当前位置:首页 >> 高三数学 >> 2013年湖北高考理科数学试卷答案解析

2013年湖北高考理科数学试卷答案解析


www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数 学(理工类)
2i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1? i
C.第三象限 D.第四象限

【34】 (A,湖北,理 1)在复平面内,复数 z ? A.第一象限 B.第二象限

考点名称 数系的扩充与复数的概念 【34】 (A,湖北,理 1)D 解析: z ?

2i ? i(1 ? i) ? 1 ? i ,则 z ? 1 ? i ,其对应点 Z(1,-1)位于第四象限. 1? i

1 【1】 (A,湖北,理 2)已知全集为 R ,集合 A ? {x ( ) x ? 1} , B ? {x x2 ? 6x ? 8 ? 0} ,则 A ? ?R B ? 2
A. {x x ? 0} C. {x 0 ? x ? 2或x ? 4} 考点名称 集合 【1】 (A,湖北,理 2)C B. {x 2 ? x ? 4} D. {x 0 ? x ? 2或x ? 4}

?1? 解析:∵ x2 ? 6 x ? 8 ? 0 ? x ? 2, x ? 4 , ? ? ? 1 ? x ? 0 ,∴ A ? ?R B ? {x 0 ? x ? 2或x ? 4} . ?2?
【2】 (A,湖北,理 3 文 3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范 围” ,q 是“乙降落在指定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. (?p) ∨ (?q) 考点名称 常用逻辑语句 【2】 (A,湖北,理 3 文 3)A 解析: 因为 p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”, 则 ? p 是“没有降落在指定范围”,? q 是“乙 没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 (?p) ∨ (?q) . 【6】 (B,湖北,理 4 文 6)将函数 y ? 3cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得 到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A. B. p ∨ (?q) C. (?p) ∧ (?q) D. p ∨ q

x

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

考点名称 三角函数及其图象与性质 【6】 (B,湖北,理 4 文 6)B
新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!
?
6 ) (x∈R) ,将它向左平移 个单位得
π 6

解析:因为 y ? 3cos x ? sin x ( x ? R) 可化为 y ? 2 cos( x ?

? ?? ? y ? 2 cos?( x ? ) ? ? ? 2 cos x ,其图像关于 y 轴对称. 6 6? ?
【17】 (B,湖北,文 2 理 5)已知 0 ? ? ? 的 A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等

x2 y2 y2 x2 π ,则双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ?1 4 cos ? sin ? sin ? sin ? tan 2 ?

考点名称 圆锥曲线及其标准方程 【17】 (B,湖北,文 2 理 5)D 解析:对于双曲线 C1,有 c ? cos ? ? sin ? ? 1 , e ?
2 2 2

c 1 ? . 对于双曲线 C2,有 a cos ?

c 2 ? sin 2 ? (1 ? tan2 ? ) ? sin 2 ? ? sec2 ? ? tan2 ? , e ?

c tan ? 1 ? ? .即这两双曲线的离心率相等. a sin ? cos ?

??? ? ???? 【7】 (B,湖北,理 6 文 7)已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投

影为 A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

考点名称 平面向量的概念及其运算 【7】 (A,湖北,理 6 文 7)A 解析: AB =(2,1) , CD =(5,5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影为

AB cos? ?

AB ? CD CD

?

(2,1) ? (5,5) 5 ?5
2 2

?

2 ? 5 ? 1? 5 3 2 . ? 2 5 2
25 (t 1? t

【31】 (C,湖北,理 7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t ) ? 7 ? 3t ? 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 A. 1 ? 25 ln 5 B. 8 ? 25ln

11 3

C. 4 ? 25 ln 5

D. 4 ? 50 ln 2

考点名称 定积分与微积分基本定理 【31】 (C,湖北,理 7)C 解析:令 v(t ) ? 7 ? 3t ?

8 25 =0,解得 t =4 或 t= ? (不合题意,舍去) ,即汽车经过 4 秒中后停止,在此期 1? t 3
新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

www.xkb1.com
间汽车继续行驶的距离为
4 4

新课标第一网不用注册,免费下载!
4

25 3 ? ? 7t ? t 2 ? 25l n1 (? t ) ? = 4 ? 25 ln 5 . ?0 v(t )dt ? ?0 (7 ? 3t ? 1 ? t )dt ? ? 2 ? ?0
【21】 (B,湖北,理 8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积 分别记为 V1 , V 2 , V3 , V 4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

第 8 题图 考点名称 空间几何体与三视图 【21】 (B,湖北,理 8) C 解析:显然 V2 ? V3 ,所以 B 不正确. 又 V1 ?

