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福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中考试数学(文)

厦门双十中学 2015 届高三数学(文)期中考试卷
2014.11.13 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? x ?1 ? x ? 2, x ? Z ,集合 B ? ?0, 2, 4? ,则 A ? B 等于 A. ?? 1,0,1,2,4? B. ?? 1,0,2,4? C. ?0, 2, 4? D. ?0, 1, 2, 4?

?

?

2.如图在复平面内,复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 OA, OB ,则复数 z1 ? z 2 的值是 A. ? 1 ? 2i B. ? 2 ? 2i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

3.若向量 a ? ? 2,0?, b ? ?1,1? ,则下列结论正确的是 A. a ? b ? 1 B. | a |?| b | C. ( a ? b ) ? b D. a // b

4. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 +a8 =16 ,则该数列前 11 项和 S11 = A.58
2 2

B.88

C.143

D.176

x y 5.已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a= a 3 A.2 6. 已知函数 f ( x) ? ? A. B. 6 2 C. 5 2 D.1 )

?2 x ? 1, x ? 1, ? 若 f ( f (0)) =4 a ,则实数 a =( 2 ? ? x ? ax, x ? 1.
B.

1 2

4 5

C. 2

D. 9

7.设抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 A.4 B.6 C.8 D.12

2 8. “ a ? ?1 ”是“一元二次方程 x ? x ? a ? 0 有一个正根和一个负根”的

A.充分而不必要条件 C.充要条件 9.当 x>1 时,不等式 x+ A.(-∞,2] 10. 已知函数 f ?x ? ? cos

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ?1
B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]

2? ?? ? cos? ? 2 x ? ,则函数 f ? x ? 满足 3 ?2 ?
B. 若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ;
来源

A. f ( x) 的最小正周期是 2? ; C. f ( x) 的图象关于直线 x ?

3? 对称; 4

[

D.当 x ? ??

? 3 3? ? ? ?? , , ? 时, f ( x) 的值域为 ?? ?. ? 6 3? ? 4 4 ?

? x ? y ? 1, ? 11.若 x,y 满足 ? x ? y ? ?1,且z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则实数 a 的取值范围是 ?2 x ? y ? 2, ?

A. a ? ?? 4,0?

B.

a ? ?0,2?

C. a ? (?4, 2)

D。 a ? ?? 4,0? ? ?0,2?

12.已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3x ,若 ?ABC 中,角 C 是钝角,那么 A. f ? sin A? ? f ? cos B ? C. f ? sin A? ? f ?sin B ? 二.填空题(每题 4 分,共 16 分) 13. 函数 y ? B. f ? sin A? ? f ? cos B ? D. f ? sin A? ? f ?sin B ?

2x ? 3 的定义域为_________ x


? 3 14. 已知 ? 为钝角,且 cos( ? ? ) ? ? ,则 sin 2? = 2 5

15.圆心在直线 x ? 2 y ? 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3 ,则圆 C 的标准方程 为 。

16. 给出下列四个命题中: ③ ?x ? R, e x ? x ? 1 其中所有真命题的序号是 三.解答题

①命题: ?x ? R,sin x ? cos x ? 3 ; ② ?x ? ? ??,0? ,2x ? 3x ④对 ? ? x, y ? ? .

?? x, y ? 4 x ? 3 y ? 10 ? 0? ,则 x2 ? y2 ? 4 .

17. (本小题满分 12 分)已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(4,3) ,C(3,-2) ,求: (1)BC 边上的高所在直线方程的一般式; (2)求 ?ABC的面积.

18.(本小题满分 13 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B , a = 3, cos B ? (Ⅰ) 求 b 的值;
2 . 3

?? ? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?

19. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 5 , S9 ? 99 .

(Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)若数列 ?

? 4 ? 1 ? 的前 n 项和 Tn ,试求 Tn 并证明不等式 ? Tn ? 1 成立. 2 2 ? an ? 1?

x2 y 2 20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆 E 的 方 程 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , 它 的 两 个 焦 点 为 a b F1 ?5 3, 0 , F2 5 3, 0 ,P 为椭圆的一点(点 P 在第三象限上), 且 ?PF1F2 的周长为 20 ? 10 3 ,

?

? ?

?

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)若以点 P 为圆心的圆过椭圆的左顶点 M 与点 C ? ?2,0 ? , MP 交圆 P 与另一点 N,若点 A 在椭圆 E 上,使得

AM ? AN ? ?32 ,求点 A 的坐标.

y A M
F1

C P N

O

F2

x

第 20 题图

21. (本小题满分 12 分) 经过多年的运作, “双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接 2014 年“双

十一” 网购狂欢节, 某厂商拟投入适当的广告费, 对网上所售产品进行促销. 经调查测算, 该促销产品在 “双 十一”的销售量 P 万件与促销费用 x 万元满足 P ? 3 ?

