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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:如何利用等体积法求点到平面距离

年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 如何利用等体积法求点到平面距离 刘咏霞 一校 付秋花 二校 黄楠 审核 隋冬梅 1. 锥体体积公式 1 V ? Sh 3 2. 等体积法求点到平面的距离的条件 由点向平面引垂线,垂足无法确定或难确定时情况 3. 等体积法求点到平面距离 用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想, 即要将所要求的垂线段置于一个 四面体中,其中四面体的一个顶点为所给点,另外三点位于所给点射影平面上,这里不妨将 射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。 先用简单的方法求出四面体的体积, 然后 计算出底面三角形的面积, 再根据四面体体积公式 V ? 1 Sh 3 求出点到平面的距离 h。 在常 规方法不能轻松获得结果的情况下, 如果能用到等体积法, 则可以很大程度上提高解题效率, 达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所对的底面时,首选此方法。 要注意本法具有设高不作高的特殊功效,减少了推理,但计算较为复杂。 例题 1 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 为 AB 的 中点,求点 E 到面 ACD1 的距离; 解析:设点E到平面ACD1 的距离为 h,由已知可得 S?AD1C = 3 ,利用等体积法可得 2 1 1 1 VD1 ? AEC ? S?AEC ? DD1 ? S?AD1C ? h, 即可求出 h= 。 3 3 3 答案:解:设点E到平面 ACD1 的距离为 h,在 ΔACD1 中,AD1= 2 , AC=CD1= 5 ,故 S?AD C = 1 1 1 3 ? 2 ? 5? = , 2 2 2 1 1 1 ? AE ? BC = 。 2 2 1 1 ∵ VD1 ? AEC ? S?AEC ? DD1 ? S?AD1C ? h, 3 3 1 3 1 ∴ ? 1 ? ? h, ∴h= 。 2 2 3 而 S?ACE = 点拨: 利用等体积法我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题——这是数 学中的一种重要思想方法。 在利用等体积法时我们应该在原图形中寻找到一个较容易计算出 面积及其高的面来。 例题 2 如图, 已知四棱锥 P—ABCD , PB⊥AD, 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形, 底面 ABCD 为菱形,侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120° 。 求点 P 到平面 ABCD 的距离; 解析:由已知可找出平面 PAD 与平面 ABCD 的二面角∠PEB=120° ,进而利用 3 VP? AEB ? VA? PEB 可求出点 P 到平面 ABCD 的距离为 。 2 答案:解:取 AD 的中点 E,连接 PE、BE。 ∵ΔPAD 为等边三角形 ∴PE⊥AD,PE= 3 又∵PB⊥AD ∴AD⊥平面 PBE ∴AD⊥BE ∴ ∠PEB 为平面 PAD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角, 即∠PEB=120° 。 设点 P 到平面 ABCD 的距离为 h, ∵ VP? AEB ? VA? PEB S?PEB ? AE PE ? BE ? AE ? sin120? 3 = =PE ? sin120° = 2 AE ? BE S?AEB 3 所以点 P 到平面 ABCD 的距离为 。 2 ∴h= 点拨: 本题巧妙地借助二面角 PEB 所在平面与棱 AD 的垂直关系构造了三棱锥 P-AEB, 从而避免了直接作 P 到平面 ABCD 的距离。 满分训练 如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC=12,E 为 CD 的中点,将△DAE 沿 2 AE 折起,使面 DAE⊥面 ABCE;再过点 D 作 DQ∥AB,且 DQ = (1)求证:面 DAE⊥面 BEQ; (2)求直线 BD 与面 DAE 所成角的正弦值; (3)求点 Q 到面 DAE 的距离。 1 AB 。 2 解析: (1) 利用勾股定理的逆定理可知 BE⊥AE, 再利用面面垂直的性质定理可得 BE⊥ 平面 DAE,利用面面垂直的判定定理即可证明结论;(2)由(1)知,BE⊥平面 DAE,可 得∠BDE 是直线 BD 与平面 DAE 所成的角,再利用直角三角形的边角关系即可求出; (3)设点 Q 到平面 DAE 的距离为 h,由 DQ∥EC 且 DQ=EC,可得四边形 DQCE 为 平行四边形,得到 QC∥DE,从而 QC∥平面 DAE,故点 Q 到平面 DAE 的距离等于点 C 到 平面 DAE 的距离.作 DH⊥AE 与 H,由面 DAE⊥面 BEQ,交线为 AE,可得 AH⊥平面 ABCE,则 AH 是 D 到面 ABCE 的距离,再利用“等体积变形”VQ-ADE=VC-ADE=VD-AEC, 即可得出。 答案:(1)证明:折叠前,矩形 ABCD 中,连接 BE, 在△ABE 中,AE = BE = 6 2 ,AB=12, ∴AE2+BE2=AB2, ∴AE⊥BE, ∵面 DAE⊥面 ABCE,交线为 AE, ∴BE⊥平面 DAE, 而 BE ? BEQ,∴面 DAE⊥面 BEQ; (2)由(1)知,BE⊥平面 DAE,∴∠BDE 是直线 BD 与平面 DAE 所成的角, 在 Rt△BDE 中,BE = 6 2 ,DE=6BD = 6 3 ∴sin ∠ BDE = BE 6 2 6 ? ? BD 6 3 3 故直线 BD 与平面 DAE 所成角的正弦值为 (3)设点 Q 到平面 DAE 的距离为 h, 6 ; 3 3 ∵DQ∥EC 且 DQ=EC, ∴四边形 DQCE 为平行四边形, QC∥DE,从而 QC∥平面 DAE, 故点 Q 到平面 DAE 的距离等于点 C 到平面 DAE 的距离, 作 DH⊥AE 与 H, ∵面 DAE⊥面 BEQ,交线为 AE, ∴AH⊥平面 ABCE,则 AH 是 D 到面 ABCE 的距

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