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江西省南昌市2017届高三第三次模拟考数学(文)试题


江西省南昌市 2017 届高三第三次模拟考试题

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写作答.若在试题卷上作答,答题无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回. 参考公式: 圆锥侧面积公式: S ? ? rl ,其中 r 为底面圆的半径, l 为母线长.

第Ⅰ卷(选择题部分,共 60 分)
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知 z ? (m2 ?1) ? mi 在复平面内对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围是( A. (?1,1) A. (?2, 5] B. (?1, 0) B. [?2, 5] C. (0,1) D. (??,1) ) D. [2, 5] ) 2.已知集合 A ? {x ? R | 0 ? x ? 5} , B ? {x ? R | log2 (2 ? x) ? 2} ,则 (CR B) ? A ? ( )

5] C. (2,

3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不 超过 3%),现抽样取米一把,取得 235 粒米中夹秕 n 粒,若这批米合格,则 n 不超过( A. 6 粒
3 3

B. 7 粒

C. 8 粒

D. 9 粒

1 +2 +3 =( 4.已知 1 +2 =( ) ,
则 n ?( A. 8 ) B. 9

6 2

2

3

3

3

12 2 3 3 3 3 20 2 ), 1 +2 +3 +4 =( ) , ? ,若 13 +23 +33 +43 +? +n3 =3025 , 2 2
C. 10

D. 11 ? ? ? 5. 已知 a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos(?? ),sin(?? )) , 那么 a ? b ? 0 是 ? ? k? ? ( k ? Z ) 的 ( 4 A.充分不必要条件 C.充要条件 6.函数 f ( x ) ?
y



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
y
y

sin x 的图象的大致形状是( 2e x
y

O

π 2

x

O

π 4

x

A

B

π 4

O

x

C

π 2

O

x

D

— 高三文科数学(模拟三)第 1 页(共 4 页) —

7.已知直线 l : y ? kx ? k 与抛物线 C : y 2 ? 4 x 及其准线分别交于 M , N 两点, F 为抛物线的焦 点,若 2 FM ? MN ,则实数 k 等于( A. ?

???? ?

???? ?

) C. ? 3 D. ? 2

8.已知函数 f ? x ? ? a cos x ? bx ? 2(a ? R, b ? R) , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? 2016?
2

3 3

B. ? 1

? f (?2016) ? f ? ? 2017? ? f ?(?2017) ? (



A. 4034 B. 4032 C. 4 D. 0 9.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无 限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面 两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图,则输出 n 的值为( )
开始

n=6

1 360° S= nsin n 2

s≥3.10




输出n

结束

n=2n
A. 12 B. 24

, sin 7.5? ? 0.1305 ) (参考数据: 3 ? 1.732 , sin 15? ? 0.2588
C. 36 D. 48

10.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 双曲线的离心率乘积的最小值为( A. )
2 2

?
4

,则椭圆和

1 2

C. 1 A. 16 C. 48 12.方程 sin 2? x ? A.

2 2 D. 2
B. )
4

11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( B. 24 D. 72

6

? 3

2 ? 0( x ?[ ?2,3]) 所有根之和为( 2x ?1
B. 1 C. ?

) D. 4

第Ⅱ卷(非选择题部分,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两个部分 . 第13题~第21题为必考题,每个考生都必须作答 . 第22 题~第23题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 函数 f ( x) ? ?x ? x(x ?1) 的定义域为

? ? ? ? ? 14. 已知向量 a ? (m, n), b ? (1, ?2) ,若 |a |? 2 5, a ? ?b(? ? 0) ,则 m ? n ?
— 高三文科数学(模拟三)第 2 页(共 4 页) —

.

.

?x ? 2 ? 15. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 6 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 0 ?



