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【解析】江苏省徐州市沛县歌风中学(如皋办学)2015届高三上学期期中数学模拟试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省徐州市沛县歌风中学 (如皋办学) 高三 (上) 期中数学模拟试卷(1)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上) 1.设全集为 R,集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x﹣3≤0},则 A∩(? RB)= 2.若 (其中 表示复数 z 的共轭复数) ,则复数 z 的模为 . .

3.函数若

,则 f(x)的定义域是



4. 已知向量 = (

, 1) ,= (0, ﹣1) ,= (k,

) , 若 ( ﹣2 ) ∥ , 则实数 k=



5.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣1,则{an}的通项公式为 an= 6. 已知 的零点在区间 (k, k+1) (k∈N) 上, 则 k 的值为

. .

7.已知

是非零向量,且它们的夹角为

,若

,则

=



8.函数 y= x﹣sinx,x∈[0,2π]的单调增区间为



9.设 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,若在区间[﹣2,0)∪(0,2],f(x) = ,则 f(2015)= .

10.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, 值域为 .

,则此函数的

11.设函数 f(x)=2sin(

x+

) (﹣2<x<10)的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l + ? = .

与函数 f(x)的图象交于另外两点 B,C.O 是坐标原点,则(

-1-

12.若函数 f(x)定义在 R 上的奇函数,且在(﹣∞,0)上是增函数,又 f(2)=0,则不 等式 xf(x+1)<0 的解集为 . 13.已知函数 f( x)=x +mx﹣|1﹣x |(m∈R) ,若 f(x)在区间(﹣2,0)上有且只有 1 个 零点,则实数 m 的取值范围是 . 14.如图为函数 f(x)= (0<x<1 )的图象,其在点 M(t,f(t) )处的切线为 l,l 与 y 轴和直线 y=1 分别交于点 P、Q,点 N(0,1) ,若△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个,则 b 的取值范围为 .
2 2

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= (Ⅰ)求△ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A﹣C)的值. 16.已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=﹣x +2x (Ⅰ)求函数 f(x)在 R 上的解析式; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 17.已知{an}为等比 数列,其中 a1=1,且 a2,a3+a5,a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式: (2)设 bn=(2n﹣1) ? an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18.如图,半径为 30cm 的圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料 OABC,其中点 B 在圆弧 上,点 A,C 在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计 剪裁和拼接损耗) ,设 OB 与矩形材料的边 OA 的夹角为θ,圆柱的体积为 Vcm . (Ⅰ)求 V 关于θ的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)求圆柱形罐子体积 V 的最大值.
3 2

-2-

19.已知函数 f(x)=lnx(x>0) . (1)求函数 g(x)=f(x)﹣x+1 的极值; (2)求函数 h(x)=f(x)+|x﹣a|(a 为实常数)的单调区间; (3)若不等式(x ﹣1)f(x)≥k(x﹣1) 对一切正实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围. 20.已知函数 f(x)=x ﹣x﹣ . (I)求函数 y=f(x)的零点的个数; (Ⅱ)令 g(x)= +lnx,若函数 y=g(x)在(0, )内有极值,求实数 a 的取值
3 2 2

范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意 t∈(1,+∞) ,s∈(0,1) ,求证:g(t)﹣g(s)>e+2 ﹣ .

-3-

2014-2015 学年江苏省徐州市沛县歌风中学(如皋办学) 高三(上)期中数学模拟试卷(1)
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上) 1. 设全集为 R, 集合 A={x|1<x<4}, 集合 B={x|x﹣3≤0}, 则 A∩ (? RB) = {x|3<x<4} . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据已知中,全集为 R,集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x﹣3≤0},进而结合集合交 集,并集,补集的定义,代入运算后,可得答案. 解答: 解:∵集合 B={x|x﹣3≤0}={x|x≤3},全集为 R, ∴? RB={x|x>3}, 又∵A={x|1<x<4}, ∴A∩(? RB)={x|3<x<4}, 故答案为:{x|3<x<4} 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 2.若 (其中 表示复数 z 的共轭复数) ,则复数 z 的模为 3 .

