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(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题5.3 平面向量的数量积及其应用(讲)


第 03 节 考 点 考纲内容 平面向量的数量积及其应用 【考纲解读】 5 年统计 分析预测 1.以考查向量的数量 积、夹角、模为主, 基本稳定为选择题或 填空题,难度中等以 下; ①理解平面向量数量积 的概念及其意义,了解 平面向量的数量积与向 量投影的关系。 2014?浙江文 9;理 8; 平面向量 的数量积 ②掌握平面向量数量积 的坐标运算,掌握数量 积与两个向量的夹角之 间的关系。 ③会用坐标表示平面向 量的平行与垂直。 2015?浙江文 13;理 15; 2016·浙江文理 15; 2017?浙江 10,15. 2013?浙江文 17;理 7,17; 2.与三角函数、解析 几何等相结合,以工 具的形式进行考查. 3.备考重点: (1) 理解数量积的 概念是基础,掌握数 量积的两种运算的方 法是关键; (2)解答与平面几何、 三角函数、解析几何 等交汇问题时,注意 运用数形结合的数学 思想,通过建立平面 直角坐标系,利用坐 标运算解题. 【知识清单】 1.平面向量的数量积及其运算 一、两个向量的夹角 1.定义 已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角. ??? ? ??? ? 2.范围 向量夹角 θ 的范围是 0°≤θ ≤180°a 与 b 同向时,夹角 θ =0°;a 与 b 反向时,夹角 θ =180°. 3.向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 90°,则 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 二、平面向量数量积 1. 已知两个非零向量 a 与 b, 则数量|a||b|·cos θ 叫做 a 与 b 的数量积, 记作 a·b, 即 a·b =|a||b|cos θ ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. 规定 0·a=0. 当 a⊥b 时,θ =90°,这时 a·b=0. 2.a·b 的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 三、向量数量积的性质 1.如果 e 是单位向量,则 a·e=e·a. 2.a⊥b ? a·b=0. 3.a·a=|a| , |a|= a ? a . 2 4.cos θ = a ?b .(θ 为 a 与 b 的夹角) | a || b | 5.|a·b|≤|a||b|. 四、数量积的运算律 1.交换律:a·b=b·a. 2.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. 3.对λ ∈R,λ (a·b)=(λ a)·b=a·(λ b). 五、数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则: 1.a·b=a1b1+a2b2. 2.a⊥b ? a1b1+a2b2=0. 3.|a|= a1+a2. 4.cos θ = 2 2 a ?b a1b1 ? a2b2 = .(θ 为 a 与 b 的夹角) 2 | a || b | a1 ? a22 b12 ? b2 2 对点练习: 【2017 北京,理 6】设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ? ,使得 m ? ? n ”是“ m ? n < 0 ” 的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】若 ?? ? 0 ,使 m ? ? n ,即两向量反向,夹角是 1800 ,那么 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m ? n ? m n cos1800 ? ? m n ? 0 T,若 m ? n ? 0 ,那么两向量的夹角为

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