? x 2 ? x,x ? [ ? 1,0) ? 16. 定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x +3)=2f (x) , 当 x ? [? . 1 ,2 ) 时, f (x)= ? 1 |x ?1| ??( ) ,x ?[0,2) ? 2 2 若存在 x ? [ ? 4, ? 1) ,使得不等式 t ? 3t ? 4 f (x) 成立,则实数 t 的取值范围是 .
三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?

a a1 a2 a3 ? 2 ? 3 ?? ? n ? n2 ? n . n 2 2 2 2

(?1)n an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 2

18.(本小题满分 12 分) 某超市计划销售某种产品,先试销该产品 n 天,对这 n 天日销售量进行 统计,得到频率分布直方图如图. (Ⅰ)若已知销售量低于 50 的天数为 23,求 n ; (Ⅱ)厂家对该超市销售这种产品的日返利方案 为:每天固定返利 45 元,另外每销售一件产品, 返利 3 元;频率估计为概率.依此方案,估计 日返利额的平均值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,平面 PAB ? 平 面 ABCD , PB ? PC , ?ABC ? 45 . (Ⅰ)求证: AB ? PC ; (Ⅱ)若三角形 PAB 是边长为 2 的等边三角形, 求三棱锥 P ? ABC 外接球的表面积.
?

P

A

D

B

C

— 高三文科数学(模拟三)第 3 页(共 4 页) —

20.(本小题满分 12 分) 如图,已知直线 l : y ? kx ? 1(k ? 0) 关于直线 y ? x ? 1 对称的直线为 l1 , 直线 l , l1 与椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 分别交于点 A 、 M 和 A 、 N ,记直线 l1 的斜率为 k1 . 4
y A

(Ⅰ)求 k ? k1 的值; (Ⅱ)当 k 变化时,试问直线 MN 是否恒过定点? 若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.
M N

O

x

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ?

(Ⅰ)求函数 y ? 2 f ( x) ? 5g ( x) 的单调区间;

1 , g ( x) ? ln x . x

(Ⅱ)记过函数 y ? f ( x) ? mg ( x) 两个极值点 A, B 的直线的斜率为 h( m) ,问函数

y ? h(m) ? 2m ?2 是否存在零点,请说明理由.

请考生在第(22) 、 (23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线

? x ? 1 ? cos ? C 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? sin ? (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程;
(Ⅱ) 若曲线 C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换 ?

? x? ? 2 x 得到曲线 C ? , 设 M (x,y ) 为曲线 ? y ? y ?

C ? 上任一点,求

x2 ? 3 xy ? y 2 的最小值,并求相应点 M 的直角坐标. 4

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 3| ? | x ? 1| . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ)若存在 x ? [ ?

3 ,1] 使不等式 a ? 1 ? f ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. 2

— 高三文科数学(模拟三)第 4 页(共 4 页) —

NCS20170607 项目第三次模拟测试卷

文科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B C B A C D B B B C 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. {x | x ? ?1或x ? 0} ; 14. ?6 ; 15. 2 ; 16. (??,1] ? [2, ??)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.【解析】 (Ⅰ)

a a1 a2 a3 ? 2 ? 3 ?? ? n ? n 2 ? n ??①, n 2 2 2 2 a ?1 a1 a2 a3 ? 2 ? 3 ?? ? n ? (n ? 1) 2 ? n ? 1② 2 2 2 2n ?1
????5 分

∴当 n ? 2 时,

① ? ②得

an ? 2n(n ? 2) ,∴ an ? n2n?1 (n ? 2) . n 2 a1 ? 1 ? 1 , ∴ a1 ? 4 ,∴ an ? n2n?1 . 2

又∵当 n ? 1 时,

????6 分

(Ⅱ) bn ?

(?1)n an ? n(?2)n , Sn ? 1? (?2)1 ? 2 ? (?2)2 ? 3? (?2)3 ? ?? n ? (?2)n ??③ 2
n

2 4 (? 2S) ? ( ? 2? ) ? 23 ? ( ? ? 2) ? ? 3? n ( ? 2? ) ? n ? ?1

n (?

n?

1 ??④ )1 ( 2 ) + ( 2 )

∴ 3Sn ? (?2)+(?2) ? (?2) ? (?2) ? ? ? (?2) ? n(?2)
2 3 4 n

n ?1

?

?2[1 ? (?2)n ] ? n(?2) n ?1 3
????12 分

∴ Sn ? ?

