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河南省扶沟县高级中学2016届高三上学期开学考试数学(文)试题


2015 年高三数学试卷(文)

命题人 :温馨 第Ⅰ卷

审题:张宝安

吴磊

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一个选项符合题目要求. 1.已知集合 A ? x x ? a , B ? x 1 ? x ? 2 ,且 A ? ?C R B ? ? R ,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2 ) D. 4

?

?

?

?

2.若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( A.

4 i 5

B.

4 5

C. 4i

2 3.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,计算出它们的相关指数 R 如

下,其中拟合效果最好的模型是 ( A.模型 1(相关指数 R 为 0.97) C.模型 3(相关指数 R 为 0.56 ) 4. ?ABC 的三个内角为 A,B,C,若
2 2

) B.模型 2(相关指数 R 为 0.89) D.模型 4(相关指数 R 为 0.45) )
2 2

sin A ? 3 cos A 5? ? tan ,则 sinBsin C 的最大值为( 6 cos A ? 3 sin A
C

A

3 4

B

1

1 2

D 2

?x ? 2 y ? 0 ? 5. 设 z ? x ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大为 6 ,则 z 的最小值为( ?0? y?k ?
A. ?3 B. ?2 C. ?1
2

)

D. 0

6. 设 M ? x0 , y0 ? 为抛物线 C : y ? 8x 上一点,F 为抛物线 C 的 焦点, 若以 F 为圆心,FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交, 则 x0 的取值范围是 A. (2 , ? ?) ( ) C. (0 , 2) ( D. (0 , 4) ) D.

B. (4 , ? ?)

7. 执行如图的程序框图,则输出 S 的值为 A. 2016 B. 2 C.

1 2

8.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8 ) , 则

a5 的值为( a3



A.

1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

5 6

? ?? ? ? 9. 将奇函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? x ? ? 的图象向左平移 个单位得到的 2 2? 6 ?
图象关于原点对称,则 ? 的值可以为( A.6 B.3 C.4 D.2 )

10.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 时,有 xf′(x)﹣f(x)>0 恒成立,则不等式 x ?f(x)>0 的解集为( A. (﹣2,2) C. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 11 .已知 F1 、 F2 分别是双曲线
2

) B. (﹣2,0)∪(2,+∞) D. (﹣∞,﹣2)∪(0,2)

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点 ,P 为双曲线右支上的任意一点且 a 2 b2


| PF1 |2 ? 8a ,则双曲线离心率的取值范围是( | PF2 |
A. (1,2] B. D. [3,+ ? )

12.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实 取值范围是( )

数a的

A. (-?,0) B. (0, )

1 2

C. ( 0, 1)

D.

( 0, +? )
第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分, 案填写在题中横线上) 把 答

13.右图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为

____________

14.已知向量 a 与 b 的夹角为

?

?

? ? ? ? ? ,且 a ? b ? 3 ,则 | a ? b | 的最小值为_________ 6

15.在 ?ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,D 在 BC 边上, ?ADC ? 75?, 求 AD 的长为____________ 16.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, an?1 ? (?1)n an ? cos(n ? 1)? ,记 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 则 S 2015 ? .

三:解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 在Δ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c . 若 4 sin A sin B - 4 cos2 (1)求角 C 的大小; (2)已知

A? B ? 2 ?2. 2

a sin B ? 4 ,Δ ABC 的面积为 8 . 求边长 c 的值. sin A

18. (本小题满分 12 分) 某批次的某种灯泡共 200 个,对其寿命进行追踪调查,将结果列 成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等 于 500 天的灯泡是优等品,寿命小于 300 天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品. 寿命(天) 频数 10 30 70 频率

[100, 200) [200,300) [300, 400) [400,500) [500,600)
合计

0.05

a
0.35
0.15

b
60 200

c

1

(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出 a,b,c 的值; (Ⅱ)某人从这 200 个灯泡中随机地购买了 1 个,求此灯泡恰好不 是次品的概率; . (Ⅲ) 某人从这批灯泡中随机地购买了 n(n ? N? ) 个, 如果这 n 个灯泡的等级情况恰好与 按三 个等级分层抽样 所得的结果相同,求 n 的最小值. .. .......

19. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, PA= PD,?BAD ? 60? ,

E 是 AD 的中点,点 Q 在侧棱 PC 上.
(Ⅰ)求证:AD ? 平面 PBE; (Ⅱ)若 Q 是 PC 的中点,求证:PA∥平面 BDQ;

(Ⅲ)若 VP? BCDE ? 2VQ? ABCD ,试求 20. (本小题满分 12 分)

CP 的值. CQ

已知 A(-2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A, B 的动点,△APB 面积的最大值为 2 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 AP 的倾斜角为

3? ,且与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,试判断以 BD 为直径 4

的 圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax+xlnx(a 为常数,e 为自然对数的底数) ,曲线 y=f(x)在点(e,f(e) ) 处的切线方程为 y=3x﹣e. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 k∈Z,且 k< 对任意 x>1 都成立,求 k 的最大值.

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4─1:几何证明选讲. 如图, 已知圆 O 和圆 M 相交于 A, B 两点,AD 为圆 M 的直径, 直线 BD 交圆 O 于点 C ,点 G 为弧 BD 中点,连结 AG 分别 交圆 O、 BD 于点 E , F 连结 CE . (1)求证: AG ? EF ? CE ? GD O· C A E B M · F G D

GF EF 2 ? (2)求证: AG CE 2 .
23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.

1 ? x ? 1 ? t, ? ? x ? cos ? , ? 2 已知直线 ? : ? (t 为参数), 曲线 C1 : ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(I)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;

( ? 为参数).

(II)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到 2 2

曲 线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设不等式 | 2 x ? 1 |? 1 的解集是 M , a, b ? M . (I)试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小;
2 2 ? 2 ? ? 2 a ?b (II)设 max 表示数集 A 的最大数. h ? max? , , ? ,求证: h ? 2 . ? ab b ? ? a

2015 年高三数学试卷参考答案 一、选择题 CBACA, 二、填空题 13, ABDAB, CB

16? 3

14,

3 ?1

15, 6 ? 2

16,-1006

三、解答题 17. 解析:(1)由条件得 4 sin A sin B =2(2 cos2 即 4 sin A sin B = 2 cos(A ? B) ? 化简得 cos( A ? B) ? ? ∵0 ? A? B ? ? 又 A? B?C ?? ∴ ∴

A? B ?1 ) ? 2 2
??2 分

2 = 2(cos A cos B ? sin A sin B) ? 2
?4 分

2 , 2

A? B ?

? 4 (2)由已知及正弦定理得 b ? 4
C=
又 SΔ ABC=8,C=
2

3? 4
?6 分 ???8 分 ???10 分 ?12 分 ???? 4 分

? 4
2



1 ab sin C ? 8 , 得 a ? 4 2 2
2

由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC 得 c ? 4 . 18. (Ⅰ)解: a ? 0.15 , b ? 30 , c ? 0.3 .

(Ⅱ)解:设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件 A . 由表可知:这批灯泡中优等品有 60 个,正品有 100 个,次品有 40 个, 所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为 P ( A) ?

100 ? 60 4 ? . ????? 8 分 200 5

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为 60 :100 : 40 ? 3 : 5 : 2 . 所以按分层抽样法,购买灯泡数 n ? 3k ? 5k ? 2k ? 10k (k ? N? ) , 所以 n 的最小值为 10 . 19. (Ⅰ) 证明:由 E 是 AD 的中点, PA=PD,所以 ?????? 12 分

AD⊥PE;

???2 分
?

又底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60

所以 AB=BD,又因为 E 是 AD 的中点 , 所以 AD⊥BE, 又 PE∩BE=E 所以 AD⊥平面 PBE. ?????? 4 分

(Ⅱ)证明:连接 AC 交 BD 于点 O,连 OQ;因为 O 是 AC 的中点,

Q 是 PC 的中点,所以 OQ//PA,
又 PA ? 平面 BDQ,OQ ? 平面 BDQ,所以 PA//平面 BDQ. (Ⅲ)解:设四棱锥 P-BCDE,Q-ABCD 的高分别为 h1 , h2 . ?????? 8 分

1 1 S BCDE ? h1 , VQ ? ABCD ? S ABCD ? h2 , 3 3 3 又因为 VP?BCDE ? 2VQ? ABCD ,且底面积 S BCDE ? S ABCD , 4
所以 VP ? BCDE ? 所以

CP h1 8 ? ? . CQ h2 3

??? 12 分

20. 解: (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , F (c, 0) . a 2 b2
???2 分

?1 ? ? 2a ? b ? 2 3 , 解得 b ? 3 . 由题意知 ? 2 ? a?2 ?
故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

???4 分

(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可知, c ? 1 , F (1, 0) ,直线 AP 的方程为 y ? ? x ? 2 .

