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江苏省苏州市高中数学第二章数列25等比数列的前n项和公式教学设计新人教A版必修5(数学教案)

等比数列的前 n 项和公式 《等比数列前 n 项和》 是人教版必修 5 第二章数列中第五节第一课时的内容。 下面, 我从教材分析, 情境创设、公式推导,公式应用,教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。 教材分析 等比数列的前 n 项和是“等差数列的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学 习数 列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如 储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法, 都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 学情分析 就学生而言,等差、等比数列的定义和通项公式,等差数列的前n项和的公式是学生在学习之 前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前 n 项和公式的推导方法,具备了一定的探 究能力。基于此,学生会产生思考,等比数列前 n 项和公式应该如何推导,公式是从什么新的角度 建构?其重要性和普遍性体现在哪里? 应该说学生从内心来讲, 有想探究等比数列前 n 项和公式的 欲望和驱动力。 教学目标 在知识方面:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法,掌握等比数列的前 n 项和公式并能运 用公式解决一些简单问题。 在能力方面:提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程 思想、分类讨论思想,优化思维品质。 在情感方面:培养学生将数学学习放眼生活,用生活眼光看数学的思维品质。 重点难点 重点:使学生掌握等比数列的前 n 项和公式,用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题。 难点:由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前n项和公式。 情境创设 《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发 1 展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是 对课堂教学实践的要求. 我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传 说: 相传古印度宰相达依尔,发明了国际象棋。当时的国王大为赞赏,就问他想要什么。达依尔说: “请在棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 颗麦粒,第二格放 2 颗麦粒,第三格放 4 颗麦粒, 依次类 推,每一格放的麦粒数都是前一格的两倍,直到第 64 格,请您给我足够的麦粒以实现上述要求。 ” 选择这个故事作为问题情景首先是因为经典永远是经典,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛 认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的 认识.其次,将学生的角色设计成国王的谋士,更加激发了学生的探究热忱,同时也让学生明白数学 和生活息息相关, 把学以致用的思想渗透 到课堂中。 最后,通过让学生大胆预测麦粒的重量产生悬念, 在公式推导后让学生运用公式解决问题,收尾呼应.在教师的引导下,学生根据自己掌握的知识和经 验,很快建立起等比数列的数学模型。数列是以 1 为首项,2 为公比的等比数列。当学生跃跃欲试 要求这个数列的前 64 项和时,课题的引入水到渠成。 公式推导 丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念.《数学课程标准》明 确指出:教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和 指导,也有学生的自主探索与合作交流.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径 ,使他们经历知 识形成的过程. 公式推导是这节课的重难点突破的地方,是整节课的核心。我进行了深入的思考,以教学实践与 经验为基础,设计的教学方案是通过复习类比等差数列求和方法寻求等比数列求和的突破, 重点主要 是为什么要在等比数列前 n 项和这一等式两边同乘以公比 q。首先推导等差数列前 n 项和公式,形 式上采用倒序相加法,本质上是根据等差数列的定义 an ?1 ? an ? d ,从公差为 d 这一特 性出发,抓住倒序后两式中上下对应项的和均为 a1 ? an 这个特点,构造相同项,进而化繁为简, 推得公式。 由此学生自然会联想等比数列是不是也可以用倒序相加法求和?学生进行尝试发现时行不 通的.在此情景下引领学生透过现象看本质,如何在等比数列前 n 项和中构造相同项,从而化繁为简 是解决问题的关键。引导学生抓住等差数列求和是根据定义,由公差 d 切入。自然,等比数列求和 也应根据定义,由公比 q 来探究。 2 关注等比数列的定义: 的每一项乘以 an ?1 ? q ,如果对其稍加变形,就会发现 an ?1 = an .q 即等比数列中 an q q 都等于其后项,由于这是每一项共有的特点,所以将这一特点应用在前 n 项和上, ,迎刃而 解。通过如上分析,学生也体会到:这两种数列 即 qSn 。这样一来,等式两边为何乘 求和公式的推导方法,从数学思想上来讲是一致的,将不同项转化为相同项,从而将不易求转化为 易求,只是具体的处理形式略有差异。正是由于这些异同,学生数学思维深刻性、广阔性等品质就 得到了提高,思维能力得到了锻炼。 下面如何对 qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ? a1qn?1 ? a1qn 这一等式进一步的化简整理,由 学生分析思考,合作完成。在整合的过程中,学生会出现两个问题。 第一: qSn ? a1q ? a1q2 ? a 1q 3 ? ?a1 q n? 1 ? a 1 qn 由此,学生会发现②式中的前 (n-1)项与①式中的后(n-1)项对应相同,这样一来就构造出了相同项。但是,在表征形式上的 处理有差异。有些学生注意到如果将等式右边各项均往后错一位,那么两式中相同项的对应就更加 清晰, 在此基础上, 用①式减②式, 这些相同的 (n-1) 项立即抵消为 0, 得到 (1 ? q)Sn ? a1 ? a1qn , 从而完美的达到了化繁为简的目的。因此,对于学生深入细致的思考应给予高度的肯定和赞

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