18.【解析】 (Ⅰ)日销售量低于 50 的频率为 0.016 ?10 ? 0.03 ?10 ? 0.46 , ∴

(3n ? 1)(?2) n ?1 ? 2 . 9

23 ? 0.46 ,∴ n ? 50 . n

????6 分

(Ⅱ)依此方案,日返利额的平均值为

150 ? 0.16 ? 180 ? 0.3 ? 210 ? 0.4 ? 240 ? 0.1 ? 270 ? 0.04 ? 196.8 (元) . ????12 分
19.【解析】 (Ⅰ)作 PO ? AB 于 O ??①,连接 OC , ∵平面 PAB ? 平面 ABCD ,且 面PAB ? 面ABCD ? AB , ∴ PO ? 面 ABCD .
E

P

A C

D

— 高三文科数学(模拟三)第 5 页(共 4 页) —

o

B

∵ PB ? PC ,∴ ?POB ? ?POC ,∴ OB ? OC ,
? 又∵ ?ABC ? 45 ,∴ OC ? AB ??②

又 PO ? CO ? O ,由①②,得 AB ? 面 POC , 又 PC ? 面 POC ,∴ AB ? PC . ????6 分 (Ⅱ)∵三角形 PAB 是边长为 2 的等边三角形,∴ PO ? 3, OA ? OB ? OC ? 1. ∵ PO ? 面 ABCD , PO ? OA ? OB ? OC ,线段 PO 上取点 E ,∴ EA ? EB ? EC ,

E 是外接球的球心,设三棱锥 P ? ABC 外接球的半径为 R ,

EO ? 3 ? R, EC ? R , EC 2 ? EO2 ? OC 2 , R2 ? 12 ? ( 3 ? R)2 , R ?
∴ S ? 4? R ?
2

16? . 3

2 3 , 3
????12 分

20.【解析】 (Ⅰ)设直线 l 上任意一点 P( x, y) 关于直线 y ? x ? 1 对称点为 P 0 ( x0 , y0 ) 直线 l 与直线 l1 的交点为 (0,1) , ∴ l : y ? kx ? 1, l1 : y ? k1 x ? 1
y A

y ? y0 x ? x0 y ?1 y ?1 ? ?1 ,由 k? , k1 ? 0 2 2 x x0 得 y ? y0 ? x ? x0 ? 2 ……..① y ? y0 由 ? ?1 得 y ? y0 ? x0 ? x …….② x ? x0
由①②得 ?

M N

O

x

? y ? x0 ? 1 ? y0 ? x ? 1 yy ? ( y ? y0 ) ? 1 ( x ? 1)( x0 ? 1) ? ( x ? x0 ? 2) ? 1 kk1 ? 0 ? ? 1. xx0 xx0 ? y ? kx1 ? 1 ? 2 (Ⅱ)设点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 ? x12 得 (4k 2 ? 1) x1 ? 8kx1 ? 0 , 2 ? y ? 1 1 ? ?4
?8k 1 ? 4k 2 y ? ,∴ . M 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 ?8k1 ?8k 1 ? 4k12 k 2 ? 4 同理: xN ? , yN ? ? ? 4k12 ? 1 4 ? k 2 4k12 ? 1 4 ? k 2
∴ xM ?

????6 分

????8 分

1 ? 4k 2 k 2 ? 4 ? yM ? y N 4k 2 ? 1 4 ? k 2 8 ? 8k 4 k 2 ?1 kMN ? ? ? ? ? ?8k ?8k xM ? xN 8k (3k 2 ? 3) 3k ? 2 2 4k ? 1 4 ? k 1 ? 4k 2 k 2 ?1 ?8k ?? (x ? 2 ) MN : y ? yM ? kMN ( x ? xM ) ,∴ y ? 2 4k ? 1 3k 4k ? 1
— 高三文科数学(模拟三)第 6 页(共 4 页) —

????9 分

即: y ? ?

k 2 ?1 8(k 2 ? 1) 1 ? 4k 2 k 2 ?1 5 x? ? ? ? x? 2 2 3k 3(4k ? 1) 4k ? 1 3k 3
5 3

????11 分

∴当 k 变化时,直线 MN 过定点 (0, ? ) .

????12 分

— 高三文科数学(模拟三)第 7 页(共 4 页) —

21.【解析】 (Ⅰ) y ? 2 f ( x) ? 5 g ( x) ? 2 x ?