第 9 题图

?

7 (2 2 ? 12 ? 2 ?1) ? ? , V2 ? ? ?1? 22 ? 2? , 3 3

1 28 ,从而 V2 ? V1 ? V3 ? V4 . V3 ? 23 ? 8 , V4 ? (4 2 ? 2 2 ? 4 ? 2) ? 3 3
【26】 (B,湖北,理 9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体. 经过 搅 拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X ,则 X 的均值 E ( X ) ? A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

考点名称 统计 【26】 (B,湖北,理 9)B 125 个同样大小的小正方体的面数共有 125× 6=750,涂了油漆的面数有 25× 6=150. 每一个小正方体的一个面涂漆的频率为

150 1 1 6 ? ,则它的涂漆面数为 X 的均值 E ( X ) ? ? 6 ? . 750 5 5 5
www.xkb1.com

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com
1 2 1 2

新课标第一网不用注册,免费下载!

【29】 (C,湖北,理 10)已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? 考点名称 导数及其应用 【29】 (C,湖北,理 10)D 解析: f ' ( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ,由 f (x) ? x(ln x ?ax) 由两个极值点,得 f ' ( x) ? 0 有两个不等的实数解,即 B. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? D. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

ln x ? 2ax ? 1 有两个实数解,从而直线 y ? 2ax ? 1 与曲线 y ? ln x 有两个交点. 过点(0,-1)作 y ? ln x
的切线,设切点为(x0,y0) ,则切线的斜率 k ?

1 1 ,切线方程为 y ? x ? 1 . 切点在切线上,则 x0 x0

y0 ?

x0 则 ln x0 ? 0 ? x0 ? 1 , 即切点为 (1, 0) , 切线方程为 y ? x ? 1 . ? 1 ? 0 ,又切点在曲线 y ? ln x 上, x0

再由直线 y ? 2ax ? 1 与曲线 y ? ln x 有两个交点.,知直线 y ? 2ax ? 1 位于两直线 y ? 0 和 y ? x ? 1 之间, 如图所示,其斜率 2a 满足:0<2a<1,解得 0<a< 以 f ( x1 ) ? f (1) ? f ( x2 ) ,而 f (1) ? ? a ? ( ?

1 . .则这函数的两个极点 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,所 2

1 ,0) ,即 2

1 f ( x1 ) ? ?a ? f ( x2 ) ,所以 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? . 2
【26】 (A,湖北,理 11)从某小区抽取 100 户居民进行月用 电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率分布直 方图如图所示. (Ⅰ)直方图中 x 的值为_________; (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间 [100, 250) 内的户数为 _________. 考点名称 统计 【26】 (A,湖北,理 11) (Ⅰ)0.0044 (Ⅱ)70 解析: (Ⅰ)
是 开始

a ? 10, i ? 1

a ? 4?




第 11 题图
a 是奇数 ?



x?

1 [1 ? 50(0.0060 ? 0.0036 ? 2 ? 0.0024 ? 0.0012 )] 50

a ? 3a ? 1

a?

a 2

输出 i

=0.0044;
新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

i ? i ?1

结束

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

(Ⅱ)用电量落在区间 [100, 250) 内的户数为 (0.0036? 0.0060? 0.0044 ) ? 50?100 ? 70 . 【24】 (A,湖北,理 12)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ? _________. 考点名称 算法初步与框图 【24】 (A,湖北,理 12)5
12 ?5 ?题图 4 ,则执行程序, 解析:已知初始值 a ? 10, i ? 1,∵ a ? 10 ? 4 ,则执行程序,得 a ? 5, i ? 2 ;因为 a 第

得 a ? 16, i ? 3 ; a ? 16 ? 4 ,则第三次执行程序,得 a ? 8, i ? 4 ;∵ a ? 8 ? 4 ,则第四次执行程序,得

a ? 4, i ? 5 ;∵ a ? 4 ,执行输出 i, i ? 5 .
【13】 (C,湖北,理 13)设 x, y , z ? R ,且满足: x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ? _________. 考点名称 【13】 (C,湖北,理 13) 解析: 【39】 (湖北理 14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1,3,6,10, ? , 第 n 个三角形数为 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