考点: 复数求模. 专题: 计算题. 分析: 先设 z=a+bi,则 =a﹣bi,由 解答: 解:设 z=a+bi,则 =a﹣bi ∵ 2 2 2 2 2 ∴(a+bi) (a﹣bi)=a ﹣b i =a +b =9 ∴|z|= =3 可得 a +b ,从而可求复数 z 的模
2 2

故答案为:3 点评: 本题主要考查了复数基本概念;复数的模,共轭复数及复数的基本运算,属于基本试 题

3.函数若

,则 f(x)的定义域是



考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题.

-4-

分析: 由函数的解析式可得 的定义域. 解答: 解:∵函数

>0,化简可得 0<2x+1<1,由此求得 f(x)





>0,

∴0<2x+1<1,解得﹣ <x<0, 故答案为 .

点评: 本题主要考查求函数的定义域,对数不等式的解法,属于基础题.

4.已知向量 =(

,1) , =(0,﹣1) , =(k,

) ,若( ﹣2 )∥ ,则实数 k= 1 .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用已知条件求出 ﹣2 ,然后通过向量的平行的充要条件列出关系式,即可求出 k 的值. 解答: 解:向量 =( ﹣2 =( =(k, ,3) , ) , ( ﹣2 )∥ , ,1) , =(0,﹣1) ,

∴ , 解得 k=1 故答案为:1. 点评: 本题考查向量的平行条件的应用,向量的坐标运算,基本知识的考查. 5.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣1,则{an}的通项公式为 an= 考点: 等比数列的通项公式;数列递推式. 专题: 综合题. 分析: 由 Sn=2an﹣1 和 Sn+1=2an+1﹣1 相减得 an+1=2an+1﹣2an,所以 {an}的通项公式. 解答: 解:由 Sn=2an﹣1, 得 Sn+1=2an+1﹣1, 二式相减得:an+1=2an+1﹣2an, ,由此可求出数列 2
n﹣1



-5-





∴数列{an}是公比为 2 的等比数列, 又∵S1=2a1﹣1, ∴a1=1, n﹣1 ∴an=2 . n﹣1 故答案为:2 . 点评: 本 题考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,注意错位相减法和递推公式的 灵活运用.

6.已知

的零点在区间(k,k+1) (k∈N)上,则 k 的值为 1 .

考点: 函数的零点. 分析: 先画出 y=ln(x+1)与 y= 的图象,然后关系交点所处的区间,比较区间端点的函数 值是否大小发生变化,从而确定零点所在区间. 解答: 解:观察 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点位置

∵ln2<1,ln3> ∴ 的零点在区间(1,2)上,故 k=1

故答案为 1. 点评: 本题主要考查了函数的零点问题,以及对数函数与反比例函数的图象,属于基础题.

7.已知

是非零向量,且它们的夹角为

,若

,则

=



考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模.

-6-

专题:[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 计算题. 分析: 所示与向量 同向的单位向量,故向量 表示两个夹角为 的单位向量的和向量,

由此易得向量 的模的大小. 解答: 解:令 = , =

则我们易得 表示与向量 同向的单位向量 表示与向量 同向的单位向量 则| |=| |=1,< , >=



= +



=| + |=

故答案: 点评: 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,向量的模,分析出 表示的几何

意义,即与向量 同向的单位向量是解答本题的关键.

8.函数 y= x﹣sinx,x∈[0,2π]的单调增区间为 ( [来源:学科网] 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数的导数,令导函数大于 0,解出即可. 解答:[来源:学+科+网] 解:∵y′= ﹣cosx, 令 y′>0,即 cosx< , 解得: <x< , , ) .







故答案为: (

点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题.

