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2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】三角函数专练


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2012 届高考数学(理)考前 60 天冲刺【六大解答题】 三角函数
1 1.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值. 2. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c ,且 c = 2, C = 60° (1)求

a+b 的值; sin A + sin B

(2)若 a + b = ab ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 。 3.设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 sin ? A ?

? ?

π?

? = cos A . 6?

(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a = 2 ,求 b + c 的最大值. 4,在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 cos 2C = ? . (1)求 sin C 的值; (2)当 a = 2 , 2 sin A = sin C 时,求 b 及 c 的长. 5,已知 ?ABC 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关于 x 的不等式

1 4

x 2 cos C + 4 x sin C + 6 < 0 的解集是空集. (1)求角 C 的最大值; 7 3 (2)若 c = , ?ABC 的面积 S = 3 ,求当角 C 取最大值时 a + b 的值. 2 2 1 2 16.在 ?ABC 中, cos 2 A = cos A ? cos A . 2
(I)求角 A 的大小; (II)若 a = 3 , sin B = 2sin C ,求 S ?ABC . 6.已知函数 f ( x) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0,| ? |<

π , x ∈ R) 2

的图象的一部分如下图所示. (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 y = f ( x) + f ( x + 2) 的最大值与最小值. 7.已知函数 f ( x) = 2 sin(π ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?
1

? π π? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

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8.在 ?ABC 中, a、、 分别为角 A、、 的对边,且满足 b + c ? a = bc . BC bc
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a =

3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y = f ( x ) 的最大值.

9.三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设向量

m = (c ? a, b ? a ), n = (a + b, c) ,若 m // n .
(I)求角 B 的大小; (II)求 sin A + sin C 的取值范围. 10 . 三 角 形 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 的 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 设 向 量









m = (c ? a, b ? a ), n = (a + b, c) ,若 m // n .
(I)求角 B 的大小; (II)求 sin A + sin C 的取值范围. 11. 已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P ( ?3, 3) . (1)求 sin 2α ? tan α 的值; (2)若函数 f ( x ) = cos( x ? α ) cos α ? sin( x ? α ) sin α ,求函数









2π y = 3 f ( ? 2 x ) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. ? 3 ? 2 ? ?
12.设向量 α=( 3 sin 2x,sin x+cos x),β=(1,sin x-cos x),其中 x∈R,函数 R

π

f (x)=α ? β.
(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期;

2 6 r r r 13.设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) r r r (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; r r r r (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b 。
14.已知 △ ABC 的面积为 1 ,且满足 0 < AB? AC ≤ 2 ,设 AB 和 AC 的夹角为 θ . (I)求 θ 的取值范围; (II)求函数 f (θ ) = 2sin 2 ? 15.已知向量 a = (cos
→ →

(Ⅱ) 若 f (θ)= 3 ,其中 0<θ<

π
,求 cos(θ+

π
)的值.





π ?π ? + θ ? ? cos(2θ + ) 的最大值及取得最大值时的 θ 值. 6 ?4 ?

r

r 3 3 x x π 3 x, sin x) , b = (cos ,? sin ) ,且 x ∈ [ , π ] 2 2 2 2 2 2

(1)求 | a + b | 的取值范围;
2

r

r

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(2)求函数 f ( x ) = a ? b ? | a + b | 的最小值,并求此时 x 的值 16.已知 sin( A +

r r

r

r

π
4

)=

7 2 π , A ∈ (0, ). 10 4

(1)求 cos A 的值; (2)求函数 f ( x ) = cos 2 x + 5cos A cos x + 1 的值域。 17. (本小题满分为 12 分)已知△ABC 的周长为 2 + 1 ,且 sin A + sin B =

2 sin c ,角 A、

B、C 所对的边为 a、b、c(1)求 AB 的长; (2)若△ABC 的面积为 sin c 求角 C 的大小。

1 6

2c ? b cos B = cos A . 18、在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 a
(1)求角 A 的大小; (2)若 a = 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值. 19.在 ?ABC 中,

1 cos 2 A = cos 2 A ? cos A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 a = 3 , sin B = 2sin C ,求 S ?ABC . 20.已知向量 m = ( sin A, cos A ) , n = (1, ?2 ) ,且 m?n = 0 。 (1)求 tan A 的值; (2)求函数 f ( x ) = 2 3 1 ? 2 sin 2 x + tan A sin 2 x 的最大值和单调递增区间。 21.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P ( ?3, 3) . (1)求 sin 2α ? tan α 的值; (2)若函数 f ( x ) = cos( x ? α ) cos α ? sin( x ? α ) sin α ,求函数

ur

r

ur r

(

)

2π y = 3 f ( ? 2 x ) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. ? 3 ? 2 ? ? ur r ur r 22.已知 m = (2 cos x + 2 3 sin x,1), n = (cos x, ? y ) ,满足 m ? n = 0 .
(I)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (II)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f( 求 b + c 的 取值范围. 23. 在锐角三角形 ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, b, c , 角 B, 且 (1)求角 A; (2)若 a =
3

π

A ) = 3 ,且 a = 2 , 2

b 2 ? a 2 ? c 2 cos( A + C ) = ac sin A cos A

2 ,求 bc 的取值范围.