3 14 7

n(n ? 1) 1 2 1 以下列出了部分 k 边形数中第 n ? n ? n . 记第 n 个 k 边形数为 N (n, k ) (k ? 3) , 2 2 2

1 1 N (n,3) ? n2 ? n , 2 2
N (n, 4) ? n2 ,

3 1 N (n,5) ? n2 ? n , 2 2
N (n,6) ? 2n2 ? n ,

……………………………………… 可以推测 N (n, k ) 的表达式,由此计算 N (10, 24) ? _________. 考点名称 创新与拓展 【13】 (C,湖北,理 13)1000 解析:三角形数 正方形数

1 1 N (n,3) ? n2 ? n , 2 2
N (n, 4) ? n2

= ( ? )n ? ( ? )n ,
2 2个 1 2

1 1 2? 2 ? ?

1 2

1 2

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com
五边形数

新课标第一网不用注册,免费下载!

1 1 1 2 1 1 1 3 1 N (n,5) ? n2 ? n = ( ? ? )n ? ( ? ? )n , 2 2 2? 2? 2 2 2 2 ? ? ?
3个 1 2

六边形数

N (n,6) ? 2n2 ? n

=( ?

1 1 1 1 2 1 1 1 1 ? ? )n ? ( ? ? ? )n = , 2? 2?? 2? 2 2 2? 2 2 ? ? ? ??
4个 1 2 2个? 1 2

………………………………………

1 1 推测 k 边形 N (n, k ) ? ( 1 ? 1 ? ... ? 1 ? 1 )n 2 ? ( 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 )n ? ( k ? 2) n 2 ? ( k ? 4) n .
2? 2 2 ? ???2 ??
( k ?2)个 1 2

2

2? 2 2 2 ? ? ??? ?
( k ? 4 ) 个? 1 2

2

2

所以 N (10,24) ?

1 1 ? (24 ? 2) ?10 2 ? ? (24 ? 4) ?10 ? 1100 ? 100 ? 1000 . 2 2

【37】 (B,湖北,理 15)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射影为 E .若
AB ? 3AD ,则

CE 的值为_________. EO

考点名称 选修 4-1:几何证明选讲 【37】 (B,湖北,理 15)8 解析:根据题设,易知 OC ? AO ? 3DO , Rt△ ODE∽Rt△ DCE∽Rt△ OCD, ∴
2 2 2

C
E D O

A

B

OD CD OC 3 ? ? ? ,即 CO=3OD=9OE, OE DE OD 1
2 2 2

第 15 题图

在 Rt△ ODE 中, DE ? DO ? OE ? 9OE ? OE ? 8OE ,

在 Rt△ CDE 中, CE ? CD ? DE ? 9DE ? DE ? 8DE ? 64OE ,即
2 2 2 2 2 2
2

CE CE 2 ?8. ? 64 ,∴ 2 EO EO

【36】 (A,湖北,理 16)
? x ? a cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, a ? b ? 0 ). 在 ? y ? b sin ?

极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴

π 2 为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ? sin(? ? ) ? m (m 为非零常数) 4 2
与 ? ? b . 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为_________. 考点名称 选修 4-4:坐标系与参数方程

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!
2 2

x y 6 【36】 (A,湖北,理 16) 椭圆 C 的方程可以化为 2 ? 2 ? 1 ,圆 O 的方程可化为 x 2 ? y 2 ? b 2 ,直线 3 a b
l 的方程可化为 x ? y ? m ,因为直线 l 经过椭圆的焦点,且与圆 O 相切,则 c ? m , b ?

2 m, 2

a?

c m 6 m2 6 . ? ? m2 ? m ,所以椭圆的离心率 e ? ? a 3 2 2 6m 2

【10】 (B,湖北,理 17)在△ ABC 中,角 A ,B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 考点名称 解三角形 【10】 (B,湖北,理 17) (Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C) ?1 ,得 2cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 , 即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得 cos A ? 因为 0 ? A ? π ,所以 A ?