-7-

9.设 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,若在区间[﹣2,0)∪(0,2],f(x) = ,则 f(2015)= .

考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据奇偶性求出 b,然后根据周期性可求出 a 的值,从而可求出 f(2015)的值. 解答: 解:设 0<x≤2,则﹣2≤﹣x<0, f(﹣x)=﹣ax+b,f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数, 所以 f(﹣x)=﹣f(x)=﹣ax+1=﹣ax+b, ∴b=1,而 f(﹣2)=f(2) , ∴﹣2a+1=2a﹣1,即 a= , 所以 f(2015)=f(﹣1)= 故答案为: . 点评: 本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用,同时考查了学生分析问题和解决问题 的能力,以及运算求解的能力. 10.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥ 0 时, 值域为 . ,则此函数的 .

考点: 指数函数综合题;函数的值域. 专题: 换元法;函数的性质及应用. 分析: 设 t= ,利用换元法求得当 x≥0 时函数的值域,再根据奇函数的性质求得当 x≤0

时函数的值域,然后求并集可得答案. 解答: 解:设 t= f(t)=﹣t +t=﹣ ∴0≤f(t)≤ , 故当 x≥0 时,f(x)∈[0, ]; ∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴当 x≤0 时,f(x)∈[﹣ ,0]; 故函数的值域时[﹣ , ].
2

,当 x≥0 时,2 ≥1,∴0<t≤1, + ,

x

-8-

点评: 本题考查了函数的性质及其应用,考查了函数值域的求法,运用换元法求得 x≥0 时 函数的值域是解答本题的关键.

11.设函数 f(x)=2sin(

x+

) (﹣2<x<10)的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l + ? = 32 .

与函数 f(x)的图象交于另外两点 B,C.O 是坐标原点,则(

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 常规题型;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: 先画出函数 f(x)=2sin( x+ )在﹣2<x<10 上的图象,通过图象分析出点 A

是 B、C 的中点,然后根据向量的运算法则进行运算. 解答: 解:做出函数 f(x)=2sin( x+ )在﹣2<x<10 上的图象如图:

由图象可知:图象关于点 A 对称,所以点 A 是点 B 与点 C 的中点 ∴ ∴( + + =2 ? =2| | =2×4 =32.
2 2

故答案为 32. 点评: 本题考查了三角函数的图象与性质及向量的运算,解题的关键是通过画图分析出 A 点 是 B、C 的中点. 12.若函数 f(x)定义在 R 上的奇函数,且在(﹣∞,0)上是增函数,又 f(2)=0,则不 等式 xf(x+1)<0 的解集为 (0,1)∪(﹣3,﹣1) .[来源:学*科*网] 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)定义在 R 上的奇函数,且在(﹣∞,0)上是增函数,又 f(2)=0, ∴f(x) 在(0,+∞)上是增函数,且 f(﹣2)=﹣f(2)=0, ∴当 x>2 或﹣2<x<0 时,f(x)>0,当 x<﹣2 或 0<x<2 时,f(x)<0, (如图) 则不等式 xf(x+1)<0 等价为

-9-

















解得 0<x<1 或﹣3<x<﹣1, 故不等式的解集为(0,1)∪(﹣3,﹣1) , 故答案为: (0,1)∪(﹣3,﹣1)

点评: 本题主要考查不等式的解集, 利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键. 13.已知函数 f(x)=x +mx﹣|1﹣x |(m∈R) ,若 f(x)在区间(﹣2,0)上有且只有 1 个 零点,则实数 m 的取值范围是 {m|m≤ 或 m=1} .
2 2

