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山东省青岛市2013届高三自评试题(二模)理数


高三自评试题 数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科 目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,甩 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
2 1.已知全集 U ? x x ? 0 , M ? x x ? 2 x ,则 CU M ?

?

?

?

?

A. x x ? 2

?

?

B. x x ? 2

?

? ?

C. x x ? 0或x ? 2

?

?

D. x 0 ? x ? 2

?

2.复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 2i ,则复数 z 的实部与虚部之和为 A. ?2 B.2 C.1
2

D.0

3.“ a ? 3 ”是“ ?x ??1,2? , x ? a ? 0 ”为真命题的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 31 ,则框图中①处可以填入 A. n ? 8 B. n ? 16 C. n ? 32 D. n ? 64

5.下列函数中,与函数 y ? A. y ?

3

1 定义域相同的函数为 x
C. y ?

1 sin x
n

B. y ?

ln x x

cos x x

D. y ? x3ex

2 3 n * 6.若 ?1 ? x ? ? 1 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? ?+ an x n ? N ,且 a1 : a3 ? 1: 7 ,则 n=

?

?

A.8

B.9

C.7

D.10

7.已知函数 f ? x ? ? 2 2 sin x cos x ,为了得到函数 g ? x ? ? sin 2x ? cos 2x 的图象,只需要将

y ? f ? x ? 的图象
? 个单位长度 4 ? C.向右平移 个单位长度 8
A.向右平移 8.已知 F1、 2 分别是双曲线 C : F

? 个单位长度 4 ? D.向左平移 个单位长度 8
B.向左平移

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、 右焦点, 为双曲线右支上的一点, P a 2 b2 ???? ???? ? ? ???? ???? ? PF2 ? F1 F2 , 且 PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线的离心率为
B. 1 ? 2 C. 2 2 D. 1 ? 5

A. 3

9. 定 义 : min ?a, b? ? ?

?a, a ? b ,在区域 ?b, a ? b

?0 ? x ? 2 内 任 取 一 点 P ? x, y ? , 则 x 、 y 满 足 ? ?0 ? y ? 6

min ? x 2 ? x ? 2 y, x ? y ? 4? ? x 2 ? x ? 2 y 的概率为
A.

5 9

B.

2 9

C.

1 3

D.

4 9

10.已知数列 ?an ? 是以 3 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一最小 项,则数列 ?an ? 的首项 a1 的取值范围是 A. ? ?30, ?27? C. ? ?30, ?27? B. ? 30,33? D. ?30,33?

11.某几何体的三视图如图所示, 当这个几何体的体积最大时, 以下结果正确的是

A. a ? b ? 8

B. b ? 4

C. a ? 1

D. a ? 2

12. 设 函 数 y ? f? ?x ? ? , ? ? 有 定 义 , 对 于 给 定 的 实 数 k , 定 义 函 数 在 ? ? 内

x k ? f ? x , ?f ? ? ? 1 ? 2 3 g ? x? ? ? , 设 函 数 f ? x? ? x ? x? x ? , 若 对 任 意 的 x? ? ? ? ? ?恒 有 , ? e ?k , f ? x ? ? k ?

g ? x? ? f? ? ,则 x
A. k 的最大值为 ?2 B. k 的最小值为 ?2 C. k 的最大值为 2 D.k 的最小值为 2

第 II 卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

共 90 分)

13.已知两条直线 y ? ax ? 2和3x ? ? a ? 2? y ?1 ? 0 互相垂直,则 a 等于_______; 14.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的统计资料:根

? 据该表可得回归方程 ? ? 1.23x ? a ,据此模型估计, y
该型号机器使用年限为 9 年的维修费用大约为 _________万元. 15. 已知 l,m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列五个命题: ① 若l ? ? , 且? / / ? , 则l / /? ;②若 l ? ? , 且? / / ? , 则l ? ? ③ 若l ? ? , 且? ? ? , 则l / /? ;④若 ? ? ? ? m, 且l / / m, 则l / /? ⑤若 ? ? ? ? m, l / /? , l / / ? , 则l / / m .则所有正确命题的序号是________. 16.一同学为研究函数

f ? x ? ? 1 ? x 2 ? 1 ? ?1 ? x ? ? 0 ? x ? 1? 的性质,构造了如图所示的两具边长为 1 的正方形
2

ABCD 和 BEFC,点 P 是边 BC 上的一动点,设 CP ? x ,则

AP ? PF ? f ? x . 请 你 参 考 这 些 信 息 , 推 知 函 数 ? g ? x ? ? 3 f ? x ? ? 7 的零点的个数是________.

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? (I)求函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上的单调递减区间;

? ?

??

2 ? ? 2cos x . 6?

(II)设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 f ? A? ? 0 ,若向量 m ? ?1,sin B ? 与向 量 n ? ? 2,sin C ? 共线,求

??

?

a 的值. b

18. (本小题满分 12 分)如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 1, E为CD 的中点,F 为 AE 的中点.现在沿 AE 将三角形 ADE 向上折起,在折起的图形中解答下列两句: (I)在线段 AB 上是否存在一点 K,使 BC//面 DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说 明理由; (II)若面 ADE ? 面 ABCE,求二面角 E—A—D—B 的余弦值.

19.甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为

1 ,乙、丙做对的概率分别为 2

且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数, 其分布列为: m和n ? m ? n? , (I)求 m,n 的值;
2 ,上不单调 ,求 P(E) (II)记事件 E ? 函数f ? x ? ? ?2 x ? 3? x ? 1在区间? ?11? ;

?

?

(III)令 ? =12E ?? ? ?10 ,试计算

? ? ?1 ? 2 x ?dx 的值.
?
?

20.(本小题满分 12 分)
* 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a1 ? a2 ? ??? ? an ?1 ? an ? ?1 n ? 2且n ? N .

?

?

(I)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;
2 2 an?1 ? an? 2 S (II) 令d n ? 1 ? log a ? a ? 0, a ? 1? ,记数列 ?dn ? 的前 n 项和为 Sn , 若 2n 恒为一个与 5 Sn

n 无关的常数 ? ,试求常数 a 和 ? .

x2 y 2 21. 本小题满分 13 分) ( 已知点 F ?1,0 ? 为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点, 过点 A? a,0? 、 a b

B ? 0, b? 的直线与圆 x 2 ? y 2 ?
(I)求椭圆 C 的方程;

12 相切. 7

(II)过点 F 的直线交椭圆 C 于 M、N 两点,求证:

1 1 ? 为定值. MF NF

22.(本小题满分 13 分)已知 p ? ? x, m ? , q ? ? x ? a,1? ,二次函数 f ? x ? ? p ? q ? 1 ,关于 x 的不 等式 f

?

? ? ?

? x? ? ? 2 m?1?
f ? x? . x ?1

2 x?1 ? m 的 解 集 为 ? ??, m? ? ? m ?1, ??? , 其 中 m 为 非 零 常 数 , 设

g ? x? ?

(I)求 a 的值; (II) 若存在一条与 y 轴垂直的直线和函数 ? ? x ? ? g ? x ? ? x ? ln x 的图象相切, 且切点的横坐标 x0 满足 x0 ?1 ? x0 ? 3 ,求实数 m 的取值范围; (III)当实数 k 取何值时,函数 ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ?1? 存在极值?并求出相应的极值点.


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