2 (其中 0 ? x ? a ,a 为正常数).已知生产该批 x ?1

产品 P 万件还需投入成本 10 ? 2 P 万元(不含促销费用),产品的销售价格定为 ( 4 ? 生产能力完全能满足市场的销售需求. (Ⅰ)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (Ⅱ)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

20 ) 元/件,假定厂家的 P

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x ? 1 , g ( x) = ax - 1- ln x (Ⅰ)求 f(x)的最小值; (Ⅱ)讨论函数 g ? x ? 的单调性; (Ⅲ)是否存在常数 K,使

K ? ex ? f ? ? x ? 恒成立,若存在,求出 K 的最大值,若不存在,说明理由. f ? x?
2014.11.13

厦门双十中学 2015 届高三数学(文)期中考试卷
11. C【解析】画出区域图,可知当 a ? 0 时, z ? 2 y ,即 y ? 当 a ? 0 时, y ? ?

1 z ,符合题意; 2

a 1 a x ? z ,斜率 ? ? ?1,即 0 ? a ? 2 时符合题意; 2 2 2 a 1 a 当 a ? 0 时, y ? ? x ? z ,斜率 ? ? 2 ,即 ? 4 ? a ? 0 时符合题意; 综上, a ? (?4, 2) 2 2 2
12【解析】因为 f ? x ? ? x ? 3x ,所以 f ? ? x ? ? 3x ? 3 ? 3? x ? 1?? x ?1? ,
3 2

故函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上是减函数,又 A、B 都是锐角,且 A ? B ? 所以 0 ? A ?

?
2

?
2
?

?B?

?
2

,所以 sin A ? sin ? 14. ?
24 25

?? ? ? B ? ? cos B ,故 f ?sin A? ? f ? cos B ? 选 A ?2 ?
2 2

二、 13. ?? 3 ,0 ? ? ? ?0,??? ?
? 2

15. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4

16. ③ ④

16. ③ ④ 【解析】 sin x ? cos x ?

?? ? 2 sin ? x ? ? ? 2 故①错;画 y ? 2x , y ? 3x 图可知②错; 4? ?

x x 设 f ? x ? ? e ? ? x ? 1? , f ? ? x ? ? e ?1,可知 f ? x ? 在 ? ??,0? 减,在 ? 0, ??? 递增,

f ? x?min ? f ? 0? ? 0 ; ③ 正确 x 2 ? y 2 为原点到 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 的距离的平方,为 4,所以 ④正确.

三.解答题 17. (1)∵ kBC=5

∴ BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k= ?

1 ------------------2 分 5

∴ AD 所在直线方程 y+1= ?

1 (x-2) ----------------5 分 5

即:x+5y+3=0 ----------------6 分

(2)求得 BC 直线方程为:5x-y-17=0-----------7 分 点 A 到直线 BC 距离为

6 26

-------------10 分

BC ? 26 -----------------11 分

? S ?ABC ? 3 --------------12 分

18 解:(Ⅰ)因为 b sin A ? 3c sin B ,据正弦定理可得 ab ? 3bc --------------------------1 分 因为 a = 3 ,得 c ? 1 ------------------------------------------------3 分 所以 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 9 ? 1 ? 6 ?

2 ? 6 ------------------------------5 分 3

得 b ? 6 -------------------------------------------------------------6 分 (Ⅱ)
2 5 --------------------------------------7 分 ? sin B ? 3 3 ?? ? ? 1 3 ? 所以 sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? sin 2 B ? cos 2 B ---------------9 分 3? 3 3 2 2 ?

B ? ? 0, ? ? ,且 cos B ?

3 5 2 3 ? 4 ? 4 5? 3 ? ? 2cos 2 B ? 1? ? ? ? ? ? 2 ? ? 1? ? ------12 分 2 3 3 2 ? 9 ? 18 19. (1)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , ? a2 ? 5 , S9 ? 99 ? sin B cos B ?

? 99 ?

9 ? ? a1 ? a9 ? 2

? 9a5 ,得 a5 ? 11

?3d ? a5 ? a2 ? 6 ,? d ? 2 , a1 ? 3 ----------------------------------------------4 分 ? an ? 2n ? 1 --------------------------------------------------------------------------6 分 4 4 1 1 1 ? ? ? ? (Ⅱ) bn ? 2 ------------------------------9 分 an ? 1 4n ? n ? 1? n ? n ? 1? n n ? 1
1 ? ? 1? ?1 1? ?1 ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1? 1 ?1? ? 1 ------------------------------------------11 分 n ?1 1 1 ? 0 ,所以 Tn ? Tn ?1 ? ? T1 ? 又因为 Tn ?1 ? Tn ? 2 ? n ? 1?? n ? 2? ?Tn ? b1 ? b2 ?
所以

1 ? Tn ? 1 2

-----------------------------------------------------------------12 分

20.解: ( Ⅰ)依题意得: F1F2 ? 10 3, 又 PF1 ? PF2 ? 2a, 则有 2a ? 2c ? 20+10 3 ? a ? 10, b ? 5 ,

?????1 分

??????????----???2 分 ??????????????4 分 ??????????????5 分

x2 y 2 ? ?1 椭圆 E 的方程: 100 25
(Ⅱ)解法一: 由( 1 )得 M ? ?10,0 ? , C ? ?2,0 ?