2 ? 5ln x , x
??3 分

2 5 2 x 2 ? 5 x ? 2 (2 x ? 1)( x ? 2) ? ∴ y' ? 2? 2 ? ? x x x2 x2
1 2 1 2

∴函数 y ? 2 f ( x) ? 5g ( x) 在 (0, ) 上递增,在 [ , 2] 上递减,在 (2, ??) 上递增.??5 分

(Ⅱ) y ? f ( x) ? mg ( x) ? x ?

1 x 2 ? mx ? 1 ? m ln x( x ? 0) , y ' ? , x x2
????6 分

设 p( x) ? x2 ? mx ? 1 ,设两个极值点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ∵函数有两个大于零极值点, ∴ ?=m ? 4 ? 0 ,得 m ? 2 且 x1 ? x2 ? m, x1 x2 ? 1
2

AB 斜率 k ? h(m) ?

y2 ? y1 x2 ? x1

x2 ? ?

1 1 ? m ln x2 ? x1 ? ? m ln x1 x2 x1 ln x1 ? ln x2 ? 2?m x2 ? x1 x1 ? x2

????8 分

y ? h(m) ? 2m ? 2 ? 2 ? m

ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 ? 2m ? 2 ? 2m ? m x1 ? x2 x1 ? x2

由题意函数存在零点即

ln x1 ? ln x2 ? 2 有解,两根均为正且 x1 x2 ? 1 , ????9 分 x1 ? x2
1 2 1 ? ln x2 ? ? 2 x2 整理得 x2 ? ? ln x2 ? 0 x2 x2 x2

若 x1 ? x2 ,则 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1,消元得 ln

1 1 1 x2 ? x ? 1 ? 0, 令 q ( x) ? x ? ? ln x ,则 q?( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x x2
∴ q( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增, ∴ q( x) ? q(1) ? 0 , ∴函数 y ? h(m) ? 2m ? 2 没有零点. ????12 分

— 高三文科数学(模拟三)第 8 页(共 4 页) —

— 高三文科数学(模拟三)第 9 页(共 4 页) —

22.【解析】 (I)由 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数)得曲线 C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 y ? sin ? ?
????4 分

得曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? . (Ⅱ) ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,向左平移一个单位再经过伸缩变换 ?
2

? x? ? 2 x 得到曲线 C ? 的直角坐标方 ? y? ? y

程为

x x2 2 2 2 ? y 2 ? 1,设 M (2cos ? ,sin ? ) ,则 ? 3 xy ? y ? cos ? ? 2 3 sin a cos ? ? sin a 4 4

? cos2a ? 3sin 2? ? 2cos(2? ? ) 3
当 ? ? k? ?

?

????7 分

?
3

时,

x2 ? 3 xy ? y 2 的最小值为 ?2 , 4

此时点 M 的坐标为 (1,

3 3 ) 或 (?1, ? ) . 2 2

????10 分

3 ? ? ?3 x ? 2 x ? ? 2 ? 3 ? ? f ( x ) ? 23.【解析】 (Ⅰ) f ( x) ?| 2 x ? 3 | ? | x ? 1| . ?x ? 4 ? ? x ? 1 , 2 ? x ?1 ?3 x ? 2 ? ?

3 ? ? 3 ?x ? ? ?? ? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? ?2或0 ? x ? 1或x ? 1 . 或? 2 或? ∴ f ( x) ? 4 ? ? 2 3 x ? 2 ? 4 ? ? ??3x ? 2 ? 4 ? ?x ? 4 ? 4
综上,不等式 f ( x) ? 4 的解集为 (??, ?2) U (0, ??) . (Ⅱ)存在 x ? [ ? ????5 分

3 ,1] 使不等式 a ? 1 ? f ( x) 成立 ? a ? 1 ? ( f ( x))min 2 3 5 ,1] 时, f ( x) ? x ? 4 , f ( x) ? x ? 4 时, ( f ( x)) min ? 2 2
????10 分

由(Ⅰ)得, x ? [ ?

∴ a ?1 ?

5 3 3 ( , +? ) , ∴ a ? ,∴实数 a 的取值范围为 . 2 2 2
— 高三文科数学(模拟三)第 10 页(共 4 页) —


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