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过讨论 x 的范围,得出函数的解析式,由 f(﹣1)=1﹣m,通过讨论 1﹣m 的范围, 结合函数的图象的性质,从而求出 m 的范围. 解答: 解:﹣1≤x<0 时,f(x)=2x +mx﹣1, ﹣2<x<﹣1 时,f(x)=mx+1, ∴当 x=﹣1 时,f(﹣1)=1﹣m, 当 1﹣m=0,即 m=1 时,符合题意, 当 1﹣m>0 时,f(x)在(﹣1,0)有零点, ∴f(﹣2)=﹣2m+1≥0,解得:m≤ , 当 1﹣m<0,在(﹣2,0)上,函数与 x 轴无交点, 故答案为:{m|m≤ 或 m=1}. 点评: 本题考查了函数零点的判定定理,考查了分段函数,考查了分类讨论思想,是一道中 档题.
2

- 10 -

14.如图为函数 f(x)= (0<x<1)的图象,其在点 M(t,f(t) )处的切线为 l,l 与 y 轴和直线 y=1 分别交于点 P、Q,点 N(0,1) ,若△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个,则 b 的取值范围为 ( ) .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;压轴题.[来源:Z&xx&k.Com] 分析: 对函数求导可得, 为 y﹣ = = ,根据导数的几何意义先写出过点 M 的切线方程 ,进而可得面积 S ,令 g(t)= (0<t<1) ,要使△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好

有两个即 g(t)在(0,1)上与 y=b 有两个交点,通过 = 在(0,1)上的单调性,结合函数的图象进行求解 解答: 解:对函数求导可得, 由题意可得 M(t, ) ,切线的斜率 k= = 研究函数函数 g(t)

过点 M 的切线方程为 y﹣ 则可得

l= 令 g(t)= (0<t<1) = 函数 g(t)在( 由于 , )单调递增,在 单调递减

l

△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个即 g(t)在(0,1)上与 y=b 有两个交点

- 11 -

,根据函数的图象可知

[来源:Zxxk.Com] 故答案为: 点评: 本题主要考查了导数的几何意义的应用:求切线方程;利用导数判断函数的单调性, 求解函数的最值,解决本题的关键是构造函数 g(t) ,通过研究该函数的性质,给出相应的函 数的图象,从而进行求解 二、解答题:本大题共 6 小题,计 9 0 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= (Ⅰ)求△ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A﹣C)的值. 考点: 余弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题. 分析: (I)利用余弦定理表示出 c 的平方,把 a,b 及 cosC 的值代入求出 c 的值,从而求 出三角形 ABC 的周 长; (II)根据 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,然后由 a,c 及 sinC 的值,利用正弦定理即可求出 sinA 的值,根据大边对大角,由 a 小于 c 得到 A 小于 C,即 A 为锐角,则根据 sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值,然后利用两角差 的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值. 解答: 解: (I)∵c =a +b ﹣2abcosC=1+4﹣4× =4, ∴c=2, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. (II)∵cosC= ,∴sinC= = = .
2 2 2

∴sinA=

=

=



∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角.则 cosA=

= ,

- 12 -

∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC= × +

×

=



点评: 本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查学生的基本运 算能力,是一道基础题. 16.已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=﹣x +2x (Ⅰ)求函数 f(x)在 R 上的解析式; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数奇偶性的对称性,即可求函数 f(x)在 R 上的解析式; (Ⅱ)根据函数奇偶性和单调性的关系,利用数形结合即可求出 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)设 x<0,则﹣x>0,f(﹣x)=﹣(﹣x) +2(﹣x)=﹣x ﹣2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x)且 f(0)=0. 于是 x<0 时 f(x)=x +2x. 所以 f(x)= .
2 2 2 2

(Ⅱ)作出函数 f(x)=

的图象如图:

则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1,1] 要使 f(x)在[﹣1,a﹣2]上单调递增, (画出图象得 2 分) 结合 f(x)的图象知 ,

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].