则点 D 坐标为 (2, -4) , BD 中点 E 的坐标为 (2, -2) ,圆的半径 r ? 2

???6 分

? y ? ?x ? 2 ? 由 ? x2 y 2 得 7 x 2 ? 16 x ? 4 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ?4
2 ? x0 ? ? ? ? 7 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? ? y ? ? 12 0 ? 7 ?
因为点 F 坐标为 (1, 0) ,直线 PF 的斜率为 点 E 到直线 PF 的距离 d ? 所以 d ? r .

???8 分

4 ,直线 PF 的方程为: 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 3
???10 分 ???12 分

8?6?4 5

? 2.

故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.

21.解: (1)求导数可得 f′(x)=a+lnx+1, ∵函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3, ∴f′(e)=3,∴a+lne+1=3,∴a=1, ∴f(x)=x+xlnx,f′(x)=lnx+2, 由 f′(x)>0 得 x> ,由 f′(x)<0 得 0<x< . ,+∞) .

∴f(x)的单调递减区间为(0,

) ,单调递增区间为(

(2)当 x>1 时,令 g(x)=

=

,则 g′(x)=



设 h(x)=x﹣2﹣lnx,则 h′(x)=1﹣ = h(x)在(1,+∞)上为增函数, ∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0, ∴? x0∈(3,4) ,且 h(x0)=0,

> 0,

当 x∈(1,x0)时,h(x)<0,g′(x)<0,g(x)在(1,x0)上单调递减; 当 x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,g′(x)>0,g(x)在(x0,+∞)上单调递增. ∴g(x)min=g(x0)= ∵h(x0)=x0﹣2﹣lnx0=0, ∴x0﹣1=1+lnx0,g(x0)=x0, ,

∴k<x0∈(3,4) ,∴k 的最大值为 3.

22 证明:(1)连结 AB , AC , 22. 证明:(1)连结 AB , AC ,∵ AD 为圆 M 的直径,∴ ?ABD ? 90 ,
0

∴ AC 为圆 O 的直径, ∴ ?CEF ? ?AGD , ∵ ?DFG ? ?CFE ,∴ ?ECF ? ?GDF , ∵ G 为弧 BD 中点,∴ ?DAG ? ?GDF , ∵ ?ECB ? ?BAG ,∴ ?DAG ? ?ECF , ∴ ?CEF ∽ ?AGD ,∴

CE AG ? , ? AG ? EF ? CE ? GD EF GD

(2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G , ∴ ?DFG ∽ ?AGD ,∴ DG ? AG?GF ,
2

由(1)知

GF EF2 EF 2 GD 2 ? ? ,∴ . AG CE2 CE 2 AG 2
3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

23.解.(I) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ?

则 | AB |? 1 . ??????5 分

? x? ? ? (II) C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?
从而点 P 到直线 ? 的距离是

1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) , (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 sin ? . 2

d?

|

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4

由此当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为

6 ( 2 ? 1) .????10 分 4

24.解:由 | 2 x ?1|? 1得 ?1 ? 2 x ?1 ? 1, 解得0 ? x ? 1. 所以 M ? {x | 0 ? x ? 1}. (I) 由 a, b ? M ,得 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1,

所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0. 故 ab ? 1 ? a ? b. ??????5 分

(II)由 h ? max?

? 2 ? a
?

,

a2 ? b2 ab
? 2 b

,

2 b
?

} ,得 h ?

2 a

,h?

a2 ? b2 ab

,h ?

2 b



所以 h 3 ?

2 a

a2 ? b2 ab

4(a 2 ? b 2 ) ?8 ab



h ? 2 .??????10 分


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