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2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:10-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理


05 限时规范特训
A级 基础达标 1. [2014· 聊城模拟]将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人,每人 1 张,则不同的分法种数有( A.2610 C.240 )

B.720 D.120

解析:第 1 张有 10 种分法,第 2 张有 9 种分法,第 3 张有 8 种 分法,∴一共有 10×9×8=720(种). 答案:B 2.某城市的街道如图,某人要从 A 地前往 B 地,则路程最短的 走法有( )

A.8 种 C.12 种

B.10 种 D.32 种

解析:从 A 到 B 若路程最短,需要走三段横线段和两段竖线段, 可转化为三个 a 和两个 b 的不同排法,第一步:先排 a 有 C3 5种排法, 第二步:再排 b 有 1 种排法,共有 10 种排法,选 B 项. 答案:B 3.某县从 10 名大学毕业的选调生中选 3 个人担任镇长助理,则 甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( A.85 B.56 )

C.49

D.28

解析: 由条件可分为两类: 一类是甲、 乙 2 人只入选一个的选法,
2 2 1 有 C1 2×C7=42 种;另一类是甲、乙都入选的选法,有 C2×C7=7 种,

所以共有 42+7=49 种,选 C. 答案:C 4.体育场南侧有 4 个大门,北侧有 3 个大门,某人到该体育场 晨练,则他进出门的方案有( A. 12 种 C. 24 种 ) B. 7 种 D. 49 种

解析:第一步,他进门,有 7 种选择;第二步,他出门,有 7 种 选择.根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有 7×7=49(种). 答案:D 5.[2014· 郑州模拟]5 位同学站成一排准备照相的时候,有两位 老师碰巧路过,同学们强烈要求与老师合影留念,如果 5 位同学顺序 一定,那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为( A.6 C.30 B.20 D.42 )

解析:因为五位学生已经排好,第一位老师站进去有 6 种选择, 当第一位老师站好后,第二位老师站进去有 7 种选择,所以两位老师 与学生站成一排的站法共有 6×7=42 种. 答案:D 6.暑假期间,华光中学安排 3 名职工从周一到周五值班,每天 只安排一名职工值班,每人至少安排一天,至多安排两天,且这两天 必须相邻,那么不同的安排方法有( A.10 种 B.12 种 )

C.18 种

D.36 种

解析: 这五天可分成三组, 共三种情况: (1,2), (3,4), 5; 1, (2,3),
3 (4,5);(1,2),3,(4,5),因此不同的安排方法 3A3 =18 种.

答案:C 7. [2014· 贵阳模拟]三张卡片的正反面分别写有 1 和 2,3 和 4,5 和 6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6 不能作 9 用)的个数为 ( ) A.8 C.14 B.6 D.48

解析:先排首位 6 种可能,十位数从剩下 2 张卡中任取一数有 4 种可能,个位数 1 张卡片有 2 种可能,∴一共有 6×4×2=48(种). 答案:D 8.如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫作“好 数”, 那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中, “好 数”共有________个.
1 解析:当相同的数字不是 1 时,有 C3 个;当相同的数字是 1 时, 1 1 1 1 共有 C3 C3个, 由分类加法计数原理知共有“好数”C1 3+C3C3=12 个.

答案:12 9.[2014· 伊春调研]某校有 6 间不同的电脑室,每天晚上至少开 放 2 间,要求不同安排方案的种数.现有四位同学分别给出下列四个
2 3 4 5 6 结果:①C6 ;②C6 +2C6 +C6 +C6 ;③26-7;④A2 6.其中正确结论的序

号是________.
4 3 4 5 6 2 3 解析:用直接法:因为 C2 6=C6,故 C6+2C6+C6+C6=C6+C6+ 5 6 0 1 6 C4 6+C6+C6,故②正确;用间接法:因为 C6+C6=7,所以 2 -7,

故③正确. 答案:②③

10.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有 多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项,每项人数不限; (2)每项限报一人,且每人至多参加一项; (3)每项限报一人,但每人参加的项目不限. 解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有 3 种不 同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得共有不同的报名方法 36=729 种. (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人, 第一个项目有 6 种选法,第二个项目有 5 种选法,第三个项目只有 4 种选法,根据分步乘法计数原理,可得共有不同的报名方法 6×5×4 =120 种. (3)每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选 出一人参赛,根据分步乘法计数原理,可得共有不同的报名方法 63 =216 种. 11. [2014· 钦州模拟]从 2 名女教师和 5 名男教师中选出 3 名教师 (至少有 1 名女教师)参加某考场的监考工作.要求 1 名女教师在室内 流动监考,另外 2 名教师固定在室内监考,求有多少种不同的安排方 案. 解:分两类进行:第一类,在 2 名女教师中选出 1 名,从 5 名男
2 教师中选出 2 名,且该女教师只能在室内流动监考,有 C1 2×C5种选 2 1 法;第二类,选 2 名女教师和 1 名男教师,有 C2 ×C5 种选法,再从 1 1 选中的 2 名女教师中选 1 名作为室内流动监考人员, 即有 C2 2×C5×C2 2 2 1 1 种选法.∴共有 C1 2×C5+C2×C5×C2=30 种不同的安排方案.

