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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 专题三 数列与不等式专题三测试卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.一个凸 n 边形内角的度数成等差数列,公差为 5°,且最大角为 160°,则 n 的值为( ) (A)9 (B)12 (C)16 (D)9 或 16 2.若函数 f(x)=min{3+log 1 x,log2x},其中 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小者,则 f(x)<2 的解集为 ( )
4

A.(0,4)

B.(0,+∞)

C. (0,4)∪(4,+∞)

D(

1 ,+∞) 4

3.设数列 {an } 满足 a1 ? 2a2 ? 3 ,点 Pn (n, an) 对任意的 n ? N * ,都有 Pn Pn?1 ? (1,2) ,则数列 {an } 的前 n 项和
Sn 为(



4 A. n(n ? ) 3

3 B. n(n ? ) 4

2 C. n(n ? ) 3

1 D. n(n ? ) 2

2 4.已知各项都不为 0 的等差数列 {an } ,满足 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且 b7 ? a7 ,则 b6b8

等于( A.2

) B.4
2

C.8

D.16 ( )

5.如果不等式 f(x)=ax -x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},那么函数 y=f(-x)的大致图象是

Sn 是 ?an ? 的前 n 项和, 6.已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, 且 9s3 ? s6 , 则数列 { 1 } 的前 5 项和为 ( an
A.



15 或5 8

B.

31 或5 16

C.

31 16

D.

15 8

7.若数列 1, 2cos? , 22 cos2 ? , 23 cos3 ? , ( )

, 前 100 项之和为 0,则 ? 的值为
2? (k ? Z ) 3

A. k ? ?

?
3

(k ? Z )

B. 2 k ? ?

?
3

(k ? Z )

C. 2k? ?

D.以上的答案均不对

? x ? ?1 ? 8.若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x 则 z=2x+y 的最大值为 ?3 x ? 2 y ? 5 ?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9.已知数列 {an } 是公差为 d 的等差数列, Sn 是其前 n 项和,且有 S9 ? S8 ? S7 ,则下列说法中不正确的 是( )

A. S9 ? S10

B. d ? 0

C. S7 与 S 8 均为 Sn 的最大值

D. a8 ? 0

10.定义在实数集 R 上的可导函数 y ? f ( x) 满足 f (4) ? 1 ,导函数 y ? f '( x) 的图象如右图所示,若两正数 b?2 的取值范围是( ) a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 a?2 1 1 1 1 A. ( , ) B. (??, ) (3, ??) C. ( ,3) D. ( ??, ?3] 3 2 2 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 a 11.在数列{an}中,a1=1,an+1= n (n ? 1,2,3,?) ,则此数列的通项公式可归纳为______. 1?an 12.已知 y ? ln a ?1 有意义,且 y ? log a x 在 [2, ??) 上恒有 | y |? 1 ,则 a 的取值范围为 .

13. (2009 浙江文) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 则 S4 ,S8 ? S4 ,S12 ? S8 ,S16 ? S12 成等差数列. 类 比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , ,

T16 成等比数列. T12

14.设{an}是等比数列,公比 q ?

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和.记 Tn ?
.

17 Sn ? S2 n , n ? N * . 设 Tn0 为数列{ Tn } an?1

的最大项,则 n0 =

15.若不等式 4x ? x2 ? ax 的解集为 A,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,则 a 的取值范围是

.

三,解答题:本大题共 75 分.其中(16)~(19)每小题 12 分,(20)题 13 分,(21)题 14 分.解答应写出文字 说明,正明过程和演算步骤 16. (本小题满分 12 分)实系数方程 f(x)=x2+ax+2b=0 的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内, 求: (1)
b?2 的值域; a ?1

(2 ) (a-1)2+(b-2)2 的值域; (3)a+b-3 的值域. 17. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ? 2 , S3 ? 9 ? 3 2 (1)求数列 {an } 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ; (2)设 bn ?

Sn (n ? N * ) 求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (1)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?1 ? x ? 5 ,求实数 a 的值;

?

?

(2)在(1)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) (2011 山东文数)等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的 某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 S 2 n .

20. (本小题满分 13 分)某企业 2010 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将 逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年(2011 年)起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企 业一次性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第一 年)的利润为 500(1+

1 )万元(n 为正整数) . 2n

(1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累计 纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An、Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改 造的累计纯利润?