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24 . 已 知 ?ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 向 量

m = (2 sin B,? 3) , n = (cos 2 B,2 cos 2
的大小; (Ⅰ)求角 B 的大小;

B ? 1) ,且 m ∥ n , B 为锐角. 为锐角. 2

的最大值. (Ⅱ)如果 b = 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值. 25.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P ( ?3, 3) . (1)求 sin 2α ? tan α 的值; (2)若函数 f ( x ) = cos( x ? α ) cos α ? sin( x ? α ) sin α ,求函数

2π y = 3 f ( ? 2 x ) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. ? 3 ? 2 ? ? uuu uuur r uuu uuu r r 26.三角形 ABC 中, AB ? AC = 1, ? BC = ?3 AB sin( A ? B ) (1)求边 AB 的长度 (2) 求 的值 sin C
解: π π 1 7π 27.已知函数 f(x)=asinx+bcos(x- )的图象经过点( , ),( ,0). 3 3 2 6 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)在[0,π]上的单调递增区间.

π

π 3 1 π (2)由(1)知:f(x)= 3sinx-cos(x- )= sinx- cosx=sin(x- ).(9 分) 3 2 2 6 π π π π 2π 由 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ,解得 2kπ- ≤x≤2kπ+ k∈Z. Z 2 6 2 3 3 2π 2π ∵x∈[0,π],∴x∈[0, ],∴函数 f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0, ]. 3 3 28. 28.已知向量 m = ( 3 sin 2 x + 2, cos x), n = (1,2 cos x), 设函数 f ( x) = m ? n. (I)求 f (x ) 的最小正周期与单调递减区间;

(II) 在△ABC 中,a, b, c 分别是角 A、 C 的对边, f ( A) = 4, b = 1, △ABC 的面积为 B、 若 求 a 的值.

3 , 2

30. 30.某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,

4

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BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的 D 区域上(含边界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的 总长为 ykm。 A (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式;

P

C

O

B

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短 31.设三角形 ABC 的内角 A, B, C , 的对边分别为 a, b, c, a = 4, c = 13 , sin A = 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小.

4 π (? < x < 0) ,求 sin x . 5 2 r 32. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m = ( ?1,1) ,
(3)如果 cos( x + C ) =

r r r 3 n = (cos B cos C , sin B sin C ? ) ,且 m ⊥ n . 2 (1)求 A 的大小; o (2)现在给出下列三个条件:① a = 1 ;② 2c ? ( 3 + 1)b = 0 ;③ B = 45 ,试从中再 选择两个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积.
(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分) . 33. 33.在 ? ABC 中,三个内角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c ,其中 c = 10 ,且 (1)求证: ? ABC 是直角三角形; (2)若 ? ABC 的外接圆为 ? O ,点 P 位于劣弧 ? 上,∠PAB = 60 ,求四边形 ABCP 的 AC
o

cos A b 4 = = 。 cos B a 3

面积。 34.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2 cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2)若 cosB= ,△ABC的周长为5,求b的长. ? 4
(1)求

2012 届高考数学(理)考前 60 天冲刺【六大解答题】三角 函数专练
1 1.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= . 4 (2)求 cos(A-C)的值. 求△ABC 的周长;
5

(1)

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1 2 2 2 【解答】 (1)∵c =a +b -2abcosC=1+4-4× =4, 4 ∴c=2,∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. 15 1 ?1?2 2 (2)∵cosC= ,∴sinC= 1-cos C= 1-? ? = , 4 4 ?4? 15 4 asinC 15 ∴sinA= = = . c 8 2 ∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角,
2

∴cosA= 1-sin A=

1-?

? 15?2 7 ?= . ? 8 ? 8

15 15 11 7 1 ∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= × + × = . 8 4 8 4 16 2. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c ,且 c = 2, C = 60° (1)求

a+b 的值; sin A + sin B

(2)若 a + b = ab ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 。

a b c 2 2 4 3 = = = = = , sin A sin B sin C sin 60° 3 3 2 4 3 4 3 所以 a = sin A, b = sin B , 3 3 4 3 (sin A + sin B ) a+b 4 3 所以 = 3 = . …………………6 分 sin A + sin B sin A + sin B 3 2 2 2 (2)由余弦定理得 c = a + b ? 2ab cos C , 即 4 = a 2 + b 2 ? ab = ( a + b) 2 ? 3ab , 又 a + b = ab ,所以 ( ab) 2 ? 3ab ? 4 = 0 , 解得 ab = 4 或 ab = ?1 (舍去) 1 1 3 所以 S ?ABC = ab sin C = × 4 × = 3. 2 2 2
解: (1)由正弦定理可设 3.设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 sin ? A ?

? ?

π?

? = cos A . 6?

(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a = 2 ,求 b + c 的最大值. 本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查 运算求解能力,考查化归与转化思想. 解法一: (Ⅰ)由已知有 sin A ? cos

π
6

? cos A ? sin

π
6

= cos A ,

6

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故 sin A = 3 cos A , tan A = 3 . 又 0 < A < π ,所以 A = (Ⅱ)由正弦定理得 b =

π
.

3

a ? sin B 4 a ? sin C 4 = sin B, c = = sin C , sin A sin A 3 3

故b + c =

4 3

(sin B + sin C ) .………………………………8 分

2π 2π 3 3 ? 2π ? sin B + sin C = sin B + sin ? ? B ? = sin B + sin ? cos B ? cos ? sin B = sin B + cos B 3 3 2 2 ? 3 ?

π? ? = 3 sin ? B + ? .………………………………10 分 6? ?
所以 b + c = 4 sin( B + 因为 0 < B < ∴当 B +

π
6

).

2π π π 5π ,所以 < B + < . 6 6 6 3 =

π
6

π
2

即 B=

π
3

时 , sin ? B +

? ?

π?

? 取得最大值1, b+ c 取得最大值 6?