12.7 个人排成一排,按下列要求各有多少种排法?

(1)其中甲不站排头,乙不站排尾; (2)其中甲、乙、丙 3 人必须相邻; (3)其中甲、乙、丙 3 人两两不相邻; (4)其中甲、乙中间有且只有 1 人; (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列.
6 解:(1)方法一(直接法):如果甲站排尾,其余 6 人有 A6 种排法, 1 1 5 如果甲站中间 5 个位置中的一个,而乙不站排尾,则有 A5 A5A5种排 6 1 5 法,故共有排法 A6 +A1 5A5A5=3720 种. 7 方法二(间接法):7 个人排成一排有 A7 种排法,其中甲在排头有 6 6 5 A6 种排法,乙在排尾有 A6 种排法,甲在排头且乙在排尾共有 A5 种排 7 6 5 法,故共有排法 A7 -A6 6-A6+A5=3720 种.

(2)(捆绑法)将甲、乙、丙捆在一起作为一个元素与其他 4 个元素
3 作全排列有 A5 5种,然后甲、乙、丙内部再作全排列有 A3种,故有不 5 3 同的排法 A5 A3=720 种. 4 (3)(插空法)先排甲、乙、丙外的 4 人有 A4 种排法,这四人之间及

两端留出五个空位,然后把甲、乙、丙插入到五个空位中有 A3 5种排
3 法,故共有 A4 4A5=1440 种排法.

(4)甲、乙两人有 A2 2种排法,现从剩下的五人中选一个插入甲、 乙中间,有 A1 5种排法,然后再将这三人看作一个元素,和其他四个
2 1 5 元素作全排列,有 A5 5种排法,故共有 A2A5A5=1200 种排法. 7 (5)七个人的全排列为 A7 ,其中若只看甲、乙、丙不同顺序的排

法有 A3 3种排法,但只有一种顺序符合要求,故符合要求的不同排法 A7 7 有A3=840 种. 3

B级

知能提升 1.[2014· 青岛模拟]如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图

画,现有要求在其余四个区域中涂色,现有四种颜色可供选择.要求 每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方 法种数为( )

A.64 C.84

B.72 D.96

解析:分成两类:A 和 C 同色时有 4×3×3=36(种);A 和 C 不 同色时 4×3×2×2=48(种),∴一共有 36+48=84(种). 答案:C 2.[2013· 湖南长郡中学、衡阳八中等十二校一联]用红、黄、蓝 三种颜色去涂图中标号为 1、2、?、9 的 9 个小正方形(如图),使得 任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为 1、5、 9 的小正方形涂相同的颜色, 则符合条件的所有涂法共有________种. 1 4 7 2 5 8 3 6 9

解析:把区域分为三部分,第一部分 1、5、9,有 3 种涂法.第 二部分 4、7、8,当 5、7 同色时,4、8 各有 2 种涂法,共 4 种涂法; 当 5、7 异色时,7 有 2 种涂法,4、8 均只有 1 种涂法,故第二部分

共 4+2=6 种涂法.第三部分与第二部分一样,共 6 种涂法.由分步 计数原理,可得共有 3×6×6=108 种涂法. 答案:108 3.[2014· 济南模拟]某区有 7 条南北向街道,5 条东西向街道(如 图).

(1)图中共有多少个矩形? (2)从 A 点走向 B 点最短的走法有多少种? 解:本题主要考查组合问题的求解,解题关键是合理选取格点. (1)在 7 条竖线中任选 2 条,5 条横线中任选 2 条,这样的 4 条线
2 2 可组成 1 个矩形,故可组成矩形 C7 C5=210 个.

(2)每条东西向街道被分成 6 段, 每条南北向街道被分成 4 段. 从 A 到 B 最短的走法中,无论怎样走,一定包括 10 段,其中 6 段方向 相同,另 4 段方向也相同.每种走法即是从 10 段中选出 6 段,这 6
6 段是东西方向的(剩下 4 段即是走南北方向的), 共有 C10 =210 种走法

(同样可以从 10 段中选 4 段走南北方向,每种选法是 1 种走法,即 C4 10=210).


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