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大一上学期高等数学试题A[1]


**大学 05 级高等数学试题 A-1 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
sin kx =5 x →0 x ln(1 + ) 8 (1) 若 ,则 k = ( lim
2



ax (2) 设当 x → 0 时, e ? 1 与 cos x ? 1 是等价无穷小, 则常数 a = ( )

π

(3) (4)



∫ (sin x + cos x )
n→ ∞

3

dx

=(

) )

lim n(sin

1 2 1000 )= + sin + L + sin n n n (

(5)

?a



a

a 2 ? x 2 dx = (

), (a > 0)

二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) (1) 下列广义积分收敛的是 ________


( A)


1

1 x

dx

(B)

∫x
0

1

1 x



dx

(C )


0

1 dx x2



( D)

∫x
1

1 x

dx

?1 ? x f ( x) = ? x ?e ? e (2) 函数

0≤ x<1 1 < x ≤ 2 的连续区间为 ________

(A) [0, 1) ;(B)
50π

[0, 2] ;

(C)

[0, 1) U (1, 2] ;(D) (1, 2]

( 3)

∫ sin x dx = ________
0

( A) 200;

( B ) 110;

(C ) 100;

( D ) 50;

(4) 下列各命题中哪一个是正确的 ________ ( A) f ( x ) 在 ( a , b ) 内的极值点,必定是 f ' ( x ) = 0 的根
( B) f ' ( x ) = 0 的根,必定是 f ( x ) 的极值点

(C )

f ( x ) 在 ( a , b ) 取得极值的点处,其导数 f ' ( x ) 必不存在

(D)

使 f ' ( x ) = 0 的点是 f ( x ) 可能取得极值的点
f ( 3 ? h) ? f ( 3 ) 2h =

(5) 已知 f ' ( 3) = 2 则 h→0
3 (A) 2

lim ? 3 2

. (D) ? 1

(B)

(C) 1
1

? ?x = ? ? ?y = y = y( x ) 由参数方程 ? ? (6) 设函数

t2 2 t4 4 确定,则 y' ' ( x ) ________

(A) 1

(B) 2

(C) 2t

(D) t

2

2 (7) 设函数 f ( x ) = ( x ? 3 x + 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5) ,则方程 f ' ( x ) = 0 实 根的个数为 ________

(A) 2 个

(B) 3 个

(C) 4 个

(D) 5 个

(8) 已知椭圆 x = 2 cos t , y = 3 sin t V x ,V y ,则有 ________ (A) (C)
V x ? V y = 2π V x ? V y = 8π

(0 ≤ t ≤ 2π ) 绕 x 轴和 y 轴旋转的体积分别为
V x ? V y = 4π V x ? V y = 10π

(B) (D)
1

f ( x) =

(9) x = 0 点是函数 (A) 振荡间断点 (C) 跳跃间断点
1 + e?x
2

e + 2 的间断点 ________ (B) 可去间断点 (D) 无穷间断点

1 x

y= 2 1 ? e ? x ________ (10) 曲线 (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
3 + x ? e x sin x ) x+2
1

三、 分)求极限 (6

lim(
x →0

f ( x ) d 3 sin x lim ( dx + 3 x ) = f ' (0) 存在,且 x → 0 3 x dx ∫0 x 四、 分)已知 (6 ,求 f ' (0)

2

五、 分) (6

y( x ) = ∫ [sin t cos t + ( 2t ? 1) 1000 + 100 t 100 ]dt
0

x

(1001 ) ( x) ,求 y

3 3 六、 分)已知星形线 x = a cos t , y = a sin t 围成的图形为 A , (6 求 A 的面积 S

七、 分)证明:方程 x (6

101

+ x 99 ? 1 = 0 只有一个正根。

八、 分)已知 y = y ( x ) 是由参数表示式 x= 0 (6 dy lim 函数, 求 t →0 dx

∫ arcsin udu,

t

y = ∫ te u du
0

t

所确定的

1 ? 2 x≠0 ? x sin f ( x) = ? x ?0 x=0 ? 九、 分) 设 (4 证明 f ( x ) 在 x = 0 处连续且可微,但 f ' ( x ) 在 x = 0 处不连续。

3

2006 级高等数学试题 A-1 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)

arcsin kx =5 x →0 x ln(1 + ) 6 ,则 k = ( ). (1) 若 3 (2) 设 当 x → 0 时 , ln( x + ax ) ? ln x 与 cos x ? 1 是 等 价 无 穷 小 , 则 常 数 a = lim
( (3) (4)
a

).



π



( x + sin x )3 dx =



). ).

lim n(tan
n→ ∞

1 3 5 999 )= + tan + tan L + tan n n n n (
2

(5)


0

x a ?x
2

dx = (

), (a > 0)
.

