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高一数学必修一必修二知识点


必修 1 知识点
第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ; 有理数集合: Q ; 3、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集 合 B 中的元素,则称集合 A 是集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: ? . 并规定:空集合是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集.
n

1、一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根。其中 n ? 1, n ? N ? . 2、当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时, n a n ? a . 3、⑴ a
n m

? m an

?a ? 0, m, n ? N

*

, m ? 1 ; ⑵ a ?n ?

?

1 ?n ? 0? ; an

整数集合: Z ; 实数集合: R .

4、运算性质: ⑴ a r a s ? a r ?s ?a ? 0, r, s ? Q? ;
r

⑵ ?a r ? ? a rs ?a ? 0, r , s ? Q ? ;
s

⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? . §2.1.2、指数函数及其性质 1、 记住图象: y ? a x ?a ? 0, a ? 1?

§2.2.1、对数与对数运算 1. a x ? N ? loga N ? x 2. a loga N ? a 3. loga 1 ? 0 , loga a ? 1

4、如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B . 3、全集、补集: CU A ? {x | x ?U , 且x ?U } §1.2.1、函数的概念 1、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域. 2、如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个 函数相等. §1.2.2、函数的表示法 求解析式的方法: 1.换元法 2.配凑法 3.待定系数法 §1.3.1、单调性与最大(小)值 注意函数单调性证明的一般格式:解:设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 ,则: 4.方程组法 §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象: y ? x a 解析法、图象法、列表法. (3) loga M n ? n loga M 5.换底公式: 4.当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: (1) loga ?MN ? ? loga M ? loga N ;
?M ? (2) loga ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?

loga b ?
loga b ?

logc b ?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? logc a
1 logb a

?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? .

§2..2.2、对数函数及其性质 1、记住图象:

y ? loga x?a ? 0, a ? 1?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? =?
五个步骤:取值,作差,化简,定号,小结 §1.3.2、奇偶性 1 、 一 般 地 , 如 果 对 于 函 数 f ?x ? 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有

f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为偶函数.偶函数图象关于 y 轴
对称. 2 、 一 般 地 , 如 果 对 于 函 数 f ?x ? 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有

f ?? x ? ? ? f ?x ? , 那么就称函数 f ?x ? 为奇函数.奇函数图象关于原点
对称. 第二章、基本初等函数 §2.1.1、指数与指数幂的运算
-1-

2、幂函数单调性:
a ? 0 时,在区间 (0,??) 上为增函数; a ? 0 时,在区间 (0,??) 上为减函数;

3、比较多个值的大小时,常借助于-1,1,0 作为中间值.

第三章、函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根

共面直线? 3.线线位置关系: ? ? ?相交 ? ?异面直线  

?

?平行

不同在任何一个平面内的两直线称为异面直线。

? 函数 y ? f ?x ?的图象与 x 轴有交点

? 函数 y ? f ?x ?有零点.

线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 面面位置关系:平行、相交。 4.四个公理: ①如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内。 ②过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。 ③如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过 该点的公共直线。 ④平行于同一直线的两条直线平行。 5.等角定理: 空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补。 6.直线与平面平行: 判定 面平行。 性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平 平面外一条直线与此平面内的一直线平行,则该直线与此平

2、 性质:如果函数 y ? f ?x ?在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断的一条 曲线,并且有 f ?a? ? f ?b? ? 0 ,那么,函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ? 内有 零点,即存在 c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解 §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函数拟合,最后检 验.

面的交线与该直线平行。 7.平面与平面平行: 判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个

平面平行。

必修 2 知识点
第一部分 立体几何

性质

①如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个

平面平行。 ②如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行。 8.直线与平面垂直: 判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直, 则这条直线与这

1.三视图与直观图:⑴画三视图要求:正视图与俯视图长对正;正视图 与侧视图高平齐;侧视图与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置 几何体的直观图的要领。 棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 (侧棱相 等,侧面是平行四边形) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这 些面所围成的多面体叫做棱锥。 棱台: 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分, 这样的多面体叫做棱台。(侧棱延长线交于一点) 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积: S=S 侧+2S 底 ;②侧面积:圆柱 S 侧= 2?rh ; ③体积: V=S 底 h ⑵锥体:①表面积: S=S 侧+S 底 ;②侧面积:圆锥 S 侧= ?rl ;
1 ③体积: V= S 底 h : 3