点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,利用二次函数图象和性质是解决本题的关 键. [来源:Zxxk.Com] 17.已知{an}为等比数列,其中 a1=1,且 a2,a3+a5,a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式:

- 13 -

(2)设 bn=(2n﹣1) ? an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件,利用等比数列的通项公式和等差数列的性质求出等比数列的公比, 由此能求出数列 (2)由数列 的通项公式. 的通项公式和 bn=(2n﹣1) ? an,求出 bn=(2n﹣1) ?( )
n﹣1

,由此利用错

位相减求和法能求出 数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)设在等比数列{an}中,公比为 q, ∵a1=1,且 a2,a3+a5,a4 成等差数列,[来源:学§科§网 Z§X§X§K] ∴2(a3+a5)=a2+a4, 2 4 3 ∴2(q +q )=q+q , 解得 q= , ∴an= (2)∵ . ,
n﹣1

∴bn=(2n﹣1) ? an=(2n﹣1) ?( ) ∴

, ,① ,②

①﹣②,得: ﹣(2n﹣1) ? =1+2[1﹣( ) =3﹣ ∴ , .
n﹣1

]﹣(2n﹣1) ?( )

n

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,是中档题,解题时要熟练掌握等比数列、 等差数列的性质,注意错位相减法的合理运用. 18.如图,半径为 30cm 的圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料 OABC,其中点 B 在圆弧 上,点 A,C 在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计 剪裁 和拼接损耗) ,设 OB 与矩形材料的边 OA 的夹角为θ,圆柱的体积为 Vcm . (Ⅰ)求 V 关于θ的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)求圆柱形罐子体积 V 的最大值.
3

- 14 -

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由已知条件寻找数量间的等式关系,由此能求出圆柱的体积 V 关于θ的函数关 系式. (Ⅱ)令 t=sinθ,t∈(0,1) ,cos θ=1﹣t ,f(t)=
2 2

,t∈(0,1) ,f′

(x)=

,由此利用导数性质能求出体积的最大值.

解答: 解: (Ⅰ)∵半径为 30cm 的圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料 OABC, 设 OB 与矩形材料的边 OA 的夹角为θ,圆柱的体积为 V cm . ∴V(θ)= =
2 2 3

,0



(Ⅱ)令 t=sinθ,t∈(0,1) ,cos θ=1﹣t , ∴f(t)= ,t∈(0,1) ,





由 f′(t)=0,得 t=

,或 t=﹣

(舍) , .

由 f′(t)>0,得 0<t< ∴f(t)在(0, 即当 t=

;由 f′(t)<0,得 ,1)上单调递减, cm .
3

)上单调递增,在(

时,体积 V 取得最大值 Vmax=

点评: 本题考查 V 关于θ的函数关系式的求法,考查函数的定义域的求法,考查圆柱形罐子 体积的最大值的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用. 19.已知函数 f(x)=lnx(x>0) . (1)求函数 g(x)=f(x)﹣x+1 的极值; (2)求函数 h(x)=f(x)+|x﹣a|(a 为实常数)的单调区间;

- 15 -

(3)若不等式(x ﹣1)f(x)≥k(x﹣1) 对一切正实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的 最值. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: (1)求导数,确定函数的单调性,即可求函数 g(x)=f(x)﹣x+1 的极值; (2)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可求函数 h(x)=f(x)+|x﹣a|(a 为实常数) 的单调区间; (3)注意:①适当变形后研究函数 h(x) ;②当 k>2 时,区间(1,k﹣1)是如何找到的. 解答: 解: (1)g (x)=lnx﹣x+1,g′(x)= ﹣1= ,

2

2

当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, 可得 g (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 故 g (x)有极大值为 g (1)=0,无极小值. (2)h(x)=lnx+|x﹣a|. 当 a≤0 时,h(x)=lnx+x﹣a,h′(x)=1+ >0 恒成立,此时 h(x)在(0,+∞)上单调 递增; 当 a>0 时,h(x)=

①当 x≥a 时,h(x)=lnx+x﹣a,h′(x)=1+ >0 恒成立,此时 h(x)在(a,+∞)上单 调递增; ②当 0<x<a 时,h(x)=lnx﹣x+a,h′(x)= ﹣1= .