二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) (1) 下列广义积分收敛的是 ________ .
( A)
∞ 1 ∞ ∞


1

1 x

dx

( B)
x>0

∫x
0

2 x

dx

(C )


0

3 dx x2

( D)

∫x
1

4 x

dx

(2) 函

2 ? ? x sin x ? f ( x ) = ?2 + x ? 1 ? ? 数

?1< x ≤ 0 x ≤ ?1

(A) (C)
80π

( ?∞ ,+∞ ) ( ?∞ ,0) U ( 0,+∞ )

的连续区间为 ________ . (B) ( ?1,+∞ ) (D) ( ?∞ ,?1) U ( ?1,+∞ )

( 3)

∫ cos x dx = ________
0

.

( A ) 80 ( B ) 160 (C ) 240 ( D ) 320 (4) 下列函数中在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是 . 1 (A) ln x (B) ln x (C) ln ln x (D) ln( 2 ? x ) h 1 lim = h→ 0 f ( x ? 2h) ? f ( x ) 4 , f '( x0 ) = 0 0 (5) 设 f ( x ) 在点 x0 可导, 且 则 (A)4 (B) ? 4 (C) 2 (D)-2 ? x = 2e t + 1 ? 3 y' ' ( x ) t =1 = ________ (6) 设函数 y = y( x ) 由参数方程 ? y = t 确定,则 .

.

4

(A)

0

(B)

3 4e

3 2 (C) 4e

1 (D) 2

2 2 (7) 设 函 数 f ( x ) = ( x ? 3 x + 2)( x ? 7 x + 12) , 则 方 程 f ' ( x ) = 0 实 根 的 个 数 为 ________ .

(A) 2 个

(B) 3 个

(C)4 个

(D) 5 个

(8) 已知椭圆 x = 2 cos t , y = 3 sin t V x = ________ . (A) 24π (B) 36π f ( x) = (9) x = 0 点是函数 (A) 振荡间断点 (C) 无穷间断点
f ( x) = 5 ?1
1 1 x

(0 ≤ t ≤ 2π ) 绕 x 轴旋转的体积为 Vx , 则有

(C) 48π 1

(D) 60π

2 + 2 的间断点 ________ . (B) 可去间断点 (D) 跳跃间断点

1 x

5 x + 1 ________ . (10) 曲线 (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线

三、 分)求积分 ∫ (6

x (arctan x )2 dx

.

四、 6 分) ( 已知 f ' (0) 存在, x → 0 且

lim

f ( x) d x 2 = [ ∫ t ln( t + 1 + t 2 )dt + 5 x ] 3x dx ? x , f ' (0) . 求

五、 分) (6

y( x ) = ∫ [ln(1 + t ) + ( 2t 2 ? 1)100 + 2t 1000 ]dt
0

x

(1001 ) ( x) . ,求 y

5

六、 分)求心脏线 r = a (1 + cos θ ) 所围平面图形的面积( a > 0 ). (6

3 2 2 七、 分)证明:若 a ? 3b < 0 ,则方程 f ( x ) = x + ax + bx + c = 0 有唯一实根. (6

八、 分)已知 y = y ( x ) 是由参数 (6 dy lim 求 t →0 dx .

x = ∫ arctan udu,
0

t

y = ∫ te u du
0

t

所确定的函数,

0 ≤ x < 1, ?arctan x ? π f ( x) = ? sin p x π 2 dx 1≤ x ≤ ?∫ 0 p p 2 ? cos x + sin x 九、 分) 已知 (4 π [ 0, ] (其中 p > 0 ),问 p 取何值时, f ( x ) 在 2 连续。 (请详细写明过程).

6

07 级高等数学(上)试题 A 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 6 ln(1 + ) x = lim x → +∞ arctan x (1) 极限 ( ) 。 ? arcsin kx ? , x≠0 f ( x) = ? x ? 2, x = 0 在 x = 0 处连续,则 k = ( ? (2) 设 ( ) 。 (4) 设 f ( x ) = x ( x ? 1)( x ? 2) L ( x ? 100 ), 则 f ′(100) = ( +∞ 1 ∫ e x(ln x ) 2 dx = (5) 广义积分 ( ) 。
?a

) 。

(3)



a

x 2 [ f ( x ) ? f ( ? x ) + 2]dx =

) 。

二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分)
+ (1) 设当 x → 0 时, x + x 与(

)是等价无穷小。 (C)
4

(A)

x
x 0

(B)

3

x

x

(D)

3

x2

(2) 设 (A) cos x (3) ∫ 0
100π

F ( x ) = ∫ sin( x ? t )dt

(B)