个平面垂直。 性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。 ②两平行直线中的一条与一个平面垂直, 则另一条也与这个平 面垂直。 9.平面与平面垂直: 判定 性质 面垂直。 10.三角形四“心” (1) O 为 ?ABC 的外心(各边垂直平分线的交点). (2) O 为 ?ABC 的重心(各边中线的交点). (3) O 为 ?ABC 的垂心(各边高的交点). (4) O 为 ?ABC 的内心(各内角平分线的交点). 11.位置关系的证明(主要方法): ⑴直线与直线平行:①公理 4;②线面平行的性质定理; ③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论; 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平

⑶台体:①表面积: S=S 侧+ S 上底 ? S 下底 ②侧面积:圆台 S 侧= ? (r ? r ' )l
1 ③体积: V= (S+ SS ' ? S ' )h ; 3 4 ⑷球体:①表面积: S= 4?R ;②体积: V= ?R 3 3
2

.

②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;
-2-

②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直:①定义:两平面所成二面角为直角;②面面垂 直的判定定理。 12.角:(步骤--Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ⑴异面直线所成角的求法: 平移法:平移直线,构造三角形; ⑵直线与平面所成的角: 直接法(利用线面角定义) (3)平面与平面所成二面角: 在半平面分别作垂直于棱的射线 13.距离:(步骤--Ⅰ.找或作垂线段;Ⅱ.求距离)点到平面的距 离:等体积法 14.一些结论 (1)长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a,b,c,则长方体对 角线长为 a 2 ? b 2 ? c 2 ,全面积为 2ab ? 2ac ? 2bc ,体积 V ? abc 。

① l1 // l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0,A1C2 ? A2C1 ? 0 ; ② l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

(3)与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程可设为
Ax ? By ? m ? 0(m ? C )

与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线方程可设为
Bx ? Ay ? m ? 0

4.距离公式: (1)点 A1 ( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) 之间的距离: AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (2)点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ?
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(3)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离 d ? (两直线 A,B 相同)

C1 ? C2 A2 ? B 2

(2)正方体的棱长为 a,则正方体对角线长为 3a ,全面积为 6a , 体积 V= a 3 。 (3)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长. 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (4)正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的: ?高: h ?
6 2 6 a ;②对棱间距离: a ;③内切球半径: a; 3 2 12

2

5.圆的方程: ⑴标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心是 ( a, b) ,半径是 r ⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0)

注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆 ? A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2 -4AF>0 6.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法。 7.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系:( d 表示点到圆心的距离) ① d ? r ? 点在圆上; ③ d ? r ? 点在圆外。 ② d ? r ? 点在圆内;

6 ④外接球半径: a。 4

⑵直线与圆的位置关系:( d 表示圆心到直线的距离) 第二部分 直线与圆 ① d ? r ? 相切; ③ d ? r ? 相离。 ⑶圆与圆的位置关系:( d 表示圆心距, r1 , r2 表示两圆半径) ① d ? r1 ? r2 ? 外离; ② d ? r1 ? r2 ? 外切; ③ r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交; ④ d ? r1 ? r2 ? 内切; ⑤ 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含。 8.空间中两点间距离公式: P1 P2 ? ② d ? r ? 相交;

y ? y 2 y 2 ? y1 1.斜率公式: k ? 1 ,其中 P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) . x1 ? x2 x2 ? x1
斜率与倾斜角的关系:(1)斜率存在: k ? tan ? ; (2)斜率不存在, ? ? 90 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (直线 l 过点 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式: y ? kx ? b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式:
y ? y1 x ? x1 (P ? 1 ( x1 , y1 ) 、P 2 ( x2 , y2 ) x1 ? x2 , y1 ? y2 ). y2 ? y1 x2 ? x1
0

x y (4)截距式: ? ? 1 (其中 a 、b 分别为直线在 x 轴、 y 轴上的截距, a b

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

且 a ? 0, b ? 0 ). (5)一般式: Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 3.两条直线的位置关系: (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,斜率存在的情况,则: ① l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2 ,且 b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? . k1k 2 ? ?1 (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,则:
-3-

9. 过两条相交直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 交点的直 线方程看,可设为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (不含直线 l 2 ) 10.弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2 两圆公共弦直线方程:两圆方程相减,注意两圆二次项系数相同


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