以 AE∥DG. 由线面平行的判定定理,得 AE∥平面 DCF. 11. 证明 方法一 如图①取 B1B 中点 E,BC 中点 F,连接 PE、QF、EF, ∵△A1B1B 中,P、E 分别是 A1B、B1B 的中点, 1 ∴PE 綊 A1B1. 2 1 同理 QF 綊 AB. 2 又 A1B1 綊 AB,∴PE 綊 QF. ∴四边形 PEFQ 是平行四边形. ∴PQ∥EF. 又 PQ?平面 BCC1B1,EF?平面 BCC1B1, ∴PQ∥平面 BCC1B1. 方法二 如图②,连接 AB1,B1C, ∵△AB1C 中,P、Q 分别是 AB1、AC 的中点,∴PQ∥B1C. 又 PQ?平面 BCC1B1, B1C?平面 BCC1B1, ∴PQ∥平面 BCC1B1.

12. 证明 在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,FF1,则四边形 FCC1F1 是平行四边形. 因为 AB=2CD,且 AB∥CD, 所以 CD 綊 A1F1,A1F1CD 为平行四边形, 所以 CF1∥A1D, 又因为 E、E1 分别是棱 AD、AA1 的中点,

所 EE1∥A1D,所以 CF1∥EE1, 又为 EE1?平面 FCC1,CF1?平面 FCC1, 所以直线 EE1∥平面 FCC1.

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直线、平面垂直的判定及其性质
(时间:45 分钟 满分:100 分)

一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题中不正确的是( ) A.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n B.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β D.若 m⊥α,m?β,则 α⊥β 2.若 l 为一条直线,α、β、γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β;②α⊥γ,β∥γ?α⊥β; ③l∥α,l⊥β?α⊥β. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ( ) )

其中正确的命题有

3.已知 m, n 为两条不同直线, α, β 为两个不同平面, 那么使 m∥α 成立的一个充分条件是( A.m∥β,α∥β B.m⊥β,α⊥β C.m⊥n,n⊥α,m?α D.m 上有不同的两个点到 α 的距离相等 4.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,给出下列命题:

①若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β;②若 m⊥α,n⊥β,且 m⊥n,则 α⊥β;③若 m⊥β,m∥α, 则 α⊥β;④若 m∥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β. 其中真命题的序号是 A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ ( )

5.设 α、β 是两个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出下列四个命题,其中正确的是 ( A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,a∥b,则 α∥β C.若 a⊥α,b⊥β,a⊥b,则 α⊥β D.若 a、b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b )

二、填空题(每小题 6 分,共 24 分)

6.已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥γ; ②若 a、b 相交,且都在 α、β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,l?α,则 l⊥α. 其中正确命题的序号是 .

7.设 α、β、γ 为彼此不重合的三个平面,l 为直线,给出下列命题: ①若 α∥β,α⊥γ,则 β⊥γ; ②若 α⊥γ,β⊥γ,且 α∩β=l,则 l⊥γ; ③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则直线 l 与平面 α 垂直; ④若 α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等,则平面 α 平行于平面 β. 上面命题中,真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).

8.如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、 F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB; ③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 9.a、b 表示直线,α、β、γ 表示平面. ①若 α∩β=a,b?α,a⊥b,则 α⊥β; ②若 a?α,a 垂直于 β 内任意一条直线,则 α⊥β; ③若 α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直于平面 α,则 a 不可能垂直于平面 α 内无数条直线; ⑤若 a⊥α,b⊥β,a∥b,则 α∥β. 上述五个命题中,正确命题的序号是________. 三、解答题(共 41 分) 10.(13 分)若 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC,求证: BC⊥AC. 11.(14 分)(2010· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90° . (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

12.(14 分)(2010· 南京二模)如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,

AA1⊥BC,∠A1AC=60° ,A1A=AC=BC=1,A1B= 2. (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 中点,求证:BC1∥平面 A1CD. 答案 1.A 6. ②③ 2.C 3.C 4.B 5.C 9. ②⑤.

7. ①②

8. ①②③

10. 证明∵平面 PAC⊥平面 PBC, 作 AD⊥PC 垂足为 D, 根据平面与平面垂直的性质定理知: AD⊥平面 PBC,又 BC?平面 PBC, 则 BC⊥AD,又 PA⊥平面 ABC, 则 BC⊥PA,∴BC⊥平面 PAC. ∴BC⊥AC. 11. (1)证明 ∵PD⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, ∴PD⊥BC. ∵∠BCD=90° ,∴BC⊥CD. 又 PD∩CD=D,∴BC⊥平面 PCD. 而 PC?平面 PCD,∴PC⊥BC. (2)解 如图,过点 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于 E,过点 E

作 PC 的垂线, 垂足为 F, 则有 AE∥平面 PBC, ∴点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离. ∵BC⊥平面 PCD, ∴EF⊥BC. 又 EF⊥PC,BC∩PC=C,∴EF⊥平面 PBC. EF 即为 E 到平面 PBC 的距离. 又∵AE∥BC,AB∥CD. ∴四边形 ABCE 为平行四边形. ∴CE=AB=2. PD=CD=1,PD⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PD⊥CD,∠PCD=45° . ∴EF= 2,即点 A 到平面 PBC 的距离为 2. 12. 证明 (1)因为∠A1AC=60° ,A1A=AC=1,

所以△A1AC 为等边三角形.所以 A1C=1. 因为 BC=1,A1B= 2,所以 A1C2+BC2=A1B2.

所以∠A1CB=90° ,即 A1C⊥BC. 因为 BC⊥A1A,BC⊥A1C,AA1∩A1C=A1, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 BC?平面 A1BC,所以平面 A1BC⊥平面 ACC1A1. (2)连接 AC1 交 A1C 于点 O,连接 OD. 因为 ACC1A1 为平行四边形, 所以 O 为 AC1 的中点. 因为 D 为 AB 的中点, 所以 OD∥BC1. 因为 OD?平面 A1CD, BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD.


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