,则 F ′( x ) = ________ 。 ? sin x (C) sin x

(D) 0

1 ? cos 2 x dx = ________ 。
(B) 100 2 (C) 200 (D) 200 2
x

(A) 100

Φ( x ) = ∫ f ( t )dt 0 (4) 设 f ( x ) 在 [a , b] 上可导,且 f ′( x ) > 0 ,若 ,则下列说法正 确的是 。 (A) Φ ( x ) 在 [a , b] 上单调减少 (B) Φ ( x ) 在 [a , b] 上单调增加 (D) Φ ( x ) 在 [a , b] 上为凸函数 1 lim nf (a ? ) = ′ ( a ) = 1 ,则极限 n→∞ n (5) 已知 f ( a ) = 0 , f 。 2 ?1 (C) (D)-2 (A)1 (B) 2 ? x = 1 + ln(1 + t ) d2y ? = 2 ________ 。 (6) 设函数 y = y( x ) 由参数方程 ? y = t ? arctan t 所确定,则 dx (C) 1+ t2 1+ t2 1+ t2 2 2 (A) (B) 2t (C) 4t (D) 2t 2 (7) 设函数 f ( x ) = ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 7 x + 12) ,则方程 f ' ( x ) = 0 实根的个数为 ________ 。 1+ t2 4t
Φ ( x ) 在 [a , b] 上为凹函数

7

(A) 2 个

(B) 3 个

(C)4 个

(D) 5 个

(8) 曲线 y = ln x 及直线 x = e , x 轴所围成的图形绕 y 轴旋转形成的旋转体 的体积为 V y , 则有 V y = ________


π
(A) 2

(B) 2 (C) 2 sin x f ( x) = x 的 ________ 间断点 (9) x = 0 是函数 。 (A) 振荡间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 跳跃间断点 的水平渐近线为 ________ 。 (B) y = 1 (C) y = 2 x 2e x dx 2 ∫ 。 三、 分)求积分 ( x + 2) (6 (10) 曲线 y = e (A) y = 0
? 1 x2

e2

π

(e 2 ? 1)

π

(e 2 + 1)

2 (D) π e

(D) y = e

y 2 四、 分)设函数 y = y ( x ) 由方程 x + y ln x = 2 所确定,求 y ′ 。 (6
2

1 ? ?(1 + 2 x ) sin x , x ≠ 0 f ( x) = ? ? e2 , x = 0 ? 五、 分)讨论函数 (6 在 x = 0 处的连续性。

8

六、 分)证明: (6

e ?2 x >

1? x , 1+ x

x ∈ (0, 1)



七、 分)设函数 (8

f ( x ) = ?2a + ∫ ( t 2 ? a 2 )dt (a ≠ 0)
0

x

,试求 f ( x ) 的极大值。

2 八、 分)设连续函数 f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( ? x ) = sin x ,求 (8

∫π
2 ? 2

π

f ( x ) sin 6 xdx


9

2008 级高等数学试题 A-1 一、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) 2 (1) 设当 x → 0 时,与 x 等价的无穷小是( (A)
3

) .

1 + 3 x 2 ? 1 (B) x 2 + sin x (C) tan x ? sin x (D) 1 ? cos x ? 1 x≠0 1 ? f ( x) = ?1 + 3 x ? x = 0 ,则 f ( x ) 在 x = 0 点( ?0 ) . (2) 设 (A) 左连续但不右连续 (B) 右连续但不左连续
(C) 连续 (D) 既不左连续也不右连续

(3) ? 2 (A) 4π



2

4 ? x 2 ( x cos x + 2)dx =

(B)

0

( (C)

) .


) .

(D)

π

(4) 下列广义积分收敛的是(
+∞

(A)


1

dx x ;(B)


0

1

dx x ; (C)
3

1 ∫1 x 2 dx ? ;(D)

1

+∞

∫ xe
0

?x

dx

(5) 由曲线 r = 2 cosθ 所围成的平面图形的面积是( (A)

) .



(B)



(C)



(D)

π

(6) 设 y = f ( x ) 在 点 x 0 的 某 邻 域 内 具 有 三 阶 连 续 导 数 , 如 果 f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) = 0 ,而 f ′′′( x 0 ) ≠ 0 ,则必有( ) . (A) x 0 是极值点, ( x 0,f ( x 0 )) 不是拐点 (B) x 0 是极值点, ( x 0,f ( x 0 )) 不一定是拐点 (C) x 0 不是极值点, ( x 0,f ( x 0 )) 是拐点 (D) x 0 不是极值点, ( x 0,f ( x 0 )) 不是拐点 (7) 已知 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内有定义,且 f ( 0) = 0 ,如果 (1 ? cos x ) f ( x ) 1 lim = 2 x→0 2 ,则 f ( x ) 在 x = 0 处( x ( e x ? 1) ) . 不可导 (B) 驻点 (D) 3 2 (8) 设函数 f ( x ) = x + ax + bx 在 x = 1 处有极值 2,则 a , b 之值( (A) (C)
a = ? 4, b = 5 a = 5, b = 4

(A)

(C) f ′(0) = 1

f ′( 0 ) =

1 2

) .