当 0<a≤1 时,h′(x)>0 恒成立,此时 h(x)在(0,a)上单调递增; 当 a>1 时,当 0<x<1 时 h′(x)>0,当 1≤x<a 时 h′(x)≤0, 所以 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减. 综上,当 a≤1 时, h(x)的增区间为(0,+∞) ,无减区间; 当 a>1 时,h(x)增区间为(0,1) , (a,+∞) ;减区间为(1,a) . (3)不等式(x ﹣1)f (x)≥k(x﹣1) 对一切正实数 x 恒成立, 2 2 即(x ﹣1)lnx≥k(x﹣1) 对 一切正实数 x 恒成立. 2 2 当 0<x<1 时,x ﹣1<0;lnx<0,则(x ﹣1)lnx>0; 2 2 当 x≥1 时,x ﹣1≥0;lnx≥0,则(x ﹣1)lnx≥0. 2 因此当 x>0 时, (x ﹣1)lnx≥0 恒成立. 2 2 2 又当 k≤0 时,k(x﹣1) ≤0,故当 k≤0 时, (x ﹣1)lnx≥k(x﹣1) 恒成立. 下面讨论 k>0 的情形. 当 x>0 且 x≠1 时, (x ﹣1)lnx﹣k(x﹣1) =(x ﹣1)[lnx﹣ 设h (x)=lnx﹣
2 2 2 2 2 2 2

]. = .

( x>0 且 x≠1) ,h′(x) = ﹣

记△=4(1﹣k) ﹣4=4(k ﹣2k) .

- 16 -

①当△≤0,即 0<k≤2 时,h′(x)≥0 恒成立,故 h(x)在(0,1)及(1,+∞)上单调 递增. 于是当 0<x<1 时,h(x)<h(1)= 0,又 x ﹣1<0,故(x ﹣1)h(x)>0,即(x ﹣1) 2 lnx>k(x﹣1) . 2 2 2 当 x>1 时,h(x)>h(1)=0,又 x ﹣1>0,故(x ﹣1)h(x)>0,即(x ﹣1)lnx>k(x 2 ﹣1) . 2 2 又当 x=1 时, (x ﹣1)lnx=k(x﹣1) . 2 2 因此当 0<k≤2 时, (x ﹣1)lnx≥k(x﹣1) 对一切正实数 x 恒成立. 2 ②当△>0,即 k>2 时,设 x +2(1﹣k)x+1=0 的两个不等实根分别为 x1,x2(x1<x2) . 2 函数φ(x)=x +2(1﹣k)x+1 图象的对称轴为 x=k﹣1>1, 又φ(1)=4﹣2k<0,于是 x1<1<k﹣1<x2. 故当 x∈(1,k﹣1)时,φ(x)<0,即 h′(x)<0,从而 h(x)在(1,k﹣1)在单调递 减; 而当 x∈(1,k﹣1)时,h(x)<h(1)=0,此时 x ﹣1>0,于是(x ﹣1)h(x)<0,即 2 2 (x ﹣1)lnx<k(x﹣1) , 2 2 因此当 k>2 时, (x ﹣1)lnx≥k(x﹣1) 对一切正实数 x 不恒成立. 2 2 综上,当(x ﹣1)f (x)≥k(x﹣1) 对一切正实数 x 恒成立时,k≤2,即 k 的取值范围是 (﹣∞,2]. 点评: 本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想.第三问比较难,两个注意:①适当变形 后研究函数 h(x) ;②当 k>2 时,区间(1,k﹣1)是如何找到的. 20.已知函数 f(x)=x ﹣x﹣ . (I)求函数 y=f(x)的零点的个数; (Ⅱ)令 g(x)= +lnx,若函数 y=g(x)在(0, )内有极值,求实数 a 的取值
3 2 2 2 2 2

范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意 t∈(1,+∞) ,s∈(0,1) ,求证:g(t)﹣g(s)>e+2 ﹣ .