4. …………12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. ( Ⅱ ) 由 余 弦 定 理

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A





4 = b 2 + c 2 ? bc ,………………………………8 分
所以 4 = (b + c ) 2 ? 3bc ,即 (b + c) ? 3(
2

b+c 2 ) ≤ 4 ,………………………………10 2



(b + c) 2 ≤ 16 ,故 b + c ≤ 4 .
所以,当且仅当 b = c ,即 ?ABC 为正三角形时, b + c 取得最大值4. …………12 分 4,在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 cos 2C = ? . (1)求 sin C 的值;
7

1 4

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(2)当 a = 2 , 2 sin A = sin C 时,求 b 及 c 的长. (1)解:因为 cos 2C = 1 ? 2 sin C = ?
2

1 ,及 0 < C < π , 4

所以 sin C =

10 . 4

(2)解:当 a = 2, 2sin A = sin C 时, 由正弦定理

a c = ,得 c = 4. sin A sin C 1 2 由 cos 2C = 2 cos C ? 1 = ? , 及 0 < C < π 4 6 . 4
2 2 2

得 cos C = ±

由余弦定理 c = a + b ? 2ab cos C , 得b ±
2

6b ? 12 = 0 , 6或2 6
?b = 2 6 ? 或? ?c = 4. ?

解得 b = 所以 ?

?b = 6, ? ?c = 4 ?

.解:(1) 证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA ∴EC//平面 PDA , ----------2 分 同理可得 BC//平面 PDA ∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC I BC = C ∴平面 BEC //平面 PDA -------4 分 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA -------6 分 (2)∵ PD ⊥ 平面 ABCD , PD ? 平面 PDCE ∴平面 PDCE ⊥ 平面 ABCD ∵ BC ⊥ CD ∴BC ⊥ 平面 PDCE ----------8 分 ∵ S梯形PDCE =

1 1 ( PD + EC ) ? DC = × 3 × 2 = 3 ------10 分 2 2

∴四棱锥 B-CEPD 的体积

1 1 VB ?CEPD = S梯形PDCE ? BC = × 3 × 2 = 2 .----------12 分 3 3 5,已知 ?ABC 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关于 x 的不等式 x 2 cos C + 4 x sin C + 6 < 0 的解集是空集. (1)求角 C 的最大值; 7 3 3 ,求当角 C 取最大值时 a + b 的值. (2)若 c = , ?ABC 的面积 S = 2 2
8

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解: (1)显然 cos C = 0 不合题意,则有 ?

?cos C > 0 ,---------------------2 分 ?? ≤ 0

?cos C > 0 ?cos C > 0 1 ? 即? , 即? 1 , 故 cos C ≥ ,--4 分 2 2 ?16sin C ? 24 cos C ≤ 0 ?cos C ≤ ?2或 cos C ≥ 2 ?
∴角 C 的最大值为 60° 。……………………------------------------------------6 分

1 3 3 ab sin C = ab = 3 ,∴ ab = 6 -------------8 分 2 4 2 2 2 2 2 由余弦定理得 c = a + b ? 2ab cos C = ( a + b) ? 2ab ? 2ab cos C , 121 11 2 2 ,∴ a + b = 。 ∴ ( a + b) = c + 3ab = 4 2 1 2 16.在 ?ABC 中, cos 2 A = cos A ? cos A . 2
(2)当 C = 60° 时, S ?ABC = (I)求角 A 的大小; (II)若 a = 3 , sin B = 2sin C ,求 S ?ABC .

1 (I)由已知得: (2 cos 2 A ? 1) = cos 2 A ? cos A , 解: 2

1 π . Q0 < A < π , ∴ A = . ………………5 分 2 3 b c sin B b (II)由 = 可得: = =2 sin B sin C sin C c ∴ b = 2c ………………8 分 2 2 2 2 b +c ?a 4c + c 2 ? 9 1 cos A = = = ………………10 分 2bc 2 4c 2 ∴ cos A =
解得: c =

3 ,b = 2 3

S=

1 1 3 3 3 bc sin A = × 2 3 × 3 × = 2 2 2 2
π , x ∈ R) 2

6.已知函数 f ( x) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0,| ? |<

的图象的一部分如下图所示. (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 y = f ( x) + f ( x + 2) 的最大值与最小值.


I)由图象,知 A=2, ∴ω =

ω

=8.

π π ,得 f ( x) = 2sin( x + ? ) .……………………………………………2 分 4 4 π π 当 x = 1 时,有 × 1 + ? = . 4 2 π ∴? = . ………………………………………………………………4 分 4

9

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π π ∴ f ( x) = 2sin( x + ) . …………………………………………… 5 分 4 4 π π π π (II) y = 2sin( x + ) + 2sin[ ( x + 2) + ] 4 4 4 4 π π π π = 2sin( x + ) + 2cos( x + ) ……………………………7 分 4 4 4 4 π π = 2 2 sin( x + ) 4 2 π = 2 2 cos x …………………………………………………10 分 4
∴ ymax = 2 2 , ymin = ?2 2 . 7.已知函数 f ( x ) = 2 sin(π ? x ) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? …

? π π? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

16 解析: (Ⅰ)∵ f ( x ) = 2sin (π ? x ) cos x = 2sin x cos x = sin 2 x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (Ⅱ)由 ?

π
6

≤x≤

π
2

??

π
3

≤ 2 x ≤ π ,∴ ?

3 ≤ sin 2 x ≤ 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? π π? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

8.在 ?ABC 中, a、、 分别为角 A、、 的对边,且满足 b 2 + c 2 ? a 2 = bc . BC bc (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a =

3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y = f ( x ) 的最大值.

(Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b 2 + c 2 ? a 2 = bc 及余弦定理得 cos A = 而 0 < A < π ,则 A = (Ⅱ)由 a =

π


b2 + c 2 ? a2 1 = …2 分 2bc 2
……………4 分

3
及正弦定理得

3, A =

π
3

b c a = = = sin B sin C sin A

3 = 2 , ……6 分 3 2

10

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同理 c =

a 2π ? sin C = sin( ? x) sin A 3


……………8 分

y = 2 sin x + 2 sin(

2π π ? x) + 3 = 2 3 sin( x + ) + 3 3 6 π 2π π π 5π ∵ A = ,∴ 0 < x < ∴x + ∈( , ), 3 3 6 6 6

………………10 分

∴x+

π

6

=

π

2

即x=

π

3

时, ymax = 3 3 。

9.三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设向量

m = (c ? a, b ? a ), n = (a + b, c) ,若 m // n .
(I)求角 B 的大小; (II)求 sin A + sin C 的取值范围.
→ →









解(I)由 m // n 知

cos B =

1 π ,得 B = 2 3

c?a b?a 2 2 2 = ,即得 b = a + c ? ac ,据余弦定理知 a+b c
——————6 分

(II) sin A + sin C = sin A + sin( A + B ) = sin A + sin( A +

π
3

)

1 3 3 3 = sin A + sin A + cos A = sin A + cos A 2 2 2 2 = 3 sin( A + ) ————————9 分 6 π 2π 2π 因为 B = ,所以 A + C = ,得 A ∈ (0, ) ————10 分 3 3 3 π π 5π π 1 3 ) , sin( A + ) ∈ ( ,1] , sin A + sin C 的取值范围为 ( , 3] . 得 即得 所以 A + ∈ ( , 6 6 6 6 2 2 10 . 三 角 形 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 的 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 设 向 量 m = (c ? a, b ? a ), n = (a + b, c) ,若 m // n .
(I)求角 B 的大小; (II)求 sin A + sin C 的取值范围.
→ → → → → →

π

解(I)由 m // n 知

cos B =

1 π ,得 B = 2 3

c?a b?a 2 2 2 = ,即得 b = a + c ? ac ,据余弦定理知 a+b c
——————6 分

(II) sin A + sin C = sin A + sin( A + B ) = sin A + sin( A +

π
3

)

1 3 3 3 = sin A + sin A + cos A = sin A + cos A 2 2 2 2 = 3 sin( A + ) 6
11

π

————————9 分

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因为 B =

2π 2π ,得 A ∈ (0, ) ————10 分 3 3 3 π π 5π π 1 ) , 得 sin( A + ) ∈ ( ,1] , 即 得 sin A + sin C 的 取 值 范 围 为 所以 A + ∈( , 6 6 6 6 2
,所以 A + C =

π

(

3 , 3] . 2
11. 已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P ( ?3, 3) . (1)求 sin 2α ? tan α 的值; (2)若函数 f ( x ) = cos( x ? α ) cos α ? sin( x ? α ) sin α ,求函数

2π y = 3 f ( ? 2 x ) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. ? 3 ? 2 ? ?

π

12.设向量 α=( 3 sin 2x,sin x+cos x),β=(1,sin x-cos x),其中 x∈R,函数 R

f (x)=α ? β.
(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 若 f (θ)= 3 ,其中 0<θ<

π
,求 cos(θ+

π
)的值.

2

6

(Ⅰ)解:由题意得

f (x)= 3 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)
= 3 sin 2x-cos 2x=2sin (2x-

π ), 6
…………6 分

故 f (x)的最小正周期 T=

2π =π. 2 π )= 3 , 6

(Ⅱ)解:若 f (θ)= 3 ,则 2sin (2θ-

所以,sin (2θ-
12

π 3 )= . 6 2

[键入文字]

又因为 0<θ<

π π 5π ,所以 θ= 或 . 2 4 12

π π π π 6? 2 时,cos(θ+ )=cos( + )= ; 4 6 4 6 4 5π π 5π π 5π 6? 2 时,cos(θ+ )=cos( + )=-cos =- . 当 θ= 12 6 12 6 12 4
当 θ= 13.设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b 。

r

r

r

r

r

r

r r

r

r

14.已知 △ ABC 的面积为 1 ,且满足 0 < AB? AC ≤ 2 ,设 AB 和 AC 的夹角为 θ . (I)求 θ 的取值范围; (II)求函数 f (θ ) = 2sin 2 ?









π ?π ? + θ ? ? cos(2θ + ) 的最大值及取得最大值时的 θ 值. 6 ?4 ?

解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 则由

1 bc sin θ = 1 , 0 < bc cos θ ≤ 2 , …………………………………2 分 2 可得 tan θ ≥ 1 , …………………………………4 分
…………………………………6 分

?π π ? Qθ ∈ (0, π ) ∴θ ∈ ? , ? . ?4 2 ?
(Ⅱ) f (θ ) = = ?1 ? cos ?

? ?

3 1 ?π ?? + 2θ ? ? ? ( cos 2θ ? sin 2θ ) ……………8 分 2 2 ?2 ??

= 1 + sin 2θ ?

3 1 π cos 2θ + sin 2θ = 3 sin(2θ ? ) + 1 .…………10 分 2 2 6

π π ? π 5π ? ?π π ? ∵θ ∈ ? , ? , 2θ ? ∈ ? , ? ,∴当 θ = 时, ………………12 分 3 6 ?3 6 ? ?4 2 ?
有 f (θ ) max =
13

3 + 1. .