1 或 cos A ? ?2 (舍去). 2

π . 3

1 1 3 3 ? bc ? 5 3, 得 bc ? 20 . 又 b ? 5 ,知 c ? 4 . (Ⅱ)由 S ? bc sin A ? bc ? 2 2 2 4

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ? 21 .

b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? . a a a 21 4 7
【19】 (B,湖北,理 18)已知等比数列 {an } 满足: | a2 ? a3 | ? 10 , a1a2 a3 ? 125 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 m ,使得 考点名称 等比数列
3 3 ? ?a q ? 125, 【19】 (B,湖北,理 18) (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q,则由已知可得 ? 1 2 ? ?| a1q ? a1q |? 10,

1 1 1 ? ?? ? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. a1 a2 am

5 ? ?a1 ? ?5, ? a1 ? , 解得 ? 3 或? ?q ? ?1. ? ? q ? 3,

5 故 an ? ? 3n?1 ,或 an ? ?5 ? (?1)n?1 . 3
新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

1 3 1 3 1 5 1 (Ⅱ)若 an ? ? 3n?1 ,则 ? ? ( ) n ?1 ,故 { } 是首项为 ,公比为 的等比数列, an 5 3 5 3 3 an

3 1 ? [1 ? ( )m ] 1 5 9 1 9 3 从而 ? ? ? ? [1 ? ( )m ] ? ? 1 . 1 10 3 10 n ?1 an 1? 3
m

若 an ? (?5) ? (?1)n?1 ,则
m

1 1 1 1 ? ? (?1) n ?1 ,故 { } 是首项为 ? ,公比为 ?1 的等比数列, an 5 5 an

从而 ?

? 1 1 ?? , m ? 2k ? 1 (k ? N? ), ?? 5 n ?1 an ? ?0, m ? 2k (k ? N? ).
1 ?1. n ?1 an
m

故?

1 ?1. a n ?1 n

m

综上,对任何正整数 m ,总有 ? 故不存在正整数 m ,使得

1 1 1 ? ?? ? ? 1 成立. a1 a2 am

【23】 (B,湖北,理 19)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的 点,直线 PC ? 平面 ABC , E , F 分别是 PA , PC 的中点. (Ⅰ)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置 关系,并加以证明;

???? 1 ??? ? (Ⅱ) 设 (Ⅰ) 中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D , 且点 Q 满足 DQ ? CP . 2
记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 ? ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 第 19 题图

? ,二面角 E ? l ? C 的大小为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? .
考点名称 空间向量与立体几何 【23】 (B,湖北,理 19) (Ⅰ)直线 l ∥平面 PAC ,证明如下: 连接 EF ,因为 E , F 分别是 PA , PC 的中点,所以 EF ∥ AC . 又 EF ? 平面 ABC ,且 AC ? 平面 ABC ,所以 EF ∥平面 ABC . 而 EF ? 平面 BEF ,且平面 BEF ? 平面 ABC ? l ,所以 EF ∥ l . 因为 l ? 平面 PAC , EF ? 平面 PAC ,所以直线 l ∥平面 PAC . (Ⅱ) (综合法)如图 1,连接 BD ,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD ,且 l ∥ AC . 因为 AB 是 ? O 的直径,所以 AC ? BC ,于是 l ? BC . 已知 PC ? 平面 ABC ,而 l ? 平面 ABC ,所以 PC ? l . 而 PC ? BC ? C ,所以 l ? 平面 PBC . 连接 BE , BF ,因为 BF ? 平面 PBC ,所以 l ? BF .
新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

第 19 题解答图 1

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

故 ?CBF 就是二面角 E ? l ? C 的平面角,即 ?CBF ? ? .

???? 1 ??? ? 1 由 DQ ? CP ,作 DQ ∥ CP ,且 DQ ? CP . 2 2
连接 PQ , DF ,因为 F 是 CP 的中点, CP ? 2 PF ,所以 DQ ? PF , 从而四边形 DQPF 是平行四边形, PQ ∥ FD . 连接 CD ,因为 PC ? 平面 ABC ,所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影, 故 ?CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即 ?CDF ? ? . 又 BD ? 平面 PBC ,有 BD ? BF ,知 ?BDF 为锐角, 故 ?BDF 为异面直线 PQ 与 EF 所成的角,即 ?BDF ? ? , 于是在 Rt △ DCF , Rt △ FBD , Rt △ BCF 中,分别可得

sin ? ?