(B) (D)
10

a = 4, b = ? 5 a = ? 5, b = 4

5 (9) 方程 x + x ? 1 = 0 共有 (A) 4 (B) 3 (C)

2

个正根。 (D) 1

1

(10) 曲线 y = xe (A) x = 0

x2

的渐近线是( ) . (B) x = 1 (C) y = 0

(D) y = 1

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) k lim(1 + ) ? 5 x = e ?10 x (1) 若 x →∞ ,则 k =



? x = arctan t ? 2 2 (2) 由参数方程 ? y = t ? ln(1 + t ) 确定的函数 y = y ( x ) ,则 d2y t =1 = dx 2 .
(3) 设
π
2

f ( x ) = (1 + 2 x )

sin x

+∫
1

3

sin x π dx f ′( ) = x 2 ,则



(4)

?

∫π ( 3 sin
2

2

x + cos
x

2

x ) dx

= ,则 F ′( x ) =
x 2

. .

(5) 设

F ( x ) = ∫ ( x 2 ? t )dt
0

(e ? 1 ? x ) x → 0 ln( x + x 2 sin 3 x ) ? ln x 三、 分)求极限: (6 lim

∫ 四、 分)求积分 (6

ln cos x dx cos 2 x .

五、 分)证明:当 (6

0< x<

π 1 tan x > x + x 3 2 时, 3 .

11

六、 分) (6 求由曲线 y = x ? 1 , 直线 y = 2 与 x 轴、 轴所围成的平面图形绕 x y 轴旋转一周所得立体之体积.
2

七、 分)设函数 (6

f ( x ) = ∫ ( t ? 3)e ? t dt
0

x

+∞ ,试求 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上的最小值.

八 、 6 分 ) 设 f ( x ) 的 原 函 数 为 F ( x ) > 0 , 且 F ( 0) = 1 , 当 x ≥ 0 时 , 有 ( f ( x )F ( x ) = sin 2 2 x ,试求 f ( x ) .

九、 (4 分)设连续函数 f ( x ) 在 ( ?∞ ,+∞ ) 内满足 f ( x ) = f ( x ? π ) + sin x ,且
f ( x) = x, x ∈ [0, π ] ,求 ∫π f ( x )dx 。


12

2009 级高等数学试题(A-1)

一、选择题(毎小题 3 分,共 36 分)
1 1 与 1.当 x → ∞ 时,若 ax + bx + c x + 1 为等价无穷小,则 a,b,c 之值一定为
2



) (A) a = 0, b = 1, c = 1 (C) a = 0, b、c 为任意常数 (B) a = 0, b = 1, c 为任意常数 (D)a、b、c 均为任意常数

1 x 2.极限 x →∞ 1 + e 的结果是( lim (A)0 (B)1 (C) ∞

) (D)不存在但也不是 ∞

3.

lim
x →1

sin π x + 1 ? arctan(cosπ x) x2 ? x +1
0 (B) 1+

=

(

)

π
4 (C) 1 (D) 不存在

(A)

? f ( x) , x≠0 ? F ( x) = ? x ? 0 , x=0 ? 4.设 ,其中 f ( x)在x = 0 处可导,且
f (0) = 0, f ′(0) ≠ 0 ,则 x = 0 是 F (x ) 的(



(A)连续点 (C)第二类间断点

(B)第一类间断点 (D)不能由此确定是连续点还是间断点 ) (D) 2 ln 2 ).

x 5.设 f ( x) = (1 + x) ,则 f ′(1) = (

(A) ? 1

(B)1

(C) 2 ln 2 + 1

6.若函数 y = f ( x ) 在点 x = x0 处取得极大值,则必有( (A) f ′( x0 ) = 0且f ′′( x0 ) > 0 (C) f ′( x0 ) = 0

(B) f ′( x0 ) = 0且f ′′( x0 ) < 0 (D) f ′( x0 ) = 0或f ′( x0 )不存在

7. ?1

∫ (x

1

2

1 + x3 ?

x cos x )dx = 1+ x2 (



13

(A)0

4 2 (B) 9

8 2 (C) 9

4 (D) 9

8.若 f (x ) 的导函数为 sin x ,则 f (x ) 有一个原函数为( (A) 1 ? sin x
2



(B) 1 + sin x

(C) 1+ cos x

(D) 1? cos x

9.由曲线 y = x 及直线 y = 0, x = 1 所围平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体 积是( (A) ).

π ∫ x 4 dx
0

1

(B)

π ∫ x 2 dx
0

1

(C)

π ∫ ydy
0

1

(D)

π ∫ (1 ? y)dy
0

1

, 10. 区间 [ ?11] 上满足罗尔定理条件的函数是(

).

sin x (A) x

2 (B) ( x + 1)

2

(C) x 3

2 (D) x + 1

?x 11.函数 y = xe 在区间(

)内是单调减少的并且其图形是凸的。 (C) [1,2] )
x ∫∞1 + x 2 dx (C) ?
+∞

(A) [ 2,+∞ )

(B) (?∞,1]

(D) [1,+∞ )

12.下列反常积分收敛的是(
+∞

(A)


1

dx x

(B) 0



1

dx x
3

+∞

(D)

