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高中数学函数必修一习题含答案

第2卷

(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定点( A.(1,2) C.(-2,1) )

B.(2,1) D.(-1,1) )

y 2.若 2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>0,y>0)则x的值为( A.4 B.1 或 1 4 C.1 或 4 D. 1 4 )

3.下列函数中与函数 y=x 相等的函数是( A.y=( x)2 C.y=2log2x ? 2 ? 4.函数 y=lg?1+x-1?的图象关于( ? ? A.原点对称 C.x 轴对称 5.下列关系中正确的是( 1 A.log76<ln 2<log3π 1 C.ln 2<log76<log3π )

B.y= x2 D.y=log22x ) B.y 轴对称 D.直线 y=x 对称

1 B.log3π<ln 2<log76 1 D.ln 2<log3π<log76 )

?log3x,x>0, ? ? 1 ?? 6.已知函数 f(x)=? x 则 f?f?27??的值为( ? ? ?? ?2 ,x≤0. 1 A.8 1 B.4 C.2 D.4

b 7.函数 y=ax2+bx 与 y=logax(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象 可能是( )

8.若函数 y=(m2+2m-2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数,则 m 的值为 ( ) A.1 B.-3 C.-1 D.3 9.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a, a),则 f(x)=( ) D.x2

1 A.log2x B.log1 x C.2x
2

1 10.函数 f(x)=log2(x2-3x+2)的递减区间为( 3? ? A.?-∞,2? ? ? ?3 ? C.?2,+∞? ? ? B.(1,2)

)

D.(2,+∞) )

11.函数 f(x)=lg(kx2+4kx+3)的定义域为 R,则 k 的取值范围是( 3? ? A.?0,4? ? ? 3? ? C.?0,4? ? ? 3? ? B.?0,4? ? ? ?3 ? D.(-∞,0]∪?4,+∞? ? ?

12.设 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga|ax2-x|在[3,4]上是增函数,则 a 的取值 范围是( ) ?1 1? B.?8,4?∪(1,+∞) ? ? 1? ? D.?0,4?∪(1,+∞) ? ? 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)

?1 1? A.?6,4?∪(1,+∞) ? ? ?1 1? C.?8,6?∪(1,+∞) ? ?

二、填空题(本大题共 4 个小题,请把正确答案填在题中横线上)


13.计算 27

1 3

+lg 0.01-ln

e+3log32=________.

14.函数 f(x)=lg(x-1)+ 5-x的定义域为________. 15.已知函数 f(x)=log3(x2+ax+a+5),f(x)在区间(-∞,1)上是递减函数, 则实数 a 的取值范围为________. 16.已知下列四个命题:①函数 f(x)=2x 满足:对任意 x1,x2∈R 且 x1≠x2

2 ?x1+x2? 1 ?< [f(x )+f(x2)];②函数 f(x)=log2(x+ 1+x2),g(x)=1+ x 都有 f? 不都 2 -1 ? 2 ? 2 1 是奇函数;③若函数 f(x)满足 f(x-1)=-f(x+1),且 f(1)=2,则 f(7)=-2;④设 x1,x2 是关于 x 的方程|logax|=k(a>0 且 a≠1)的两根,则 x1x2=1.其中正确命题的 序号是________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 1 1 (1)计算 lg25+lg 2×lg 500-2lg 25-log29×log32; (2)已知 lg 2=a,lg 3=b,试用 a,b 表示 log125. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lg(3x-3). (1)求函数 f(x)的定义域和值域; (2)设函数 h(x)=f(x)-lg(3x+3), 若不等式 h(x)>t 无解, 求实数 t 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)
-2m2+m+3

已知函数 f(x)=x

(m∈Z)为偶函数,且 f(3)<f(5).