CF BF CF , sin ? ? , sin ? ? , DF DF BF

从而 sin ? sin ? ?

CF BF CF ? ? ? sin ? ,即 sin ? ? sin ? sin ? . BF DF DF

???? 1 ??? ? 1 (Ⅱ) (向量法)如图 2,由 DQ ? CP ,作 DQ ∥ CP ,且 DQ ? CP . 2 2
连接 PQ , EF , BE , BF , BD ,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD . ??? ? ??? ? ??? ? 以点 C 为原点,向量 CA, CB, CP 所在直线分别为 x, y, z 轴,建立如图所 示的空间直角坐标系,设 CA ? a, CB ? b, CP ? 2c ,则有
C (0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, b, 0), P(0, 0, 2c), Q(a, b, c) ,

1 E( a, 0, c), F (0, 0, c) . 2

第 19 题解答图 2

??? ? ??? ? ??? ? 1 于是 FE ? ( a, 0, 0) , QP ? (?a, ? b, c) , BF ? (0, ? b, c) , 2 ??? ? ??? ? | FE ? QP | a b2 ? c 2 ??? ? ??? ? ? 所以 cos ? ? ,从而 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? . | FE | ? | QP | a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? c 2 ??? ? | m ? QP | c ??? ? ? 又取平面 ABC 的一个法向量为 m ? (0, 0, 1) ,可得 sin ? ? , 2 | m | ? | QP | a ? b2 ? c 2

设平面 BEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ? ?n ? FE ? 0, 所以由 ? ??? ? ? ?n ? BF ? 0,

?1 ? ax ? 0, 可得 ? 2 ? ??by ? cz ? 0.

取 n ? (0, c, b) .

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com
于是 | cos ? | ?

新课标第一网不用注册,免费下载!

|m?n| b c ? ,从而 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? . 2 2 2 | m |?| n | b ?c b ? c2

故 sin ? sin ? ?

b2 ? c 2 a ?b ?c
2 2 2

?

c b ?c
2 2

?

c a ? b2 ? c 2
2

? sin ? ,即 sin ? ? sin ? sin ? .

【40】 (B,湖北,理 20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N (800, 502 ) 的随机变量. 记 一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p 0 . (Ⅰ)求 p 0 的值;
)6 8 2 0 .? (参考数据: 若 X ~ N (? , ? 2 ) , 有 P( ? ? ? ? X ? ? ? ? P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .) P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , ,

(Ⅱ)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次. A 、

B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元
/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆. 若每天要以不 小于 p 0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆? 考点名称 随机变量及其分布,简单的线性规划 【40】 (B,湖北,理 20) (Ⅰ)由于随机变量 X 服从正态分布 N (800, 502 ) ,故有 ? ? 800 , ? ? 50
P(700 ? X ? 900) ? 0.9544 .

由正态分布的对称性,可得
p0 ? P( X ? 900) ? P( X ? 800) ? P(800 ? X ? 900)

?

1 1 ? P(700 ? X ? 900) ? 0.9772 . 2 2

(Ⅱ)设 A 型、 B 型车辆的数量分别为 x, y 辆,则相应的营 运成本为 1600 x ? 2400 y . 依题意, x, y 还需满足:
x ? y ? 21, y ? x ? 7, P( X ? 36 x ? 60 y) ? p0 .
X ?3 6x ? 6 0) y ? p 由 (Ⅰ) 知,p0 ? P( X ? 900) , 故 P(
0

等价于 36 x ? 60 y ? 900 .

? x ? y ? 21, ? y ? x ? 7, ? 于是问题等价于求满足约束条件 ? ?36 x ? 60 y ? 900, ? ? x, y ? 0,x, y ? N,
新课标第一网系列资料

第 20 题解答图
www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

且使目标函数 z ? 1600 x ? 2400 y 达到最小的 x, y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12), Q(7,14), R(15,6) . 由图可知,当直线 z ? 1600 x ? 2400 y 经过可行域的点 P 时,直线 z ? 1600 x ? 2400 y 在 y 轴上截距 最小,即 z 取得最小值. 故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆. 【16】 (C,湖北,理 21)如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长 轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴 重合的直线 l 与 C1 ,C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A, B, C, D. 记

z 2400

y
A B

??