∫ xe
0

?x

dx

二、填空题(每小题 4 分,共 32 分)
1 ? x?x ? ? 1+ ? , x≠0 f ( x) = ?? a ? ? ? ? 2 ? e , x = 0 在 x = 0 连续。 ? 1.当 a=__________时,函数
x n 2.函 数 y = 2 的 n 阶 麦 克 劳 林 展 开 式 中 含 x 项 的 系 数 是

____________________。

? x = 2tet + 1 d2y ? 2 3 3.设 y = y (x ) 由方程组 ? y = t ? 3t 确定,则 dx
y = 1+ x ( x + 3) 2 的拐点是

=
x =1



4.曲线



14

t ? ? x = ∫ u ln udu ? 1 ? t ? y = ∫ u 2 ln udu ? 1 5.曲线 ? 在 t = 1 处的切线方程
2

为__________________
f ( x) =



6.函数

x tan x 的可去间断点为___________________。

2 7.由曲线 y = x 与 y = 4 所围图形的面积是



∫ 8. cos

sin 4 x dx = 2 2x + 4



三、解答题(共 32 分)
lim 1 + tan x ? 1 + sin x x sin 2 x 。

1. 分) (7

求极限 x →0

? 1 ?1 + x , x ≥ 0 ? 2 f ( x) = ? ? 1 , x<0 ∫ f ( x ? 1)dx ?1 + e x ? 2. 分)计算定积分 0 (7 ,其中 。

15

2 2 3. 分)求由方程 cos( xy ) = x y 所确定的函数 y 的微分。 (6

4. 分)求函数 (6

f ( x) = ∫ (2 ? t )e ?t dt.
0

x

在 [0,+∞ ) 的最大值。

2 2 5. 分)证明:当 x > 0 时, 1 + x ln( x + 1 + x ) > 1 + x 。 (6

16

05 级高等数学试题 A-1 标准答案及评分标准 制定教师 刘春凤 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)解: (1) 二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分)解: DCCDD;BCCCD 三、 分) (6 审核人 米翠兰

k=

5 1 ? 8 .;(2) 2 ; (3) 0 ;(4) 500500 ;(5)

π
2

a2

3 + x ? e x sin x lim( ) x+2 解: x → 0
1

=e

1 3+ x ? e x ln( ) x → 0 sin x x+ 2 lim

……………….2 分

=e
=e
四、 分) (6 解:

1? e x x→0 x ( x + 2 ) lim

……………….4 分 ……………….6 分

1 ? 2

lim
x →0



f ( x) =3 3x lim f ( x) = f (0) = 0
x →0
x →0

……………….3 分

f ′(0) = lim
五、 分) (6

f ( x) =9 x

……………….6 分 ……………… 2分

1000 + 100 x 100 解: y ′( x ) = sin x cos x + ( 2 x ? 1)

1 sin 2 x + ( 2 x ? 1) 1000 + 100 x 100 2 ……………… 3分 1 π = sin( 2 x + 1000 × ) × 2 1000 + 2 1000 × 1000! (1001 ) y ( x) 2 2 ………….6 分 =
六、 分) (6
π
a 2

解:

S = 4 ∫ ydx = 12a 2 ∫ sin 4 t cos 2 tdt
0 0

………….3 分

π

= 12a 2 ∫ (sin 4 t ? sin 6 t )dt
0

2

………….4 分

3 1 π 5 3 1 π = 12a 2 ( ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 6 4 2 2 3 2 = πa 8
七、 分) (6

………….6 分

17

证明:存在性:设 f ( x ) = x

101

+ x 99 ? 1
………….3 分
98

f (0) = ? 1 < 0 , f (1) = 1 > 0
所以至少存在一个正根 惟一性: 又 f ′( x ) = 101 x 八、 分) (6
100

+ 99 x

>0
………….6 分

f ( x ) 单调递增,只有一个正根。

解:

dy = dx

∫e
0

t

u

du + te t
………….4 分
u

arcsin t

dy lim = lim t → 0 dx t →0
九、 分) (4 解:

∫e
0

t

du + te t t =1
………….6 分

lim f ( x ) = lim x 2 sin
x →0 x →0

1 = 0 = f ( 0) x

连续 可微

………….1 分 ………….2 分

f ′(0) = lim x sin
x →0

1 =0 x

1 1 ? x≠0 ? 2 x sin ? cos f ′( x ) = ? x x ?0 x=0 ? 1 1 lim f ′( x ) = lim(2 x sin ? cos ) x →0 x →0 x x 不存在
f ' ( x ) 在 x = 0 处不连续。

………….3 分

………….4 分

2006 级高等数学(A-1)标准答案及评分标准 制定教师 刘春凤 审核人 马醒花

一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)

(1)

k=

5 1 ? 6 .;(2) 2 ; (3) 0 ;(4) 250000 ;(5) a

二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) DCBADCBADB 三、 分) (6 解法 1:

