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北京大学2012年保送生考试数学试题

北京大学 2012 年保送生考试数学试题解析 武汉二中 张鹄 430010

每年一次的著名高校保送生考试, 正逐渐吸引着越来越多的优秀的高中毕业生参加这项活动.为方便 备考这项考试,笔者特将 2012 年北京大学保送生考试数学试题整理出来,并给出参考解答.

一、试题
1 正等比数列 ?an ? 满足 a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? 5 ,求 a5 ? a6 的最小值. 2 已知 f ? x ? 为一个二次函数,且 a, f ? a ? , f ? f ? a ? ? , f ? f ? f ? a ? ? ? 成正等比数列,求证: f ? a ? ? a .

3 在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且 a ? b ? c ,求证: ?ABC 的最大的内接正方形边长为

ac sin B . c ? a sin B 4 从点 O 出发引两条射线 l1 , l2 ,动直线 l 与 l1 , l2 相交于点 A 、 B ,线段 AB 的中点为点 X ,且动点 X 的轨

? ,射线 l1 , l2 及直线 l 围成的三角形 OAB 的面积为定值 c .

? ? ? 求证: ? 关于 l1 , l2 的角平分线成反射对称;

? ?? ? 求证: ? 为双曲线.
5 已知 ai ? 0, i ? 1, 2,3,?,10 ,且 ? ai ? 30 , ? ai ? 21 ,求证: ai 中至少有一个小于 1.
i ?1 i ?1 10 10

二、解析
1、设正等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则 a1 ? q3 ? q 2 ? q ? 1? ? 5 , a1 ?
5 ? q 4 ? q5 ?

5

? q ? 1? ? q ? 1?
2

,? a1 ? 0,? q ? 1 ,

5q 4 ? 2 从而, a5 ? a6 ? a1 ? q ? q ? ? 3 2 ,令 x ? q 2 ? 1 ,则 x ? 0 ,且 q ? q ? q ?1 q ?1
4 5

5 ?1 ? x ? 5q 4 1 ? ? ? ? 5 ? x ? ? 2 ? ? 5 ? 2 ? 2 ? ? 20 ,此时 x ? 1 ,即 q ? 2 . 2 x x q ?1 ? ?
2

2、设 f ? x ? ? mx 2 ? nx ? l ? m ? 0 ? ,等比数列的公比为 q ,则 1 f ? a ? ? ma 2 ? na ? l ? qa …….○
f ? f ? a ? ? ? mf 2 ? a ? ? nf ? a ? ? l ? qf ? a ? ……..○ 2
f f ? f ? a ? ? ? m ? f ? f ? x ? ? ? ? nf ? f ? a ? ? ? l ? qf ? f ? a ? ? …….○ 3 ? ?
2

?

?

由○ ? ○得, m ? f 2 ? a ? ? a 2 ? ? n ? f ? a ? ? a ? ? q ? f ? a ? ? a ? , 2 1

f f ? f ? a ? ? ? m ? f ? f ? x ? ? ? ? nf ? f ? a ? ? ? l ? qf ? f ? a ? ? …….○ 3 ? ?
2

?

?

由○ ? ○得, m ? f 2 ? a ? ? a 2 ? ? n ? f ? a ? ? a ? ? q ? f ? a ? ? a ? , 2 1 ? ? ? ? ? ?
? f ?a? ? a 或 m ? f ?a? ? a? ? n ? q ? 0 ? ?

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由○ ? ○得, m ? f ? f ? a ? ?? ? a2 ? n ? f ? f ? a ?? ? a ? ? q ? f ? f ? a ?? ? a ? 3 1 ? ?
2

?

?

活动.为方便师生

a.

正方形边长为

动点 X 的轨迹为

1,


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