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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:如何判定平面两直线的位置关系

年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 如何判定平面两直线的位置关系 王长江 一校 吕丽娟 二校 黄楠 审核 刘敬绵 1. 平面两直线的位置关系的判定 斜截式 y=k1x+b1( k1 ? 0 ) y=k2x+b2( k2 ? 0 ) 相交 k1≠k2 1 k1=- 或 k2 k1k2=-1 平行 k1=k2 且 b1≠b2 一般式 2 A1x+B1y+C1=0(A2 1+B1≠0) 2 A2x+B2y+C2=0(A2 2+B2≠0) 位置关系 A1B2-A2B1≠0 ?当A2B2≠0时,记为A1≠B1? A2 B2? ? A1A2+B1B2=0 A2 ?当B1B2≠0时,记为A1· =-1? B1 B2 ? ? A1B2-A2B1=0,B2C1-B1C2 ? 0 或 A1B2-A2B1=0,A2C2-A2C1 ? 0 ?当A2B2C2≠0时,记为A1=B1≠C1? A2 B2 C2? ? 垂直 2. 几种常用的直线系方程 ⑴和直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为: Ax ? By ? m ? 0(m ? C ) 。 ⑵和直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为: Bx ? Ay ? n ? 0 ( n ? R ) 。 ⑶过定点 M ( x0 , y0 ) 的直线系方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 或 x ? x0 。 例题 1 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试确定 m、n 的值,使 (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1。 解析: (1)由 m· m-8× 2=0,得 m=± 4。 由 8× (-1)-n· m≠0, ?m=4, ?m=-4, ? ? 得? 或? ?n≠2. ?n≠-2, ? ? 即 m=4,n≠-2 时,或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2。 (2)当且仅当 m· 2+8· m=0,即 m=0 时,l1⊥l2。 n 又- =-1,∴n=8。 8 1 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1。 答案: (1)m=4,n≠-2 或 m=-4,n≠2 (2)m=0,n=8 点拨: 充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键, 对于斜率都存在且不重合 的两条直线 l1 和 l2,l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1· k2=-1。若有一条直线的斜率不存在,那么 另一条直线的斜率的值一定要特别注意。 例题 2 求与直线 4x-3y+5=0 垂直,且与两坐标轴围成的三角形周长为 10 的直线方 程。 解析:设所求的直线方程为 3x+4y+b=0,且与坐标轴的交点为 A,B。 b b ,即直线 3x ? 4 y ? b ? 0 与 y 轴的交点为 A(0, ? ) ; 4 4 b b 令 y=0,得 x= ? ,即直线 3x ? 4 y ? b ? 0 与 x 轴的交点为 B( ? ,0) 。 3 3 令 x=0,得 y= ? ∵△OAB 的周长为 10,即 |OA|+|OB|+|AB|=10, b b b b ?| ? | ? | ? | ? (? )2 ? (? )2 ? 10, 4 3 4 3 解得 b=±10。 故所求的直线方程为 3x+4y±10=0。 答案:3x+4y+10=0 或 3x+4y-10=0 点拨:求与已知直线平行、垂直的直线方程时,若已知直线是斜截式,可利用 k1=k2 或 k1?k2=-1 来求直线的斜率;若已知直线是一般式,则如下的设法更简单: 与 Ax+By+C=0 平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0 (m ? C ) ; 与 Ax+By+C=0 垂直的直线方程可设为 Bx-Ay+m=0( m ? R ) 。 注意:求解两条直线的平行、垂直问题时,要注意斜率为 0 和斜率不存在的特殊情形, 不要因忽视题目的隐含条件而致错。 示例 如果直线 (m ? 2) x ? (m ? 3m ? 2) y ? m ? 2 与 y 轴平行,求 m 的值。 2 2 错解:∵直线与 y 轴平行,∴ m ? 3m ? 2 ? 0 。 解得 m ? ?1 或 m ? ?2 。 ∴当 m ? ?1 或 m ? ?2 时直线与 y 轴平行。 解析:由于方程 Ax ? By ? C ? 0 表示直线,本身隐含着 A ? B ? 0 这一条件。当 2 2 2 直线方程 (m ? 2) x ? (m ? 3m ? 2) y ? m ? 2 为 0 ? x ? 0 ? y ? 0 , 它不表示直线, m ? ?2 时, 应舍去。故当 m ? ?1 时,直线与 y 轴平行。 答案: m 的值为 ?1 。 点拨: 在研究含参数的直线方程的平行与垂直问题时, 一定要判断直线的斜率是否一定 存在,解决两条直线垂直的问题时,要注意两种情况: ⑴两条直线的斜率都存在; ⑵一条直线的斜率为 0 ,而另一条直线的斜率不存在。 2 (答题时间:30 分钟) 1. 三条直线 l1 : x ? y ? 0, l 2 : x ? y ? 2 ? 0, l3 : 5x ? ky ? 15 ? 0 构成一个三角形, 则k的 取值范围是( A. k ? R ) B. k ? R且k ? ?1, k ? 0 D. k ? R且k ? ?5, k ? 1 C. k ? R且k ? ?5, k ? -10 实数 m 的值是( A. -2 ) 。 2. 已知点 A(1,-2) ,B(m,2) ,且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则 B. -7 C. 3 D. 1 3π 3. 已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2) 、B(a,-1) ,且 l1 与 l 垂直,直 4 线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于( A. -4 ) B

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