∫ x(arctan x )
微分部分

2

dx
积分部分

18

(arctan x ) 2

x
x2 2 x2 1 + x2
x ? arctan x
………….2 分

2 arctan x

1 1 + x2

arctan x

1 1 + x2

1

x ? arctan x 1+ x2 1 1 ln(1 + x 2 ) ? (arctan x ) 2 2 2
2

0

……….4 分

x2 ∫ x(arctan x ) dx = 2 (arctan x ) 2 - ( x ? arctan x ) arctan x

1 1 ln(1 + x 2 ) ? (arctan x ) 2 2 +C +2
解法 2:

………….6 分

1 x 2 arctan x dx = x 2 (arctan x ) 2 ? ∫ ∫ x(arctan x ) dx 2 1 + x2
2

1 2 x2 + 1 ? 1 2 arctan xdx = x (arctan x ) ? ∫ 2 1+ x2

……… .2 分

= =

1 2 1 x (arctan x ) 2 ? ∫ arctan xdx + ∫ arctan xdx 2 1 + x2 1 2 1 1 x (arctan x ) 2 ? x arctan x + ln(1 + x 2 ) + (arctan x ) 2 + C 2 2 2

………….4 分

………….6 分

四、 分) (6

解:

lim
x→0

f ( x) =5 3x

……………….3 分 …… ……………4 分



lim f ( x ) = f (0) = 0
x →0

lim
x →0

f ( x ) ? f ( 0) 1 = f ' ( 0) = 5 3x 3 …
…………………….6 分

f ′(0) = 15
五、 分) (6
19

解: y ′( x ) = ln( x + 1) + ( 2 x ? 1)
2

100

+ 2 x 1000

………………3 分

y

(1001 )

( x)

=?

999! + 2 × 1000! ( x + 1)1000

……………….6 分

六、 分) (6

解:

dA =

1 2 a (1 + cosθ )2 dθ 2

π 1 1 A = 2 ? a 2 ∫ a 2 (1 + cosθ ) 2 dθ 0 2 2

……………….2 分 ……………….4 分

= a 2 ∫ (1 + 2 cosθ + cos2 θ )dθ
0

π

a2 = 2 =

∫ π (1 + 2 cosθ + cos
?

π

2

θ )dθ

3 a2 ( 2π + 0 + π ) = π a 2 . 2 2

……………….6 分

七、 分) (6
3 2 证明一: 因为三次多项式 f ( x ) = x + ax + bx + c = 0 可能有三个实根或一个实根, 2 如果 f ( x ) 有三个实根, 根据罗尔定理 f ' ( x ) = 3 x + 2ax + b 至少有两个实根, ………….3



2 2 而 f ' ( x ) = 3 x + 2ax + b ,当 a ? 3b < 0 时,没有实根,如此方程

f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c = 0 只有一实根。…
分 证明二: 因为 x → +∞ 分
2 2 因为 f ' ( x ) = 3 x + 2ax + b ;所以 ? = 4a ? 12b ;
2 2 因为 a ? 3b < 0 ,所以 ? = 4a ? 12b < 0 。

……….6

lim f ( x ) = +∞ > 0

, x → ?∞ 且

lim f ( x ) = ?∞ < 0

, 所以 f ( x ) 一定有实根。 ….2

所 增。



f ( x) > 0





f ( x)
…….5 分







20

所 根。



f ( x)





一 …….6 分





八、 分) (6

dy = 解: dx

∫e
0

t

u

du + te t
………….4 分
u

arctan t

∫ dy lim = lim 0 t → 0 dx t →0
分 九、 分) (4

∫e

t

du + te t t =2
………….6

解:

I=∫

π 2 0

sin p x dx ( p > 0) cos p x + sin p x



x=

π ?t 2

π sin p ( ? t ) 2 I = ?∫ π dt π cos p t π p p π 2 dt = I cos ( ? t ) + sin ( ? t ) = ∫ 02 sin p t + cos p t 2 2
0

………….

2分

I=


1 2 sin p x + cos p x 1 π π ∫ 0 sin p x + cos p x dx = 2 ? 2 = 4 2
π

………….3

又因为 x ?1

lim f ( x ) = ?

[ 0, ] π ,所以只要 p > 0 , f ( x ) 在 2 连续.
07 级高等数学(上)试题 A 卷答案

4

π

…….4 分

4 3 a 一、(1) 0 (2) 2 (3) 3 (4) 100! (5) 1
二、C C D C B A B C D B

x 2e x 1 ∫ ( x + 2) 2 dx = ? ∫ x 2 e x d ( x + 2 ) 三、解: =? x 2e x 1 ( 2 xe x + x 2 e x )dx +∫ x+2 x+2

………….2 分

21

=?


x 2e x + xe x dx x+2 ∫ x 2e x + e x ( x ? 1) + C x+2
y2

………….4

=?


