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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:深入解读点、线、面间位置关系

年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 深入解读点、线、面间的位置关系 刘咏霞 一校 黄楠 二校 林卉 审核 张利婷 1. 公理 1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线上的 在这个平面内。这时我们说,直线在平面内或 平面经过直线 。 公理 1 作用: ①用来判断直线是否在平面内; ②说明平面是无限延展的。 所有的点 都 2. 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合 是 经过这个公共点的一条直线 公理 2 作用: ①用来证明两个平面是相交的关系; ②证明点在直线上,即两个平面的公共点在这两个平面的公共直线上; ③是证明点共线的依据, 若干个点都是两个平面的公共点, 则它们都在两个平面的交线 上;即这些点共线。 ④是判定线共点的依据。 3. 公理 3:经过 不在同一条直线上 的三点,有且只有一个平面。或简单说成: ,有且只有一个平面; 不 共线 的三点确定一个平面。 推论 1:经过一条直线和这条 推论 2:经过两条 推论 3:经过两条 直线外的一点 相交 直线,有且只有一个平面; 平行 直线,有且只有一个平面。 。 公理 3 及推论的作用: ①证明平面的唯一性或若干个平面重合; ②根据公理 3 及推论构造辅助平面; ③判定点共面、线共面的依据。 注意: 平面几何中的定理在立体几何中不一定适用。过去学过的平面几何中的定理都是在“在 同一平面内”这一前提条件下的,也就是说定理中图形都是平面图形。而立体几何中使用这 些定理时,就要注意它们的前提条件,以判断是否成立。如空间中“若两条直线都垂直于同 一条直线,则这两条直线平行”和“若两条直线都平行于同一条直线,则这两条直线平行”, 这两个结论前者是错误的,后者是成立的。所以,在立体几何中应用平面几何定理时,要先 判断一下针对的是否是平面图形。在判断时,有时要利用平面的基本性质。 证明多点共线 1 例题 1 已知△ABC 在平面 α 外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图所示。 求证:P、Q、R 三点共线。 证明:方法一 ∵AB∩α=P, ∴P∈AB,P∈平面 α。 又 AB? 平面 ABC,∴P∈平面 ABC。 ∴由公理 2 可知: 点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上, 同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上。 ∴P、Q、R 三点共线。 方法二 ∵AP∩AR=A, ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR。 又∵AB∩α=P,AC∩α=R, ∴平面 APR∩平面 α=PR。 ∵B∈平面 APR,C∈平面 APR,∴BC? 平面 APR。 ∵Q∈BC,∴Q∈平面 APR,又 Q∈α, ∴Q∈PR, ∴P、Q、R 三点共线。 点拨:证明多点共线的方法是利用公理 2,只须说明这些点都是两个平面的公共点,则 必在这两个面的交线上。也可考虑为点 P、R 确定一条直线,Q 也在这条直线上,这也是证 明共点、共线、共面问题的常用方法。 证明多线共点 例题 2 在四面体 ABCD 中,E,G 分别为 BC,AB 的中点,F 在 CD 上,H 在 AD 上, 且有 DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求证:EF,GH,BD 交于一点。 证明:∵E,G 分别为 BC,AB 的中点, ∴GE∥AC。 又∵DF∶FC=DH∶HA=2∶3,∴FH∥AC, 从而 FH∥GE。故 E,F,H,G 四点共面。 ∴四边形 EFHG 是一个梯形,GH 和 EF 交于一点 O。 ∵O 在平面 ABD 内,又在平面 BCD 内, ∴O 在这两个平面的交线上。 2 而这两个平面的交线是 BD,且交线只有这一条, ∴点 O 在直线 BD 上。 ∴EF,GH,BD 交于一点。 点拨: 证明若干条线共点, 一般可先证其中两条相交于一点, 再证其他线也过该点即可, 而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线。 本题在解答中注意应用两个相交平面的公共点 必然在它们的交线上这一结论。 证明点或线共面 例题 3 如图, 已知直线 l 和三条平行直线 a, b, c 分别相交于 A, B, C, 求证:l ,a, b, c 四条直线共面。 解析: 给出四条直线中任何两条均可确定平面, 再证明另外两条直线也在这一平面内即 可。 答案:证明:∵ a ∥ b, ∴ a, b 可确定平面 ? , ∵ A ? a, B ? b, ∴l ?? 。 ∵b ∥c , 假设 c ? ? ∴ b, c可确定平面? . ∴? ∴? ? ? b, l ? ? , l ? ? ? ?l b 与 l 重合,与已知矛盾。 ∴c ?? ∴ l , a, b, c四条直线共面 。 点拨:1. 此题在证明过程中运用了证明直线共面的两种基本方法:①两点法:先作一 个平面,再证直线上有两个点在此平面内,如此题中证 l ? ? ;②辅助平面法:分别过某些 点和直线作多个平面,再证明这些平面重合。 2. 本题的结论可以推广为:与一条直线都相交的所有平行直线都共面。 小结:证明点、 线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线) 在这个平面内;或先由部分点、线确定平面,再由其他点、线确定平面,然后证明这些平面 重合。注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用。 利用基本定理作截面 例题 如图,P、Q、R 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AA1,BB1,DD1 上的三点, 3 试作出过 P,Q,R 三点的截面图。 解析:作法: (1)连接 PQ,延长并交 A1B1 的延长线于 T; (2)连接 PR,延长并交 A1D1 的延长线于 S; (3)连接 ST 交 C1D1、B1C1 分别于 M,N,则线段 MN 为平面 PQR 与面 A1B1C1D1 的交 线; (4)连接 RM,QN,则线段 RM,QN 分别是平面 PQR 与平面 DCC1D1,平

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