21. (本小题满分 14 分)数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈ N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn; (3)设 bn=

1 * * * (n∈N ),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N ),是否存在最大的整数 m,使得对任意 n∈N 均有 Tn n(12 ? a n )



m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 32

专题三测试卷(答案)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 1 A 2 C 3 A 4 D 5 C 6 C 7 C 8 C 9 A 10 C

1. 【答案】A. 【解析】设首项为 160°,则公差为-5°,由多边形内角和定理知:

1600 n ?

n(n ? 1) ? (?50 ) ? (n ? 2) ?1800 ? n2 ? 7n ?16 ? 9 ? 0 2 ,∴n=9 或 n=-16(舍).选 A.
0? x?4 x?4

2. 【答案】C
?log2 x ? 【解析】f(x)=min{3+log 1 x,log2x}= ? 1 ?3 ? 2 log2 x 4 ?

分别解 f(x)<2 可得 0<x<4 或 x>4,故应选 C.

3. 【答案】A 【解析】∵ Pn Pn?1 ? OPn?1 ? OPn ? (n ? 1, an?1 ) ? (n, an ) ? (1, an?1 ? an ) ? (1,2) ,∴ an?1 ? an ? 2 , 1 n 1 4 ∴ {an } 是公差为 2 的等差数列.由 a1 ? 2a2 ? 3 ,得 a1 ? ? , ∴ Sn ? ? ? n(n ? 1) ? 2 ? n(n ? ) 选 A 3 3 2 3

4. 【答 案】D 2 2 【解析】由 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,得 2( a3 ? a11 ) ? a7 2 ? 0 ,即 4a7 ? a7 ? 0 ,∵ an ? 0 ,∴ a7 ? 4 .又∵数列 {bn }
2 2 是等比数列,∴ b6b8 ? b7 ? a7 ? 16 .

5. 【答案】C
1 ? ? 2 ?1 ? ? ?a ? ?1 ? a ?? 【解析】由已知 ? ,y=f(-x)=ax2+x-c,即 y=-x2+x+2,其图象为 C. c c ? ? 2 ? ?? 2 ? 1 ? ? ? a ?

6【答案】C. 【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质.显然 q ? 1,所以

1 1 9(1 ? q 3 ) 1 ? q 6 ? ? 1 ? q 3 ? 9 ? q ? 2 ,所以 { } 是首项为 1,公比为 的等比数列, 前 5 项和 2 an 1? q 1? q

1 1 ? ( )5 2 ? 31 . T5 ? 1 16 1? 2
7. 【答案】C. 【解析】 S100 ? 1 ? 2cos ? ? 2 cos ? ?
2 2

? 299 cos99 ? ?

(2cos ? )100 ? 1 ? 0 ? 2 cos ? ? ?1 ,故选.C. 2cos ? ? 1
y?x 与

8. 【答案】C 【解析】 :本题考查了线性规划的知识 . ∵ 作出可行域,作出目标函数线,可得直线与

z ?3 3x ? 2 y ? 5 的交点为最优解点,∴即为(1,1) ,当 x ? 1, y ? 1 时 max
9. 【答案】A 【解析】由 S9 ? S8 ? S7 可知, a9 ? 0 , a8 ? 0 ,故等差数列的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 , S7 与 S 8 均为 Sn 的

最大值.而 S10 ? S9 ? a10 ,且 a10 ? a9 ? d ? a9 ? 0 ,故必有 S9 ? S10 .选 A 10. 【答案】C 【解析】由题中图可知,当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是增函数,由 2 a ? b ? 0 , f (2a ? b) ? 1 ? f (4) 得 2 a ? b ? 4 ,即 2a ? b ? 4 ? 0 .
?a ? 0 ? 在直角坐标平面 aOb 内画出不等式组 ?b ? 0 表示的平面区域 ? 2a ? b ? 4 ? 0 ? b?2 将 视为该平面区域内的点 (a, b) 与点 (?2, ?2) 连线的斜率, a?2 b?2 1 结合图形不难得知 的取值范围是 ( ,3) . 选 C. a?2 2 二、填空题

11. an ?

1 n

12.由 y ? ln a ? 1 有意义,得 a ? 1 ,又当 a ? 1 时, y ? loga x 在 [2, ??] 上恒有 | y |≥1 ,由图象分析知
1 ? a ≤ 2 .故填 (1, 2] .

13.解:对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,

T8 T12 T16 , 成等比数 , T4 T8 T12

列. 14. 【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题.

17 a1[1 ? ( 2) n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2) 2 n ? 17( 2) n ? 16 1 16 1 ? 2 1? 2 ? ? [( 2) n ? ? 17] . Tn ? ? ? n n 1? 2 ( 2) n a1 ( 2) 1? 2 ( 2)
因为 ( 2) ?
n

16 ≧8,当且仅当 ( 2)n =4,即 n=4 时取等号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值. n ( 2)

15. 【答案】 ?1, ?? ?