………………………………14 分

[键入文字]

15.已知向量 a = (cos

r

r 3 3 π 3 x x x, sin x) , b = (cos ,? sin ) ,且 x ∈ [ , π ] 2 2 2 2 2 2

(1)求 | a + b | 的取值范围; (2)求函数 f ( x ) = a ? b ? | a + b | 的最小值,并求此时 x 的值 解析: (1)∵

r

r

r r

r

r

π 3 x ∈[ , π ] 2 2



? 1 ≤ cos 2 x ≤ 1 ;

r r | a + b |= 2 + 2 cos 2 x
(2)∵

∴ 0≤ | a + b | ≤2

r

r

4分



π 3 x ∈[ , π ] ∴ ? 1 ≤ cos x ≤ 0 ;…………6 分 2 2 r r r r f ( x) = a ? b ? | a + b |= cos 2 x ? 2 + 2 cos 2 x

= 2 cos 2 x ? 1 ? 4 cos 2 x = 2 cos 2 x + 2 cos x ? 1 ………………10 分
∴ 当 cos x = ?

1 2 4 r r r r 3 ,即 x = π 或 x = π 时, f ( x ) = a ? b ? | a + b | 取最小值- 。 2 3 3 2

16.已知 sin( A +

π
4

)=

7 2 π , A ∈ (0, ). 10 4

(1)求 cos A 的值; (2)求函数 f ( x ) = cos 2 x + 5cos A cos x + 1 的值域。 解: (Ⅰ)因为 0 < A <

π
4

,且 sin( A +

π
4

)=

7 2 , 10

π
所以

4

< A+

π
4

<

π
2

, cos( A +

π
4

)=

2 . 10

因为 cos A = cos[( A +

π

= cos( A + ) cos + sin( A + )sin 4 4 4 4 = 2 2 7 2 2 4 ? + ? = 10 2 10 2 5 4 . 5
…………………………………………6 分

π

π

)? ] 4 4

π

π

π

所以 cos A =

14

[键入文字]

17. (本小题满分为 12 分)已知△ABC 的周长为 2 + 1 ,且 sin A + sin B =

2 sin c ,角 A、

B、C 所对的边为 a、b、c(1)求 AB 的长; (2)若△ABC 的面积为 sin c 求角 C 的大小。

1 6

2c ∵ a + b + c = 2 + 1 -------------------2 分 ∴ 2c + c = 2 + 1 ∴C=1 ---------------------6 分 1 1 1 (2) S = AC ? BC sin c = sin c ? ab = ---------------------8 分 2 6 3 1 ? 4 ?ab = 3 ? a2 + b2 = ---------------------10 分 ∵? 3 ?a + b = 2 ?
4 ?1 a +b ?c 1 3 = = cos c = 2 2ab 2 3
2 2 2

解(1) a + b =

∴c =

π
3

2c ? b cos B = cos A . 18、在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 a
(1)求角 A 的大小; (2)若 a = 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值.

2c ? b cos B = cos A , 解:解: (Ⅰ)因为 a

所以 (2c ? b) ? cos A = a ? cos B

由正弦定理,得 (2sin C ? sin B ) ? cos A = sin A ? cos B . 整理得 2 sin C ? cos A ? sin B ? cos A = sin A ? cos B . 所以 2 sin C ? cos A = sin( A + B ) = sin C .

在△ ABC 中, sin C ≠ 0 . 所以

cos A =

1 π ∠A = 2, 3

cos A =
(Ⅱ) 由余弦定理

b2 + c2 ? a2 1 = 2bc 2 ,a = 2 5 . 所以 b 2 + c 2 ? 20 = bc ≥ 2bc ? 20

所以 bc ≤ 20 ,当且仅当 b = c 时取“=”
15

[键入文字]

1 S = bc sin A ≤ 5 3 2 所以三角形的面积 . 所以三角形面积的最大值为 5 3
19.在 ?ABC 中,

1 cos 2 A = cos 2 A ? cos A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 a = 3 , sin B = 2sin C ,求 S ?ABC .

1 (I)由已知得: (2 cos 2 A ? 1) = cos 2 A ? cos A , 解: 2

1 π . Q0 < A < π , ∴ A = . ………………5 分 2 3 b c sin B b (II)由 = =2 = 可得: sin B sin C sin C c ∴ b = 2c ………………8 分 2 2 2 2 b +c ?a 4c + c 2 ? 9 1 cos A = = = ………………10 分 2bc 2 4c 2 1 1 3 3 3 解得: c = 3 , b = 2 3 S = bc sin A = × 2 3 × 3 × = 2 2 2 2 ∴ cos A =

20.已知向量 m = ( sin A, cos A ) , n = (1, ?2 ) ,且 m?n = 0 。 (1)求 tan A 的值; (2)求函数 f ( x ) = 2 3 1 ? 2 sin 2 x + tan A sin 2 x 的最大值和单调递增区间。

ur

r

ur r

ur r ur r 16、解:(1)由 m = ( sin A, cos A ) , n = (1, ?2 ) ,且 m?n = 0 , 得 sin A ? 2 cos A = 0 ? tan A = 2 (2)由 f ( x ) = 2 3 (1 ? 2 sin 2 x ) + tan A sin 2 x

(

)

= 2 3 cos 2 x + 2sin 2 x π? ? = 4 sin ? 2 x + ? ,所以 f ( x ) 的最大值是 4 3? ? π π π 5π π 又 2 kπ ? ≤ 2 x + ≤ 2 k π + 得 kπ ? ≤ x ≤ kπ + 2 3 2 12 12 5π π? ? 所以递增区间是 ? kπ ? , kπ + ? ( k ∈ Z ) 12 12 ? ? 21.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P ( ?3, 3) .
(1)求 sin 2α ? tan α 的值; (2)若函数 f ( x ) = cos( x ? α ) cos α ? sin( x ? α ) sin α ,求函数

2π y = 3 f ( ? 2 x ) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. ? 3 ? 2 ? ?
解: (1)因为角 α 终边经过点 P ( ?3, 3) ,所以

π

16

[键入文字]