(1)求 m 的值,并确定 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=loga[f(x)-2x](a>0 且 a≠1),求 g(x)在(2,3]上的值域. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lg kx-1 (k∈R). x-1

(1)若 y=f(x)是奇函数,求 k 的值,并求该函数的定义域; (2)若函数 y=f(x)在[10,+∞)上是增函数,求 k 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=log3 1-x (m≠1)是奇函数. 1-mx

(1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)设 g(x)= 1-x ,用函数单调性的定义证明:函数 y=g(x)在区间(-1,1) 1-mx

上单调递减; (3)解不等式 f(t+3)<0. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求实数 k 的值; (2)设 g(x)=log4(a· 2x+a),若 f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数 a 的取 值范围.

详解答案 1.D 解析:由对数函数恒过定点(1,0)知,函数 y=loga(x+2)+1 的图象过 定点(-1,1). 2.B 解析:由对数的性质及运算知,2lg(x-2y)=lg x+lg y 化简为 lg(x- y 1 2y)2=lg xy,即(x-2y)2=xy,解得 x=y 或 x=4y.所以x的值为 1 或4.故选 B. 3.D 解析:函数 y=x 的定义域为 R.A 中,y=( x)2 定义域为[0,+∞); B 中,y= x2=|x|;C 中,y=2log2x=x,定义域为(0,+∞);D 中,y=log22x=x, 定义域为 R.所以与函数 y=x 相等的函数为 y=log22x. ? 2 ? 4.A 解析:函数 y=lg?1+x-1?的定义域为(-1,1). ? ? 1-x ? 2 ? 又设 f(x)=y=lg?1+x-1?=lg , 1+x ? ? ?1+x? ?1-x? ?=-lg? ?=-f(x), 所以 f(-x)=lg? ?1-x? ?1+x? 所以函数为奇函数,故关于原点对称. 5.C 1 解析:由对数函数图象和性质,得 0<log76<1,ln 2<0,log3π>1.所以

1 ln 2<log76<log3π.故选 C. 1 1 1 ?1? 6.A 解析:∵27>0∴f?27?=log327=-3,∵-3<0,f(-3)=2-3=8.故选 ? ? A.

b 7.D 解析:A 中,由 y=ax2+bx 的图象知,a>0,a<0,由 y=logb x 知,
a

b a>0,所以 A 错; b b B 中,由 y=ax2+bx 的图象知,a<0,a<0,由 y=logb x 知,a>0,所以 B
a

错; b b b C 中,由 y=ax2+bx 的图象知,a<0,-a<-1,∴a>1,由 y=logb x 知 0<a
a

<1,所以 C 错.故选 D. 8.A 解析:因为函数 y=(m2+2m-2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数,
2 ?m +2m-2=1, 所以? 解得 m=1.故选 A. ?m>0,

9. B 解析: 因为函数 y=f(x)图象经过点( a, a), 所以函数 y=ax(a>0 且 a≠1) 1 1 过点(a, a),所以 a=aa 即 a=2,故 f(x)=log2x. 10.D 解析:令 t=x2-3x+2,则当 t=x2-3x+2>0 时,解得 x∈(-∞, 1)∪(2,+∞).且 t=x2-3x+2 在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞) 上单调递增; 又 y=log1 t 在其定义域上为单调递减的,所以由复合函数的单调性知,f(x)
2

=log1
2

(x2-3x+2)单调递减区间是(2,+∞).

11.B 解析:因为函数 f(x)=lg(kx2+4kx+3)的定义域为 R,所以 kx2+4kx ?k>0, +3>0, x∈R 恒成立. ①当 k=0 时, 3>0 恒成立, 所以 k=0 适合题意. ②? ?Δ<0, 3 3 即 0<k<4.由①②得 0≤k<4.故选 B. 解题技巧:本题实际上考查了恒成立问题,解决本题的关键是让真数 kx2+ 4kx+3>0,x∈R 恒成立. 12.A 解析:令 u(x)=|ax2-x|,则 y=logau,所以 u(x)的图象如图所示.