………….6

四、解:将原方程转化为 e 两边对 x 求导得:

ln x

+ y 2 ln x = 2

………….2 分

e

y2

ln x

( 2 yy ′ ln x +



(e

y2

ln x

y2 y2 ) + 2 yy ′ ln x + =0 x x , 2 y )=0 + 1)( 2 yy ′ ln x + x

………….4 分

e


y2

ln x

+ 1 ≠ 0 ,所以

2 yy ′ ln x +

y y y′ = ? =0 2 x ln x 。 x ,
1 sin x

2

………….6

2 lim f ( x ) = lim(1 + 2 x ) x →0 五、解: f ( 0) = e , x → 0

=e

x →0

lim 2 x ?

1 sin x

= e2

………….4



lim f ( x ) = f ( 0) x→0 ,所以 f ( x ) 在 x = 0 处连续. ………….6 分 ?2 x 六 、 证 明 : 令 f ( x ) = e (1 + x ) ? (1 ? x ) , 则 f ( x ) 在 [0,1) 内 连 续 , f ′( x ) = e ?2 x ( ?1 + 2 x ) + 1, f ′′( x ) = 4 xe ?2 x ,当 0 < x < 1 时, f ′′( x ) > 0 ,所以 f ′( x ) 单调增加, ………….2
分 又 f ′( 0) = 0 ,所以当 0 < x < 1 时, f ′( x ) > 0 ,所以 f ( x ) 单调增加, 又 f ( 0) = 0 ,所以 f ( x ) > 0 ,即 e 分
?2 x

………….4 分

(1 + x ) ? (1 ? x ) > 0 ,即

e ?2 x >

1? x 1 + x .………….6

2 2 七、解: f ′( x ) = x ? a , 令 f ′( x ) = 0 , 得 x = ± a ,

f ′′( x ) = 2 x , 于是


f ′′( a ) = 2a , f ′′( ? a ) = ? 2a ,

………….2 分 ………….4

2 f ( ? a ) = ?2a + a 3 3 …….6 当 a > 0 时, f ′′( ? a ) = ? 2a < 0, f ( x ) 取得极大值, 极大值为
分 当 a < 0 时, f ′′(a ) = 2a < 0, f ( x ) 取得极大值, 极大值为 分 八 、 解 : 令

2 f (a ) = ?2a ? a 3 3 . …….8
, 则

x = ?t

22

∫π
2 ? 2

π

f ( x ) sin 6 xdx = ? ∫ π 2 f ( ? t ) sin 6 tdt = ∫ 2π f ( ? t ) sin 6 tdt
2 ? 2

?

π

π

,…….4 分 以



∫π
2 ? 2

π

f ( x ) sin 6 xdx =

1 2 6 ∫? π2 [ f (? x ) + f ( x )]sin xdx 2
2

π

……

.6 分 又 f ( x ) + f ( ? x ) = sin x ,所以 原 式

=

1 2 8 8 ∫? π2 sin xdx = ∫02 sin xdx = 35π 2 256 .
2008 级高等数学(A-1)标准答案及评分标准 制定教师 米翠兰 审核人 刘春凤

π

π

…….8 分

一、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) ABADD;CCADA 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) (1) k = 2 .;(2) 12; (3) 2 ;(4) 2π ;(5) 三、 分) (6

3x 2 ? x

(e x ? 1 ? x ) 2 x → 0 ln( x + x 2 sin 3 x ) ? ln x 解: (e x ? 1 ? x ) 2 (e x ? 1 ? x ) 2 = lim = lim x →0 ln( + x sin 3 x ) x→0 1 x4 lim

………………. 2 分 3分

= lim

(e ? 1 ? x )(e ? 1) x →0 2x3
x x

……………….

(e x ? 1 ? x ) = lim x →0 2x 2 (e x ? 1) 1 = lim = x →0 4x 4
四、 分) (6

………………. 4 分

……………….6 分

解:



ln cos x dx cos 2 x
……………….2 分 ………………4 分
23

= ∫ ln cos xd tan x = tan x ln cos x + ∫ tan 2 xdx

= tan x ln cos x + ∫ (sec 2 x ? 1)dx

= tan x ln cos x + tan x ? x + C
五、 分) (6

………………6 分

解:

f ( x ) = tan x ? x ?

1 2 x 3

……………….2 分

f ′( x ) = sec 2 x ? 1 ? x 2 = tan 2 x ? x 2 = (tan x + x )(tan x ? x ) > 0

……………….4 分

π f ′( x ) ↑ (0, ), 2 从而 f ( x ) > f ( 0) = 0 π 1 0< x< tan x > x + x 3 2 时, 3 。 所以当
六、 分) (6

……………….6 分

解:

V x = π ? 2 2 ? 1 + π∫ [4 ? ( x ? 1)]dx
1

5

………………4 分 ………………4 分

1 5 = 4π + π[4 x ? ( x ? 1) 2 ] 1 2 = 12π
七、 分) (6
?x 解: f ′( x ) = ( x ? 3)e 令 f ′( x ) = 0, 得 x = 3 ,