Q sin α =

1 3 3 , cos α = ? , tan α = ? 2 2 3

------------3 分

3 3 3 + =? ---------6 分 2 3 6 (2) Q f ( x ) = cos( x ? α ) cos α ? sin( x ? α )sin α = cos x , x ∈ R --------8 分 ∴ sin 2α ? tan α = 2sin α cos α ? tan α = ?
∴ y = 3 cos( ? 2 x) ? 2 cos 2 x = 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x = 2sin(2 x ? ) ? 1 ----10 分 2 6 2π 4π π π 7π Q0 ≤ x ≤ ,∴ 0 ≤ 2 x ≤ ,∴? ≤ 2 x ? ≤ 3 3 6 6 6 1 π π ∴? ≤ sin(2 x ? ) ≤ 1 ,∴?2 ≤ 2sin(2 x ? ) ? 1 ≤ 1 ------------------13 分 2 6 6 π ? 2π ? 2 故:函数 y = 3 f ( ? 2 x ) ? 2 f ( x ) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围是 [ ?2,1] 2 ? 3? ur r ur r 22.已知 m = (2 cos x + 2 3 sin x,1), n = (cos x, ? y ) ,满足 m ? n = 0 .
(I)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (II)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f( 求 b + c 的 取值范围. 解: (I)由 m ? n = 0 得 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x ? y = 0 即 y = 2 cos x + 2 3 sin x cos x = cos 2 x + 3 sin 2 x + 1 = 2sin(2 x +
2

π

π

A ) = 3 ,且 a = 2 , 2

ur r

π
6

) +1

所以 f ( x ) = 2 sin(2 x + (II)因为 f ( ) = 3 ,则

π
6

) + 1 ,其最小正周期为 π .…………6 分

A+

π
6

A 2

= 2 kπ +

π
2

, k ∈ Z .因为 A 为三角形内角,所以 A = 4 4 3 sin B , c = 3 sin C , 3 3

π
…………9 分

3

由正弦定理得 b =

b+c =

4 3 4 3 4 3 4 3 2π π sin B + sin C = sin B + sin( ? B ) = 4 sin( B + ) 3 3 3 3 3 6 2π π 1 ) ,∴ sin( B + ) ∈ ( ,1] ,∴ b + c ∈ (2,4] , 3 6 2

Q B ∈ (0,

所以 b + c 的取值范围为 (2, 4]

23. 在锐角三角形 ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, b, c , 角 B, 且 (1)求角 A;
17

b 2 ? a 2 ? c 2 cos( A + C ) = ac sin A cos A

[键入文字]

(2)若 a =

2 ,求 bc 的取值范围.
b 2 ? a 2 ? c 2 cos( A + C ) = ac sin A cos A
, ∴

解 :( 1 ) Q

? 2ac cos B ? cos B = , ac sin A cos A

Q ? ABC 为锐角三角形

∴ cos B ≠ 0 ∴ 2 sin A cos A = 1 ,即 sin 2 A = 1 , 2 A = ∴
分 (2)正根据弦定理可得: 分

π
2

,A=

π
-----------------6

4

a b c = = , ∴ bc = 4 sin B sin C -----------8 sin A sin B sin C

C=

3π ?B 4



∴ bc = 4 sin B sin(

3π 2 2 ? B ) = 4 sin B ( cos B + sin B ) = 2 sin 2 B + 2 (1 ? cos 2 B ) 4 2 2

? bc = 2 sin(2 B ?

π
4

) + 2 ---------------------------------12 分

π ? ?0 < B < 2 π π ? 又 ? ABC 为锐角三角形 ,∴ ? ,得到 B 的范围: ( , ) ----13 分 4 2 ?0 < 3π ? B < π ? ? 4 2 π 3π ∈ ( , ) ,则 bc 范围: (2 2 ,2 + 2 ] ----14 分 4 4 4 24 . 已 知 ?ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 向 量 B m = (2 sin B,? 3) , n = (cos 2 B,2 cos 2 ? 1) ,且 m ∥ n , B 为锐角. 为锐角. 2 (Ⅰ)求角 B 的大小; 的大小;
∴ 2B ?
的最大值. (Ⅱ)如果 b = 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值. 解: (Ⅰ)∵ m // n ∴ 2 sin B ( 2 cos
2

π

B ? 1) = ? 3 cos 2 B ………………………1 分 2
即 tan 2 B = ? 3 . …………………………3 分 …………………………………………4 分

∴ sin 2 B = ? 3 cos 2 B .

又∵ B 为锐角,∴ 2 B ∈ (0, π ) . ∴ 2B = (Ⅱ)∵ B =

2π π ,∴ B = . …………………………………………………5 分 3 3

π
3

, b = 2 ,∴由余弦定理 cos B =

a2 + c2 ? b2 得 2ac

18

[键入文字]

a 2 + c 2 ? ac ? 4 = 0 .
又∵ a + c ≥ 2ac ,代入上式得 ac ≤ 4 (当且仅当 a = c = 2 时等号成
2 2

立) ………………………………………………………………………8 分 . ∴ S ?ABC = 立). ∴ ?ABC 面积的最大值为 3 . 25.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P ( ?3, 3) . (1)求 sin 2α ? tan α 的值; (2)若函数 f ( x ) = cos( x ? α ) cos α ? sin( x ? α ) sin α ,求函数

1 3 ac sin B = ac ≤ 3 (当且仅当 a = c = 2 时等号成 2 4

2π y = 3 f ( ? 2 x ) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. ? 3 ? 2 ? ?
解: (1)因为角 α 终边经过点 P ( ?3, 3) ,所以