1 ? ?1 ? ? 当 a>1 时, 由复合函数的单调性可知,区间[3,4]落在?0,2a?或?a,+∞?上, ? ? ? ? 1 1 所以 4≤2a或a<3,故有 a>1; 1 1 ? 1 1? 当 0<a<1 时,由复合函数的单调性可知,[3,4]??2a,a?,所以2a≤3 且a>4, ? ? 1 1 ?1 1? 解得6≤a<4.综上所述,a 的取值范围是?6,4?∪(1,+∞). ? ? 1 13.-6 14 . (1,5] 1 1 1 解析:原式=3-2-2+2=-6. 解 析 : 要使 函 数 f(x) = lg(x - 1) + 5-x 有 意 义 ,只 需 满 足

?x-1>0, ? 即可. 解得 1<x≤5, 所以函数 f(x)=lg(x-1)+ 5-x的定义域为(1,5]. ?5-x≥0 15.[-3,-2] a? ? 解析:令 g(x)=x2+ax+a+5,g(x)在 x∈?-∞,-2?是减 ? ?

? a ? 函数,x∈?-2,+∞?是增函数.而 f(x)=log3t,t∈(0,+∞)是增函数.由复合 ? ? a ? ?- ≥1, 函数的单调性,得? 2 ? ?g?1?≥0, 解得-3≤a≤-2.

解题技巧:本题主要考查了复合函数的单调性,解决本题的关键是在保证真 数 g(x)>0 的条件下,求出 g(x)的单调增区间. 16.①③④ 解析:①∵指数函数的图象为凹函数,∴①正确;

②函数 f(x)=log2(x+ 1+x2)定义域为 R,且 f(x)+f(-x)=log2(x+ 1+x2) +log2(-x+ 1+x2)=log21=0,∴f(x)=-f(-x),∴f(x)为奇函数. g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且 g(x)=1+ 2-x+1 1+2x = =-g(x),∴g(x)是奇函数.②错误; 2-x-1 1-2x 2x+1 2 = x ,g(-x)= 2 -1 2 -1
x

③∵f(x-1)=-f(x+1),∴f(7)=f(6+1)=-f(6-1)=-f(5),f(5)=f(4+1) =-f(4-1)=-f(3),f(3)=-f(1), ∴f(7)=-f(1),③正确; ④|logax|=k(a>0 且 a≠1)的两根,则 logax1=-logax2,∴logax1+logax2=0, ∴x1· x2=1.∴④正确. 17.解:(1)原式=lg25+lg 5· lg 2+2lg 2+lg 5-log39 =lg 5(lg 5+lg 2)+2lg 2+lg 5-2 =2(lg 5+lg 2)-2 =0. 10 lg 2 lg 10-lg 2 1-lg 2 lg 5 (2)log125=lg 12= = = , lg 3×4 lg 3+lg 4 lg 3+2lg 2 lg 2=a,lg 3=b,log125= 1-lg 2 1-a = . lg 3+2lg 2 b+2a

18.解:(1)由 3x-3>0 解得 x>1,所以函数 f(x)的定义域为(1,+∞). 因为(3x-3)∈(0,+∞),所以函数 f(x)的值域为 R.
x ?3 -3? ? (2)因为 h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg? x ?3 +3?

6 ? ? =lg?1-3x+3?的定义域为(1,+∞),且在(1,+∞)上是增函数,所以函数 ? ? 的值域为(-∞,0). 所以若不等式 h(x)>t 无解,则 t 的取值范围为[0,+∞). 19.解:(1)因为 f(3)<f(5),所以由幂函数的性质得,-2m2+m+3>0,解得 3 -1<m<2. 因为 m∈Z,所以 m=0 或 m=1. 当 m=0 时,f(x)=x3 它不是偶函数. 当 m=1 时,f(x)=x2 是偶函数. 所以 m=1,f(x)=x2. (2)由(1)知 g(x)=loga(x2-2x), 设 t=x2-2x,x∈(2,3],则 t∈(0,3], 此时 g(x)在(2,3]上的值域就是函数 y=logat 在 t∈(0,3]上的值域.