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S 2 . n

M

O C
D
第 21 题图

N x

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ? 并说明理由. 考点名称 直线与圆锥曲线 【16】 (C,湖北,理 21)依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为
C1 :

m x2 y 2 x2 y 2 C , : ? ? 1 ? 2 ? 1 . 其中 a ? m ? n ? 0 , ? ? ? 1. 2 2 2 2 n a m a n

(Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 ,则

S1 ?

S | BD | 1 1 1 1 . | BD | ? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? 2 2 2 2 S2 | AB |

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , yB ? n , yD ? ?m , 于是 若
| BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1

S1 ? ?1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 . 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则
| BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;

S1 ?

1 1 1 1 | BD | ? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | . 2 2 2 2

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com
所以 若
S1 | BD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . S2 | AB | m ? n ? ? 1

新课标第一网不用注册,免费下载!

S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . ? ? ,则 ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 .

y

A B

y
A

M

O C
D 第 21 题解答图 1

N x

B

M

O

N x

C
D
第 21 题解答图 2

(Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? 又 S1 ?
| ? ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 .

S | BD | 1 1 | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . 2 2 S2 | AB |

由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,
| AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是

| AD | ? ? 1 . ? | BC | ? ? 1
将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得
xA ? am a k ?m
2 2 2



, xB ?

an a k 2 ? n2
2

.

根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是

1 ? k 2 | xA ? xD | 2 xA m a2 k 2 ? n2 | AD | . ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m
从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . a 2 k 2 ? m2 ? (? ? 1)
新课标第一网系列资料




www.xkb1.com

www.xkb1.com
令t ?

新课标第一网不用注册,免费下载!

n 2 (? 2 t 2 ? 1) ? ?1 ,则由 m ? n ,可得 t ? 1,于是由③可解得 k 2 ? 2 . a (1 ? t 2 ) ? (? ? 1) n 2 (? 2 t 2 ? 1) ?0, a 2 (1 ? t 2 )

因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ? 即

1

?

2

) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得

1

?

? t ?1,

1

?

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? 又 S1 ?
| ? ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 .

S | BD | 1 1 | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? ??. 2 2 S2 | AB |

因为

1 ? k 2 | xB ? xD | xA ? xB x | BD | ? ?1 . ? ? ? ? ,所以 A ? 2 | AB | xB ? ? 1 1 ? k | xA ? xB | xA ? xB

由点 A( xA , kxA ) , B( xB , kxB ) 分别在 C1,C2 上,可得
x A 2 ? xB 2 k 2 ( x A 2 ? ? 2 x B 2 ) xA2 k 2 xA2 xB 2 k 2 xB 2 ? ?0, , ,两式相减可得 ? ? 1 ? ? 1 a2 m2 a2 m2 a2 n2

依题意 xA ? xB ? 0 ,所以 xA2 ? xB 2 . 所以由上式解得 k 2 ? 因为 k 2 ? 0 ,所以由 从而 1 ?

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) . a 2 (? 2 xB 2 ? xA2 )

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) x ? 0 ,可解得 1 ? A ? ? . a 2 (? 2 xB 2 ? x A 2 ) xB

? ?1 ? ? ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . 【40】 (湖北理 22)设 n 是正整数, r 为正有理数.
新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

(Ⅰ)求函数 f ( x) ? (1 ? x)r ?1 ? (r ? 1) x ? 1 ( x ? ?1) 的最小值; (Ⅱ)证明:

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ; ? nr ? r ?1 r ?1

? 3? (Ⅲ)设 x ? R ,记 ? ? x? ? 为不小于 ? 2? ? ? 2,? ?π? ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 . ...x 的最小整数,例如 ? ? 2?

令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? ? 3 125 ,求 ? ?S ? ? 的值. (参考数据: 80 3 ? 344.7 , 813 ? 350.5 , 124 3 ? 618.3 , 126 3 ? 631.7 ) 考点名称 导数,函数的性质,不等式,创新与拓展,交汇与整合 【40】 (湖北理 22) (Ⅰ)因为 f ?( x) ? (r ? 1)(1 ? x)r ? (r ? 1) ? (r ? 1)[(1 ? x)r ? 1] ,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? 0 . 当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( ?1, 0) 内是减函数; 当 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 内是增函数. 故函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ) ,当 x ? ( ?1, ??) 时,有 f ( x ) ? f (0) ? 0 ,即
(1 ? x)r ?1 ? 1 ? (r ? 1) x ,且等号当且仅当 x ? 0 时成立,
4 4 4 4

故当 x ? ?1且 x ? 0 时,有
(1 ? x)r ?1 ? 1 ? (r ? 1) x .