π

Q sin α =

1 3 3 , cos α = ? , tan α = ? 2 2 3

------------3 分

3 3 3 + =? ---------6 分 2 3 6 (2) Q f ( x ) = cos( x ? α ) cos α ? sin( x ? α )sin α = cos x , x ∈ R --------8 分 ∴ sin 2α ? tan α = 2sin α cos α ? tan α = ? ∴ y = 3 cos( ? 2 x) ? 2 cos 2 x = 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x = 2sin(2 x ? ) ? 1 ----10 分 2 6 2π 4π π π 7π Q0 ≤ x ≤ ,∴ 0 ≤ 2 x ≤ ,∴? ≤ 2 x ? ≤ 3 3 6 6 6 1 π π ∴? ≤ sin(2 x ? ) ≤ 1 ,∴?2 ≤ 2sin(2 x ? ) ? 1 ≤ 1 ------------------13 分 2 6 6 π ? 2π ? 2 故:函数 y = 3 f ( ? 2 x ) ? 2 f ( x ) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围是 [ ?2,1] 2 ? 3? uuu uuur r uuu uuu r r 26.三角形 ABC 中, AB ? AC = 1, ? BC = ?3 AB sin( A ? B ) (1)求边 AB 的长度 (2) 求 的值 sin C
解: (1)Q AB ? AC ? AB ? BC = 4 ∴ AB ? AC ? BC = 4 ∴ AB = 4 ∴ AB = 2 ·········· 分 ··········6 (2)因为 bccosA=1;accosB=3. ·········· 分 ··········8 所以

π

π

uuu uuur uuu uuu r r r

uuu uuur uuu r r

(

)

uuu 2 r

b cos A 1 sin B cos A 1 = ∴ = ∴ sin A cos B = 3sin B cos A a cos B 3 sin A cos B 3
·········· ··········10 分

19

[键入文字]

sin ( A ? B )
于是

sin C

=

sin ( A + B )

sin ( A ? B )

=

sin A cos B ? cos A sin B 2 cos A sin B 1 = = sin A cos B + cos A sin B 4 cos A sin B 2

π π 1 7π 27.已知函数 f(x)=asinx+bcos(x- )的图象经过点( , ),( ,0). 3 3 2 6 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)在[0,π]上的单调递增区间.

3 π 1 π (2)由(1)知:f(x)= 3sinx-cos(x- )= sinx- cosx=sin(x- ).(9 分) 2 3 2 6 π π π π 2π k∈Z. 由 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ,解得 2kπ- ≤x≤2kπ+ Z 2 6 2 3 3 2π 2π ∵x∈[0,π],∴x∈[0, ],∴函数 f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0, ]. 3 3 28. 28.已知向量 m = ( 3 sin 2 x + 2, cos x), n = (1,2 cos x), 设函数 f ( x) = m ? n. (I)求 f (x ) 的最小正周期与单调递减区间;

B、 若 (II) 在△ABC 中,a, b, c 分别是角 A、 C 的对边, f ( A) = 4, b = 1, △ABC 的面积为 求 a 的值. 解: (I)Q m = ( 3 sin 2 x + 2, cos x), n = (1,2 cos x),

3 , 2

ur r ∴ f ( x) = m ? n = 3 sin 2 x + 2 + 2 cos 2 x = 3 sin 2 x + cos 2 x + 3 π = 2 sin( 2 x + ) + 3 6 2π ∴T = =π 2
令2kπ + ∴ kπ +
20

…………4 分

…………5 分

π
2

≤ 2x +

π
6

≤ 2kπ +

3π (k ∈ Z ) 2

π

2 ≤ x ≤ kπ + π (k ∈ Z ) 6 3

[键入文字]

∴ f ( x)的单调减区间为[ kπ +
(II)由 f ( A) = 4 得

π

2 , kπ + π ( k ∈ Z )] 6 3

…………7 分

f ( A) = 2 sin(2 A + ∴ sin(2 A +

π
6

)+3= 4

π
6

)=

1 2

又 Q A为?ABC的内角 ∴

π
6

6 π 5π ∴ 2A + = 6 6

< 2A +

π

<

7π 6

∴A=

π 3

…………10 分

Q S ?ABC =

3 ,b = 1 3 1 3 ∴ bc sin A = 2 2
…………12 分

∴c = 2
∴ a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 4 + 1 ? 2 × 2 × 1 ×

1 =3 2

∴a = 3
29. 29.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 CC1 的中点. D1 A1 求证: (1)AC1∥平面 BDE; (2)A1E⊥平面 BDE. D (1)证明:连接 AC,设 AC∩BD=O.由条件得 ABCD 为正方形, A 故 O 为 AC 中点.因为 E 为 CC1 中点,所以 OE∥AC1. 因为 OE?平面 BDE,AC1?平面 BDE.所以 AC1∥平面 BDE. /
2 2 2

C1 B1 E

C B

(2)连接 B1E.设 AB=a,则在△BB1E 中,BE=B1E= 2a,BB1=2a.所以 BE +B1E =BB1 . 所以 B1E⊥BE.由正四棱柱得,A1B1⊥平面 BB1C1C,所以 A1B1⊥BE. 所以 BE⊥平面 A1B1E.所以 A1E⊥BE.同理 A1E⊥DE.所以 A1E⊥平面 BDE. 30. 30.某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,
21

[键入文字]

BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的 D 区域上(含边界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的 总长为 ykm。 A (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式;

P

C

O

B

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短 【解析】本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= θ (rad) ,则 OA =

AQ 10 = , 故 cos θ cos θ

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan θ , cos θ 10 10 所以 y = OA + OB + OP = + + 10 ? 10 tan θ , cos θ cos θ OB =
所求函数关系式为 y =

20 ? 10 sin θ π? ? + 10 ? 0 ≤ θ ≤ ? cos θ 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=
2

(10 ? x )

2

+ 102 = x 2 ? 20 x + 200

所求函数关系式为 y = x + 2 x ? 20 x + 200 ( 0 ≤ x ≤ 10 ) (Ⅱ)选择函数模型①, y =
'

?10 cos θ ?cos θ ? ( 20 ? 10 sinθ )( ? sin θ ) cos θ
2

=

10 ( 2 sin θ ? 1) cos 2 θ

令 y ' = 0 得 sin 当 θ ∈ ? 0,

θ = ,因为 0 < θ <

1 2

π
4

,所以 θ =

π


6

? π? ?π π ? ' ' ? 时, y < 0 , y 是 θ 的减函数;当 θ ∈ ? , ? 时, y > 0 , y 是 θ 的增函 6? 6 4? ? ?