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)易知 x=0 是 y=f(x)的零点,从而 x>0 时,f(x)=x(x ﹣1﹣ = ,利用导数及零点判定定理可求函数零点个数; ,其定义域是(0,1)∪(1,+∞) ,求导得 g'(x)
2

) ,设φ(x)

(Ⅱ)化简得 g(x)=lnx+

=

,令 h(x)=x ﹣(2+a)x+1,则问题转化为 h(x)=0 有两个不同的根

2

- 17 -

x1,x2,从而△=(2+a) ﹣4>0,且一根在(0, )内,不妨设 0<x1< ,再由 x1x2=1,得 0 <x1< <e<x2,根据零点判定定理可知只需 h( )<0,由此可求 a 的范围; (Ⅲ)由(Ⅱ)可求 y=g(x)在(1,+∞)内的最小值为 g(x2) ,y=g(x)在(0,1)内的 最大值为 g(x1) ,由(Ⅱ)同时可知 x1+x2=2+a,x1x2=1, 故 g(t)﹣g(s)≥g(x2)﹣g(x1)=lnx2+ ﹣ ,x2∈(e,+∞) ,

2

=

=

(x2>e) ,令 k(x)=lnx +x﹣

2

=2lnx+x﹣ ,利用导数可判断 k(x)在(e,+∞)内单调递增,从而有 k(x)>k(e) ,整 理可得结论; 解答: 解: (Ⅰ)∵f(0)=0,∴x=0 是 y=f(x)的一个零点, 当 x>0 时,f(x)=x(x ﹣1﹣
2

) ,设φ(x)=



φ'(x)=2x+

>0,∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增.

又φ(1)=﹣1< 0,φ(2)=3﹣

>0,

故φ(x)在(1,2)内有唯一零点, 因此 y=f(x)在(0,+∞)内有且仅有 2 个零点; (Ⅱ)g(x)= +lnx= +lnx=lnx+ ,

其定义域是(0,1)∪(1,+∞) , 则 g'(x)=
2

=

=



设 h(x)=x ﹣(2+a)x+1,要使函数 y=g(x)在(0, )内有极值,则 h(x)=0 有两个不 同的根 x1,x2, ∴△=(2+a) ﹣4>0,得 a>0 或 a<﹣4,且一根在(0, )内,不妨设 0<x1< , 又 x1x2=1,∴0<x1< <e<x2, 由于 h(0)=1,则只需 h( )<0,即 解得 a>e+ ﹣2; +1<0,
2

- 18 -

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 x∈(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)递减,x∈(x2,+∞)时,g' (x)>0,g(x)递增, 故 y=g(x)在(1,+∞)内的最小值为 g(x2) ,即 t∈(1,+∞)时,g(t)≥g(x2) , 又当 x∈(0,x1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,x∈(x1,1)时,g'(x)<0,g(x) 单调递减, 故 y=g(x)在(0,1)内的最大值为 g(x1) ,即对任意 s∈(0,1) ,g(s)≤g(x1) , 由(Ⅱ)可知 x1+x2=2+a,x1x2=1, 因此,g(t)﹣g(s)≥g(x2)﹣g(x1)=lnx2+ ,x2∈(e,+∞) , ﹣

=
2

=

(x2>e) , >0,

设 k(x)=lnx +x﹣ =2lnx+x﹣ ,k'(x)= +1+ ∴k(x)在(e,+∞)内单调递增,

故 k(x)>k(e)=2+e﹣ ,即 g(t)﹣g(s)>e+2﹣ . 点评: 本题考查利用导数研究函数的零点、极值、最值,考查转化思想,考查学生综合运用 数学知识分析解决问题的能力,综合性强,能力要求比较高.

- 19 -

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