???????????????6 分

设点 P ? m, n ? ,则有 m ? 又:

?10 ? (?2) ? ?6 , 2
??????????????8 分 ????????????????9 分

m2 n2 ? ? 1, ? n ? ?4 ,即 P ? ?6, ?4? , 100 25 P 为 MN 的中点,可得 N ? ?2, ?8?

设 A? x, y ? ,? AM ? ? ?10 ? x, ? y ? , AN ? ? ?2 ? x, ?8 ? y ? ,

? AM AN ? ? ?10 ? x ?? ?2 ? x ? ? ? ? y ?? ?8 ? y ? ? x2 ? 12 x ? 20 ? y 2 ? 8 y ???????10 分
? AM AN ? ? x ? 6 ? ? ? y ? 4 ? ? 32 ? ?32 ,
2 2

???????????11 分 ????????????????---?12 分

得 x ? ?6, y ? ?4 时,? A? ?6, ?4? 21.(1)由题意知, y ? (4 ?

20 ) p ? x ? (10 ? 2 p) ,----------------------------------------------3 分 p 2 4 ? x ( 0 ? x ? a ). ----------------------- 6 分 将 p ? 3? 代入化简得: y ? 16 ? x ?1 x ?1
(2) y? ? ?1 ? 当 a ? 1 时,

?4

? x ? 1?

2

?

? ? x ? 1? ? 4
2

? x ? 1?

2

??

x2 ? 2 x ? 3

? x ? 1?

2

??

? x ? 3?? x ? 1? ? x ? 1?
2

4 在 ? 0,1? 上单调递增 x ?1 4 在 ?1, a ? 上单调递减 x ? ?1,a ? 时 y ? ? 0 ,所以函数 y ? 16 ? x ? x ?1
x ? ? 0,1? 时 y ? ? 0 , 所以函数 y ? 16 ? x ?
促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大;------------------------------------------------------9 分 当 a ? 1 时, 因为函数 y ? 16 ? x ?

4 在 ? 0,1? 上单调递增 x ?1

y ? 16 ? x ?

所以 x ? a 时,函数有最大值.即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大 . 综上,当 a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时, 促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大 -------------------------------12 分 (注:当 a ? 1 时,也可: y ? 17 ? ( 当且仅当

4 在 ? 0, a ? 上单调递增, x ?1

4 4 ? x ? 1) ? 17 ? 2 ? ( x ? 1) ? 13 , x ?1 x ?1

4 ? x ? 1,即x ? 1 时,上式取等号) x ?1

22【解析】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+?) 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

f(x)的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . ---------------------1 分

1 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e

从而 f(x)在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ------------------------------------------------3 分 所以,当 x ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1 时,f(x)取得最小值 1 ? . -------------------------------------------------------------4 分 e e

(Ⅱ)

g ( x) ? ax ?1 ? ln x,? f ( x)的定义域为(0, ??) ,

f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, ??) 是单调递减函数;-------------------------------------------5 分

?x ? 当 a >0 时,令 f ?( x) ? 0,
x f′ (x) f(x)

1 ? (0, ??), f ?( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: a 1 1 1 ( ,+ (0, ) a a a
↘ 0 极小值 + ↗

)

从上表可以看出:当 a >0 时,f(x)在区间上 ( , + 在上(0, (Ⅲ)

1 a

) 是单调增函数------------------------------7 分

1 )是单调递减函数 -------------------------------------8 分 a

1 f ? x? ? 1? ? 0 e

? ? ?x ? e ? e x? f x 1 ? ln

x 所以

K ? ex ? f ? ? x ? , 恒成立 f ? x?

即 K ? ? ex ?1 ? ln x ? ? f ? x ? 恒成立--------------------------------------------------------------------9 分 由(Ⅱ)可知,当 a ? e , g ? x ? ? ex ?1? ln x 在区间 ? 0, ? 上是减函数, 在区间 ( , +

? ?

1? e?

1 e

) 上是增函数

故当 x ?

1 ?1? 时, g ? x ? ? ex ?1? ln x 的最小值为 g ? ? ? 1 ----------------11 分 e ?e? 1 1 ?1? 时,f(x)取得最小值 f ? ? ? 1 ? >0 -----------12 分 e e ?e? 1 1 时,取得最小值 1 ? e e

又由(Ⅰ)可知,当 x ?

故函数 y ? ? ex ?1? ln x ? ? f ? x ? 当 x ?

? K ? 1?
即 K 的最大值为 1 ?

1 e

--------------------------------------------------------------------------------13 分

1 ---------------------------------------------------------------------14 分 e


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