在①中,令 x ?

1 1 r ?1 (这时 x ? ?1且 x ? 0 ) ,得 (1 ? )r ?1 ? 1 ? . n n n

上式两边同乘 n r ?1 ,得 (n ? 1)r ?1 ? n r ?1 ? n r (r ? 1) ,即

nr ?

(n ? 1)r ?1 ? nr ?1 . r ?1



1 当 n ? 1 时,在①中令 x ? ? (这时 x ? ?1且 x ? 0 ) ,类似可得 n

nr ?

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 . r ?1



且当 n ? 1 时,③也成立. 综合②,③得

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ? nr ? . r ?1 r ?1



1 (Ⅲ)在④中,令 r ? , n 分别取值 81,82,83,…,125,得 3
新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

www.xkb1.com
3 3 ( 81 ? 80 )< 3 81 ? (82 ? 81 ) , 4 4
4 4 4 4 3 3 ( 82 3 ? 813)< 3 82 ? (83 3 ? 82 3 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 83 3 ? 82 3) ? 3 83 ? (84 3 ? 83 3 ) , 4 4 4 3 4 3 4 3 4 3

新课标第一网不用注册,免费下载!

………
4 4 4 4 3 3 ( 125 3 ? 124 3) ? 3 125 ? (126 3 ? 125 3 ) . 4 4

将以上各式相加,并整理得
4 4 4 4 3 3 ( 125 3 ? 80 3) ? S ? (126 3 ? 813 ) . 4 4

4 4 4 4 3 3 代入数据计算,可得 ( 1253 ? 80 3) ? 210.2 , ( 126 3 ? 813) ? 210.9 . 4 4

由? ?S ? ? 的定义,得 ? ?S ? ? ? 211 . 新|课|标|第|一|网

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com


赞助商链接
更多相关文档:

2010年高考湖北卷理科试题全解析

2010年高考湖北理科试题解析 - 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工农医类解析) 本试题卷共 4 页,三大题 21 小题。全卷满分 150 分...

2013年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版 Word版含答...

2013年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版 Word版含答案 - 2013 年湖北省理科数学高考试题 WORD 解析版 一、选择题 1、在复平面内,复数 z ? A. 第一象限...

2013年高考文科数学湖北卷试题与答案word解析版__独自整理

2013年高考文科数学湖北试题答案word解析版__独自整理_高考_高中教育_教育专区。2013年高考文科数学湖北试题答案word解析版__独自整理 ...

2013年湖北高考英语试卷及答案(word版)

2013年湖北高考英语试卷答案(word版) - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 第一节:多项选择(共 10 小题;每小题 1 分,满分 10 分) 21. ...

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷...

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷,有答案) - 2013 年普通高等学校统一考试试题 A卷 2013 年湖北省理科数学高考试题 WORD 解析版 一、选择题...

2018年高考理科数学试题及答案(湖北)

2018年高考理科数学试题及答案(湖北) - 绝密★启用前 2005 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学试题卷(理工农医类) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 ...

2013年湖北省高考数学理科试题及答案

2013年湖北省高考数学理科试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2013年湖北省高考数学理科试题及答案(word) 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北...

2013湖北高考数学试卷及答案(文科)_图文

2013湖北高考数学试卷及答案(文科) - 2013 年湖北高考文科数学试题及答案解析 1 2013 年湖北高考文科数学试题及答案解析 2 2013 年湖北高考文科数学试题及答案解析...

2013年高考湖北语文试卷及答案 (1)

2013年高考湖北语文试卷答案 (1) - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 语文 本试题卷共 8 页,六大题 23 小题。全卷满分 150 分。考试用时 ...

2006年湖北高考理科数学试卷及答案

2006年湖北高考理科数学试卷答案 - 2006 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 理工农医类) 数学(理工农医类) 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com