……………….2 分

f ′′( x ) = (4 ? x )e ? x , f ′′( 3) = e ?3 > 0
f ( x ) 在 x = 3 取得极小值,
又 f ( x ) 在 [0, +∞ ) 内连续且有唯一的极小值,故 f ( 3) 也是最小值, ……………….4 分 最小值为
3 3 3

f ( 3) = ∫ ( t ? 3)e ? t dt = ∫ te ? t dt ? ∫ 3e ? t dt
= ? ( t + 1)e
八、 分) (6 解:由

[

0

?t 3 0

] + [3e ]

0

0

. ……………….6 分

?t 3 0

= ?2 ? e ? 3

∫ f ( x )F ( x )dx = ∫ sin

2

2 xdx

及 F ( 0) = 1

………………2 分

1 F ( x ) = x ? sin 4 x + 1 4 得
1 ? cos 4 x
∴ f ( x ) = F ′( x ) =

………………4 分

2 x?

1 sin 4 x + 1 4
24

………………6 分

九、 分) (4 解:





π

f ( x )dx = ∫ [ f ( x ? π) + sin x ]dx = ∫
π 2π





π

f ( x ? π)dx

……….2 分

x ? π = t∫
=
2

0

f ( t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ [ f (t ? π ) + sin t ]dt
0

π



π

2π π ? 2 + ∫ f ( t ? π)dt π 2

t ?π = x

π2
2

? 2 + ∫ f ( x )dx
0

π

……….4 分 2009 级高等数学(A-1)标准答案及评分标准 制定教师 刘春凤 审核人 肖继先

= π2 ? 2

一、填空题(每小题 3 分,共 36 分) 1 B 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 B 10 D 11 C 12 D

二、选择题(毎小题 4 分,共 32 分)

1 a= 2 (1)

29 1 ) y= x 27 4 (4) (5) π 32 1 x = 0, x = kπ + ? ln(cos 2 2 x + 4) + C 2 (7) 3 (8) 2 (6)可去间断点: (6,

(ln 2) n (2) n!

3 (3) 2

三、解答题(共 32 分)

lim
1.(7 分)原式= 分)
x →0

tan x ? sin x ( 1 + tan x + 1 + sin x ) x sin 2 x
…………………………(2

1 ?1 1 tan x ? sin x 1 lim lim cos x 2 = 2 x →0 x sin x = 2 x →0 x sin x 1 1 ? cos x 1 lim 2 = x → 0 x cos x 4 =2
分)

…………………………(7

2.(7 分) 分)


0

2

f ( x ? 1)dx =

?1

∫ f (t )dt
1

1

…………………………(2

1 1 ∫11 + e t dt + ∫ 1 + t dt 0 =?
分)

0

…………………………(4

1 + et ? et 1 ∫1 1 + e t dt + ∫ 1 + t dt 0 =?
0 1

25

= t ? ln(1 + e )
t

[

] + [ln(1 + t )]
0 ?1

1 0

= ln(e + 1)

…………………………(7

分) 3.(6 分) 方程两端同时微分得: d cos( xy ) = d ( x y ) ,
2 2

故 ? sin( xy )( ydx + xdy ) = x d ( y ) + y d ( x ) , 分)
2 2 2 2 2 2 即 ? sin( xy )( ydx + xdy ) = 2 x ydy + 2 xy dx

…………………………(3

dy =
整理得: 分)

2 xy 2 + y sin xy y = ? dx 2 x ? 2 x y ? x sin xy

…………………………(6

?x 4.(6 分) f ′( x) = ( 2 ? x)e ,驻点为 x = 2 。

f ′′( x) = ( x ? 3)e ? x , f ′′(2) = ?e ?2 < 0
所以函数在 x = 2 处取得极大值, f (x ) 在 [0,+∞ ) 内连续且有唯一的极大值, f ( 2) 又 故 也 是 最 大 值。 …………………………(3 分)

f (2) = ∫ (2 ? t )e ?t dt = ∫ 2e ?t dt ? ∫ te ?t dt
0

2

2

2

= ? 2e 分)

[

?t 2 0

] + [(t + 1)e ]

0

0

?t 2 0

= e ?2 + 1 。

…………………………(6

2 2 5.(6 分)令 f ( x) = 1 + x ln( x + 1 + x ) ? 1 + x , 分)

…………………………(1

则 f ( x)在(0,+∞) 连续、可导且 f (0) = 0 。

1+ f ′( x) = ln( x + 1 + x 2 ) + x
可得 f ′(0) = 0 。 分)

x 1+ x2
2

x + 1+ x

?

x 1+ x
2

= ln( x + 1 + x 2 )
, ………………………… (3

1+ f ′′( x) =

x 1+ x2 = 1

x + 1+ x2 1 + x 2 ,显然有 f ′′( x ) > 0 , 所以 f ′(x ) 单增,即当 x > 0 时, f ′( x ) > f ′(0) = 0 , 所以 f ( x)在(0,+∞) 单增,故当 x > 0 时, f ( x ) > f (0) = 0 ,
结论成立。 分) ………………………… (6

26


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