数,所以当 θ =

π
6

时, ymin = 10 + 10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,在矩形区域

内且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

31.设三角形 ABC 的内角 A, B, C , 的对边分别为 a, b, c, a = 4, c = 13 , sin A = 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小.
22

[键入文字]

4 π (? < x < 0) ,求 sin x . 5 2 a b = 解: (1)依正弦定理 有 b sin A = a sin B sin A sin B
(3)如果 cos( x + C ) = 又 a = 4, sin A = 4sin B ,∴ b = 1 (2)依余弦定理有 cos C = …………………………4 分

a 2 + b 2 ? c 2 16 + 1 ? 13 1 = = 2ab 2 × 4 ×1 2
……………………9 分

又 0° < C < 180° ,∴ C = 60°

3 3? 4 3 sin( x + C ) = ,sin x = [( x + C ) ? C ] = 5 10 … (3)由已知得 r 32. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m = (?1,1) , r r r 3 n = (cos B cos C , sin B sin C ? ) ,且 m ⊥ n . 2 (1)求 A 的大小; o (2)现在给出下列三个条件:① a = 1 ;② 2c ? ( 3 + 1)b = 0 ;③ B = 45 ,试从中再 选择两个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积.
(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分) .

3 ur r ? cos B cos C + sin B sin C ? =0 2 解: (1)因为 m ⊥ n ,所以 cos B cos C ? sin B sin C = ?
即:

3 3 cos( B + C ) = ? 2 ,所以 2

因为 A + B + C = π ,所以 cos( B + C ) = ? cos A

cos A =
所以

3 , A = 30o 2

6分

o (2)方案一:选择①②,可确定 ?ABC ,因为 A = 30 , a = 1, 2c ? ( 3 + 1)b = 0

12 = b 2 + (
由余弦定理,得:

3 +1 2 3 +1 3 b) ? 2b ? b? 2 2 2 6+ 2 2

b 2 = 2, b = 2, c =
整理得:

1 1 6+ 2 1 3 +1 S ?ABC = bc sin A = ? 2 ? ? = 2 2 2 2 4 所以

12 分

23

[键入文字]

方案二:选择①③,可确定 ?ABC ,因为 A = 30 , a = 1, B = 45 , C = 105
o o

o

sin105o = sin(45o + 60o ) = sin 45o cos 60o + cos 45o sin 60o =


6+ 2 4

a sin C 1 ? sin105o 6+ 2 c= = = o sin A sin 30 2 由正弦定理 S ?ABC =
所以

1 1 6+ 2 2 3 +1 ac sin B = ?1 ? ? = 2 2 2 2 4
cos A b 4 = = 。 cos B a 3

(注意;选择②③不能确定三角形) 33. 33.在 ? ABC 中,三个内角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c ,其中 c = 10 ,且 (1)求证: ? ABC 是直角三角形;

AC (2)若 ? ABC 的外接圆为 ? O ,点 P 位于劣弧 ? 上,∠PAB = 60 ,求四边形 ABCP 的
o

面积。 .解: (1)由

cos A b 4 = = , 得 a cos A = b cos B ? sin 2 A = sin 2 B, ………… 2 分 cos B a 3

所以 2 A = π ? 2 B 或 A = B ,……………………………… 4 分 但 a < b , 故 A+ B =

π
2

, 所 以 C=

π
2

, 所 以 ? ABC 是 直 角 三 角

形;……………………………… 6 分 (2)由(1)得 a = 6, b = 8 ,所以 S? ABC = ……………………………… 8 分 在 ? APC 中, AC = b = 8, AP = 10 cos 60o = 5 ,

1 × 6 × 8 = 24 , 2

sin ∠CAP = sin(60o ? ∠BAC ) =

3 4 1 3 4 3 ?3 ? ? ? = ,………………… 10 分 2 5 2 5 10

所以 S? APC =

1 4 3 ?3 ?AC ?AP ?sin ∠CAP = 20? =8 3 ?6 2 10

所以 S? ABCP = 8 3 + 18 。 34.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2 cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A 1 ? (2)若 cosB= ,△ABC的周长为5,求b的长. 4
(1)求
24

[键入文字]

解 析

(1) 由 正 弦 定 理 得 a = 2 R sin A, b = 2 R sin B,

c = 2 R sin C , 所 以

cos A-2 cos C 2c-a 2sin C ? sin A = , = cos B b sin B
即 sin B cos A ? 2sin B cos C = 2sin C cos B ? sin A cos B ,即有 sin( A + B ) = 2sin( B + C ) ,

sin C =2 sin A c sin C =2,所以有 = 2 ,即 c=2a,又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a,由余弦 (2)由(1)知 sin A a
即 sin C = 2sin A ,所以 定理得:

1 b 2 = c 2 + a 2 ? 2ac cos B ,即 (5 ? 3a )2 = (2a )2 + a 2 ? 4a 2 × ,解得 a=1,所以 b=2. 4

25


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