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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:如何求异面直线所的成角

年 级 高二 刘咏霞 学 一校 科 数学 付秋花 二校 版 本 黄楠 通用版 审核 张利婷 课程标题 编稿老师 如何求异面直线所成的角 一、异面直线所成的角 1. 定义:直线 a,b 是异面直线,经过空间任意一点,分别引直线 a1∥a,b1∥b,我们把 直线 a1 和 b1 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。 2. 范围:异面直线所成的角的范围 ? 0, ? 2 ? ? ?? ? 二、求异面直线所成的角的方法 方法一: (几何法)找 ? 作(平移法、补形法) ? 证 ? 指 ? 求 该法求异面直线所成的角体现的是数学的转化思想,就是把空间的角转化为平面的角, 再利用解三角形的知识解答。 方法二: (向量坐标法)cos ? ? m?n m n ,其中 ? 为异面直线 m、n 所成的角, m、n 分 ? ? 别是直线 m、n 的方向向量。该法体现了形向数转化的思想。 方法三: (空间向量基本定理法)利用空间向量基本定理和数量积定义。该法体现了空 间形的关系向向量转化的思想。 三、温馨提示 (1)如果你解三角形得到的角 ? 的余弦是一个负值,如 cos ? ? ? 1 ,你不能说两条 2 -120° =60° 异面直线所成的角为 120° ,你应该说两条异面直线所成的角为 180° ,因为两条异 面直线所成的角的范围为 ? ? ? 0, ? 。 (2) 异面直线所成角的大小只和两条异面直线的位置有关, 而和点 O 位置的选择无关。 (3)如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直。 ? ?? ? 2? 例题 1 如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是( ) A. arccos 15 5 B. ? 4 C. arccos 10 5 D. ? 2 1 解析:连 B1G, 则 A1E∥B1G, 知∠B1G F 就是异面直线 A1E 与 GF 所成的角. 在△B1GF 中,由余弦定理,得 cosB1GF= B1G 2 ? GF 2 ? B1F 2 ( 2)2 ? ( 3) 2 ? ( 5) 2 =0, ? 2 B1G GF 2? 2 ? 3 故∠B1G F=90° ,应选(D)。 答案:D 点拨:本题是过异面直线 FG 上的一点 G,作 B1G,则 A1E∥B1G,知∠B1G F 就是所求 的角,从而纳入三角形中解决。 解题步骤:找→作(平移法、补形法)→证(定义)→指→求(解三角形) 例题 2 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA1 ? 4 , 点D 为 AB 的中点。 (1)求证 AC ? BC1 ; [来源] (2)求证 AC1 ? 平面 CDB1 ; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值。 解析:∵直三棱锥 ABC ? A1B1C1 底面三边长 AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 , AC, BC, CC1 两两垂直。 如图建立坐标系,则 C(0,0,0) ,A(3,0,0) ,C1(0, 0,4) ,B(0,4,0) ,B1 2 (0,4,4) ,D( 3 ,2,0) 2 (1) AC ? (?3,0,0), BC1 ? (0, 4, 4) ,? AC ? BC1 ? 0 ,? AC ? BC1 。 (2)设 CB1 与 C1 B 的交点为 E,则 E(0,2,2) 3 DE ? (? , 0, 2), AC1 ? (?3, 0, 4), 2 1 ? DE ? AC1 ,? DE ∥ AC1 2 ? DC 平面 CDB1 , AC1 ? 平面 CDB1 ? AC1 // 平面CDB1 。 (3) AC1 ? (?3,0, 4), CB1 ? (0, 4, 4), AC1 ? CB1 | AC1 || CB1 | ? 2 2 5 ? cos ? AC1 , CB1 ?? ∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 C1 z A1 2 2 。 5 B1 E B x A C D y 答案: (1) (2)见解析; (3) 点拨: 使用情景 解题步骤 式 cos ? ? 2 2 5 图形中没有两条异面直线所成的角或不便作出或很容易建立空间坐标系。 建立空间直角坐标系→两条直线 m、n 对应的向量 m 、 n 的坐标→代入公 →写出两条异面直线所成角 α 的大小 m?n m n 例题 如图所示,在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4, 点 D 是 BC 的中点。 (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值。 3 解析:(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0, 0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4), → → 所以A1B=(2,0,-4),C1D=(1,-1,-4), → → A1B· C1D 18 3 10 → → 因为 cos〈A1B,C1D〉= = = ,所以异面直线 A1B 与 C1D 所成 → → 10 20× 18 |A1B||C1D| 3 10 角的余弦值为 。 10 → → (2)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,y,z),因为AD=(1,1,0),AC1=(0, → → 2,4),所以 n1· AD=0,n1· AC1=0,即 x+y=0 且 y+2z=0,取 z=1,得 x=2,y=-2, 所以,n1=(2,-2,1)是平面 ADC1 的一个法向量,取平面 AA1B 的一个法向量为 n2= (0,1,0)

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