当 a>1 时,y=logat 在区间(0,3]上是增函数,所以 y∈(-∞,loga3]; 当 0<a<1 时,y=logat 在区间(0,3]上是减函数,所以 y∈[loga3,+∞). 所以当 a>1 时,函数 g(x)的值域为(-∞,loga3];当 0<a<1 时,g(x)的值域 为[loga3,+∞). 20.解:(1)因为 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),即 lg ∴ -kx-1 kx-1 =-lg , -x-1 x-1

-kx-1 x-1 = ,1-k2x2=1-x2, -x-1 kx-1

∴k2=1,k=± 1, 而 k=1 不合题意舍去, ∴k=-1. 由 -x-1 >0,得函数 y=f(x)的定义域为(-1,1). x-1 10k-1 1 >0,∴k>10. 10-1

(2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数,∴ 又 f(x)=lg kx-1 ? k-1? ?, =lg?k+ x-1 ? x-1?

故对任意的 x1,x2,当 10≤x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2), k-1 ? ? k-1 ? ? ?<lg?k+ ?, 即 lg?k+ ? x1-1? ? x2-1? ∴ 1 ? k-1 k-1 ? 1 ?x -1-x -1?<0, < ,∴(k-1)· x1-1 x2-1 ? 1 2 ? 1 1 > ,∴k-1<0,∴k<1. x1-1 x2-1

又∵

?1 ? 综上可知 k∈?10,1?. ? ? 解题技巧:本题主要考查了对数型函数的性质,解决本题的关键是充分利用 好奇偶性和单调性. 21.(1)解:由题意得 f(-x)+f(x)=0 对定义域中的 x 都成立, 1+x 1-x 1+x 1-x 所以 log3 +log3 =0,即 · =1, 1+mx 1-mx 1+mx 1-mx 所以 1-x2=1-m2x2 对定义域中的 x 都成立,

所以 m2=1,又 m≠1,所以 m=-1, 1-x 所以 f(x)=log3 . 1+x 1-x (2)证明:由(1)知,g(x)= , 1+x 设 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,则 x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0. 因为 g(x1)-g(x2)= 2?x2-x1? >0,所以 g(x1)>g(x2), ?1+x1??1+x2?

所以函数 y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减. (3)解:函数 y=f(x)的定义域为(-1,1), 设 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,由(2)得 g(x1)>g(x2), 所以 log3g(x1)>log3g(x2),即 f(x1)>f(x2), 所以 y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减.
? ?-1<t+3<1, 因为 f(t+3)<0=f(0),所以? ?t+3>0, ?

解得-3<t<-2.故不等式的解集为(-3,-2). 22.解:(1)由函数 f(x)是偶函数可知 f(x)=f(-x), ∴log4(4x+1)+kx=log4(4 x+1)-kx,


4x+1 化简得 log4 -x =-2kx, 4 +1

1 即 x=-2kx 对一切 x∈R 恒成立,∴k=-2.
(2)函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 1 即方程 log4(4x+1)- x=log4(a· 2x+a)有且只有一个实根, 2 1 化简得方程 2x+ x=a· 2x+a 有且只有一个实根,且 a· 2x+a>0 成立,则 a>0. 2 令 t=2x>0,则(a-1)t2+at-1=0 有且只有一个正根. 设 g(t)=(a-1)t2+at-1,注意到 g(0)=-1<0,所以 ①当 a=1 时,有 t=1,符合题意;

a ? ?t对称轴=- >0, 2?a-1? ②当 0<a<1 时, g(t)图象开口向下, 且 g(0)=-1<0, 则需满足? ? ?Δ=0, 此时有 a=-2+2 2或 a=-2-2 2(舍去); ③当 a>1 时,又 g(0)=-1,方程恒有一个正根与一个负根,符合题意.综 上可知,a 的取值范围是{-2+2 2}∪[1,+∞).


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