如右图,由题意知, 2a ? 2 ,于是 a ? 1 . 测 3 答图 1 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 16.解答:由题意知:f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0 3分 ? b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0. 如图所示,A(-3,1) ,B(-2,0) ,C(-1,0). 又由所求式的几何意义知,值域分别为 (1) (
1 ,1) ; 4

y1 ? 4x ? x2 , y2 ? ax ,

6分 9分 12 分

(2) (8,17) ; (3) (-5,-4).

测 3 答图 2

? ?a1 ? 1 ? 2 ? d ? 2 ………………3 分 17.解: (1) {an } 的差为 d ,则 ? ? ? S3 ? 3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2
所以 an ? (1 ? 2) ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ? 2
2 6分 Sn ? n ? 2 ……………… n

(2)由(1)知 bn ? n ? 2, 用反证法,假设数列 [bn ] 中存在三项 br , bs , bt

(r, s, t ? 且互不相等) 成等比数列,则 bs2 ? br bt ,………………8 分
即 ( s ? 2)2 ? ( s ? 2)2 ? ( r ? 2)(t ? 2)

? S 2 ? rt ? 0 所以 ( s2 ? rt ) ? (2s ? r ? t ) 2 ? 0 则 ? ? ( r ? t )2 ? ( r ? t )2 ? 0 ? r ? t ?2 S ? r ? t ? 0
与 r、s、t 互要等,矛盾,所以数列给中任意三项都不要能成为行为等比数列………………12 分 18.解法一: (1)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3 . 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?1 ? x ? 5 ,

?

?

所以 ?

?a ? 3 ? ?1, 解得 a ? 2 .………………6分 ?a ? 3 ? 5,

(2)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | 。设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) ,于是

??2 x ? 1,x ? ?3; ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5, ? 3 ? x ? 2; ?2 x ? 1,x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ; 当 ?3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ; 当 x ? 2 时, g ( x) ? 5 。 综上可得, g ( x) 的最小值为 5。 从 而 , 若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 即 g ( x) ? m 对 一 切 实 数 x 恒 成 立 , 则 m 的 取 值 范 围 为 (- ? , 5]. ………………12 分 解法二: (1)同解法一. ………………6分 (2)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | 。设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) . 由 | x ? 2 | ? | x ? 3|? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5(当且仅当 ?3 ? x ? 2 时等号成立)得, g ( x) 的最小值为 5. 从 而 , 若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 即 g ( x) ? m 对 一 切 实 数 x 恒 成 立 , 则 m 的 取 值 范 围 为 (- ? ,

5]. ………………12 分 19. (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3, 所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3n?1 .……………………………5 分 (Ⅱ) bn = an ? (?1)n ln an = 2 ? 3 = 2?3
n ?1 n ?1

? (?1)n [ln 2 ? (n ?1)ln 3]

? (?1)n ln 2 ? (?1)n (n ?1)ln 3 ,……………………………7 分

所以 S2n ? (2 ? 30 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ?

2 ? 32n?1 ) ? ((?1)1 ? (?1)2 ?

? (?1)2n )ln 2 ? ((?1)1 ? 0 ?

(?1)2 ?1 ? (?1)3 ? 2 ?
n

? (?1)2n ? (2n ?1))ln 3……………………………10 分
n

= 9 ? 1 + 0 ? ln 2 ? n ln 3 ? 9 ? 1 ? n ln 3 ……………………………12 分

(2) 依题 意得, Bn ? An ,即 500n ?

500 50 ? 100 ? 490n ? 10n2 ,化简得 n ? n 2 ? n ? 10 ,………………7 分 n 2 2

? 可设 f ( n) ?

50 2 , g (n) ? n ? n ? 10 又 n ? N * ,? 知 f ( n) 是减函数, g (n) 是增函数, n 2 50 50 ? g (3) ? 2, f (4) ? ? g (4) ? 8 ,则 n ? 4 时,不等式成立,即 4 年 ……………12 分 又 f (3) ? 8 16
答:从今年即 2011 年起该企业至少经过 4 年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累 计纯利润. ……………………………13 分

21.解

(1)由 an+2=2an+1-an ? an+2-an+1=an+1-an 可知{an}成等差数列,d=
2

a4 ? a1 =-2,∴an=10-2n 4 ?1
5分

(2)由 an=10-2n≥0 可得 n≤5,当 n≤5 时,Sn=-n +9n, 当 n>5 时,Sn=n2-9n+40,故 Sn= ?
2 ? ?? n ? 9n

1? n ? 5 n?5

? ?n ? 9n ? 40
2


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